CC BY
8
Математические структуры и моделирование 2017. № 4(44). С. 26-32
УДК 519.214 DOI: 10.25513/2222-8772.2017.4.26-32
О ПРИТЯЖЕНИИ СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТ ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН К НОРМАЛЬНОМУ ЗАКОНУ
А.Г. Гринь
профессор, д.ф.-м.н., e-mail: [email protected] Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского
Аннотация. В работе получены необходимые и достаточные условия для притяжения к нормальному закону определённого класса функций от зависимых случайных величин. Эти условия включают в себя так называемые минимальные условия слабой зависимости.
Ключевые слова: симметрические функции от случайных величин, притяжение к нормальному закону, минимальные условия слабой зависимости.
Пусть при каждом п е N определена симметрическая вещественнозначная функция /, то есть / (х1,х2, ...,хп) = /(х^, ..., х^), для любых хь ...,хп е К для любой перестановки {11,...,1п} множества {1,..., п} (на самом деле определена последовательность функций, но чтобы не загромождать рассуждения, мы не будем подчёркивать зависимость / от п какими-либо индексами и называть / последовательностью).
Следуя [1], назовём {Ъп,п = 1, 2,...} правильно меняющейся последовательностью порядка р, если Ъ[х], х > 0 является правильно меняющейся функцией порядка р, где [х] - целая часть х.
Будем писать £ = п, Пп а V и пп ~ оп в случаях, когда, соответственно, распределения £ и п совпадают, {^п} сходится к п по распределению и когда последовательности {^п} и {0п} слабо эквивалентны (см., например, [2, §28.1]). Слабая эквивалентность равносильна поточечной сходимости разности характеристических функций величин {^п} и {0п} к нулю при п А то [2, с. 393]. Обозначим через N(0,1) случайную величину, имеющую нормальное распределение с параметрами 0 и 1.
Всюду в настоящей работе {£п} = {£п, п е Ъ} будет обозначать стационарную в узком смысле последовательность. Пусть Хп = / (£1,...,£п). Если при некотором выборе нормирующих констант Ап и Вп
В-1 (Хп - А,п) А N(0,1), п А то,
то будем говорить, что последовательность {Хп} притягивается к нормальному закону.
В статье [3] получены необходимые и достаточные условия (включающие в себя условия слабой зависимости) для стационарных последовательностей,
обеспечивающие притяжение сумм Sn = 6 к нормальному закону. В насто-
г=1
ящей работе этот результат обобщён на случай, в котором вместо сумм Бп участвуют симметрические функции Хп = / (£ь...,£п).
Пусть 1 ^ р < 2, Е|Хп|р < то, Ап = ЕХп, ||£||р = (Е|£|р)1/р,
Хп= Хп - Ап, Вп(р) = || Хп ||р ■ (0,1) 1. Последовательностями вида Б,п(р) осуществляется масштабная нормировка в предельных теоремах о сходимости к нормальному закону для последовательностей, удовлетворяющих условию ^-перемешивания, сильного перемешивания и пр. (см., например, [4]). Скажем, что последовательность {£п} удовлетворяет условию (И*), если
Е ехр{йВ-+т(р)Хп+т} - Е ехр{йВп+т(р)Хп} ■ Е ехр{йВп+т(р)Хт} ^ ° (И)
п + т ^ то (символ п + т ^ то означает, что п ^ то, а т = т(п) — произвольная последовательность натуральных чисел). Ясно, что условие (И) можно записать так:
Хп+т 1 Хп . Хт . /1\
~--+ ^-, п + т ^ то, (1)
Вп+т(р) Вп+т(р) Вп+т(р)
(здесь и далее через 1/1,...,1/п будем обозначать независимые случайные величины такие, что Ук = Ук, к =1, 2,..., п).
Если Вп(р) является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 и тп = Вп+т(р)(Ап + Ат - Ап+т) ^ 0, п + т ^ то, то будем говорить, что выполнено условие нормировки
Теорема 1. Для того чтобы
B"1(p) XnA N(0,1), n ^то (2)
и выполнялось условие нормировки (N), необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие (Rf), последовательность {B-p(p)| Xn |p} была равномерно интегрируемой и при любом е > 0
lim lim sup kP{| Xn | ^ eBnk(p)} = 0. (3)
Замечание 1. Данный результат обобщает теорему 1 из [3], в которой
n
xn = Sn = б, а условие (Rf) принимает вид
i=1
Sn+m d Sn . Sm . /т-, \
~--+ —--¡—T , n + m ^ TO. (R)
Вп+т
(р)
Вп+т
(р) Вп+т(р)
Условие (И) интерпретировалось в [3] как минимальное условие слабой зависимости, при котором последовательность Бп притягивается к нормальному закону. В настоящей работе условие (И) является не только условием слабой
зависимости, но и накладывает значительные ограничения на вид функции f, заключающиеся по сути в том, что распределения функций f(£i,...,£n) слабо эквивалентны распределениям сумм некоторых независимых случайных величин.
В работе [5] получен аналогичный теореме 1 результат, дающий необходимые и достаточные условия для применимости центральной предельной теоремы к симметрическим функциям от зависимых величин, и аналог условия (Rf) интерпретировался там так же, как в настоящей статье.
Лемма 1. Последовательность (B^} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1 (а Bn - правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2) тогда и только тогда, когда выполнено условие
ВП+m ~ ВП + B—, n + m A то. (4)
Утверждение леммы доказано в [6].
Доказательство теоремы 1. Необходимость.
Пусть выполнены соотношение (2) и условие нормировки (N). Тогда
B-p(p)| Xn |p A |N(0,1)|p, n A то, B-p(p)E| In |p = E|N(0,1)|p.
Отсюда следует равномерная интегрируемость последовательности (B-p(p)| Xn |p} (см., например, [7, теорема 5.4]). Далее, так как Bnk(p) является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 (условие (N)), то при любом натуральном k (не зависящем от n) Bnk(p) ~ л/kB^p), n A то. Отсюда
lim lim sup kP | Xn | ^ eBnk (pH =
k—ro n—>-<ro ^ J
lim lim sup kP { |N(0,1) | ^ e VkBn(p)) = 0.
k—ГО n-S-OO ^ J
n—ro
то есть выполняется условие (3).
Далее, из (2) следует, что при любом Ь е И.
E ехр(гЬВ-1(р)(Хга - Ага)| А ехр | - ^ \ , п А то. (5)
Пусть Ь е И и т = т(п). Обозначим
A(n)
itXn+m 1 J itXn 1 J itXm
E exp < —-— > — E exp < —-— > E exp
Bn+m(p) J l Bn+m(p) J 1 Bn+m(p)
Как указывалось выше, выполнение соотношения Д(п) А 0, п А то при любом Ь е И равносильно условию (Rf).
Поскольку В(р) - правильно меняющаяся последовательность порядка 1, то в силу леммы 1
Bn+m(P) ~ Bn (p) + B— (p), n A TO
так что для любой последовательности натуральных чисел {п1} существуют 0 ^ с ^ 1 и подпоследовательность {п2} С {п1} такие, что
В-22+т2 (р)Вп2 (р) ^ c, В-22+т2 (р)Вт2 (р) ^ 1 - С п ^ ^
где т2 = т(п2). Если с = 0 (с =1), то при п ^ то
В-21+т2 (р)(Хп2 - Ап2 ) ^ 0 (В-21+т2 (р)(Хт2 - Ат2 ) ^ 0)
по вероятности, следовательно, Д(п2) ^ 0, п ^ то. Если же 0 < с < 1, то в силу (4)
Еехр (^Хп2+т2 - Ап2+тЛ „ ехЛ-= ехр (-ехр (- (1 - ^
ГЗ Í \ I Í 1 OÍ Í 1 OÍ Í 1 о
Bn2+m2 (Р) J l 2 J ^ 2 J l 2
Eexn —TPU ■ Eexn it—T—tri' n
L Bn2+m2(p) J L Bn2+m2(p) )
Отсюда с помощью условия (N) получаем A(n2)
Ei .,Xn2+m2 An2+m2 exp < it
Bn2+m2 (p)
—> 0, n —oo.
-Е ехр(-■ Е ехр(-Ат2 Г ехр{^7п}
I, Вп2+т2(р^ I Вп2+т2(р) )
Таким образом, доказано, что из любой последовательности {А(п1)} можно выделить сходящуюся к нулю подпоследовательность. Это означает, что А(п) ^ 0, п ^ то, то есть выполнено условие (И*). Достаточность.
Пусть теперь выполнены условия (И^) и (3), а последовательность В-Р(р)| Хп |р| равномерно интегрируема. Тогда
г Х ^ El X 1р Е\ЛТ(0 1) 1Р
limsup Р\ | Х„ | ^ NB„(p) 1 ^ limsu^ -Р-Р^ = 1 (.р Л " 0, N "то. „^ж У- J „^ж NрB„(p) Nр
Из теоремы Прохорова (см., например, [7, с. 58]) следует теперь, что последовательность {B-1(p) —н} является относительно компактной, так что из любой последовательности натуральных чисел можно выбрать подпоследовательность {n1}, n1 = n1(n) такую, что при n "то
B-1(p) Хщ"" е, Bm1 (p)(—m - Ami) " п,
Bni1+mi (p)(—ni+mi — Ani +mi ) " С (6)
где m1 = m(n1), а £,П и Z - случайные величины. При этом поскольку последовательность {B-p| —п |р} равномерно интегрируема, то
Е|е|р = lim B-i1E| —„i |р = E|N(0,1)|р, Е|п|р = Е|<|р = E|N(0,1)|р,
E£ = En = EC = 0. (7)
Из ограниченных последовательностей
_ ВП1 (р) о _ Вт (р)
л/вщ+вш' л/вщ+вш
выберем подпоследовательности {аП2} и {вп2} такие, что
аП2 А а, вп2 А в, п А то, а2 + в2 = 1.
Тогда
ХП2 + Хт2 АП2 Ат2 гз-1/ \ /О И N I
= а„2 Вп2 (Р)(Х0П2 - АП2 ) +
л/вЩ+ВШ
+вп2В^(р)(ХХт2 - Ат2) А а£ + во. (8)
Понятно, что а£ + во имеет невырожденное распределение. Далее, в силу соотношений (1) и (6)
В-2 +т2 (Р)(ХП2 + Хт2 - АП2 ) А С, п А то, (9)
где ( имеет невырожденное распределение. По теореме о сходимости типов [2, с. 216] из (8) и (9) вытекает
л/ ВП2 (р) + Вт 2 (р) . г< АП2+т2 — АП2 — Ат2 . ЛП\
-В-(р--У С1, -В-(р)--С2, 0 < С1, С2 < то. (10)
ВП2+т2 (р) ВП2+т2 (р)
Из (8) и (10) выводим, что вместе с последовательностями {В-2р(р)|ХП2 — АП2|р} и {Втр(р)|Хт2 — Ат2 |р} равномерно интегрируемой является последовательность {В-2+т2 (р)|Х?п2 + Хт2 - А„2+т2 |р} и из (9) получаем теперь
7П2 = Вга2+т2 (р)(А«2+т2 - АП2 - Ат2) А EC = 0
Таким образом, мы показали, что для всякой последовательности натуральных чисел найдётся подпоследовательность {п2} такая, что 7„2 А 0, п А то. Это означает, что 7„ А 0, п А то.
Пусть п = кт + /, 0 ^ I < п. Из условия (И) и того, что 7„ А 0, следует: если последовательность к = к(п) растёт достаточно медленно, то
к
В-1(р) ^У,(т) + £(/), п А то, (11)
.7 = 1
где ^ (/), У, (т), = 1,...,к - независимые случайные величины и
У.(т) = В-1(р) Хт, ^(/) = В-1(р) Хь Аналогично (6) можно показать, что существует подпоследовательность натуральных чисел {п1} такая, что
В-1(Р) А е, втк(Р) ХткА п, Ee = Eп = 0, E|e|p = Eыp = E|N(o, 1)|р,
(12)
а аналогично (10) —
< (р) - Сз^вт (р)+(р)), (р) - (р),
(р) - С5(вг21 (р) + Ви-ь(р)) ^ С4В2 (р), 0 < Сз, С4, С5 < то, (13)
= к(п^, т1 = ш(п^, /1 = /(п^. Из (13) следует, что В-11(р)В11 (р) — 0, Вп - СзС4-1В21ТО1 (р) п — то, и поэтому
Е| 1р
(/1)| ^ в} ^ 0, п "то,
то есть Z(/1) — 0 по вероятности, так что
^ 1} (т1) — С, п "то. (14)
Далее, из (3) и (13) следует, что
(ш1)| ^ в} = кхр{| хт1 | ^ ев„1 (р)} -
- кхР{| Хт1 | ^ ^УС3С-ТВк1т1 (р)} — 0, п - то. (15)
Из (14) и (15) следует, что С имеет нормальное распределение [2, с. 330], а поскольку
ЕС = 0, Е|С|р = Е|Я(0,1)|р,
то С = N(0,1). Таким образом, из любой подпоследовательности последовательности {В-1(р) Хга} можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся по распределению к N(0,1). Это означает, что выполняется (2).
Из (2) следует, что в соотношениях (6) С = П = С = N (0,1) ив (8) аС + = N(0,1), поэтому в (10) С1 = 1, то есть
^ = В-2+т2 (Р) (вП2 (Р) + втз (Р)) - 1, п - то.
Таким образом, мы показали, что для всякой последовательности натуральных чисел найдётся подпоследовательность {п2} такая, что — 1, п — то. Это означает, что — 1, п — то, и в силу леммы 1 {ВП(р)} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1. Теорема 1 доказана.
Литература
1. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985. 141 с.
2. Лоэв М. Теория вероятностей. М. : ИЛ, 1962. 719 с.
3. Гринь А.Г. О минимальных условиях слабой зависимости в предельных теоремах для стационарных последовательностей // Теория вероятн. и её примен. 2009. Т. 54, № 2. С. 344-354.
4. Гринь А.Г. Нормирующие последовательности в предельных теоремах для слабо зависимых величин // Теория вероятн. и её примен. 1991. Т. 36, № 2. С. 285-300.
5. Гринь А.Г. О центральной предельной теореме для симметрических функций от зависимых величин // Математические структуры и моделирование. 2017. № 1(41). С. 5-11.
6. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей // Теория вероятн. и её примен. 2002. Т. 47, № 3. С. 554-558.
7. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М : Наука, 1977. 351 с.
ON THE ATTRACTION OF SYMMETRIC FUNCTIONS FROM DEPENDENT VARIABLES TO THE NORMAL LAW
A.G. Grin'
Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University
Abstract. The necessary and sufficient conditions for attracting a certain class of functions from dependent random variables to a normal law are obtained. These conditions include the so-called minimal conditions of weak dependence.
Keywords: symmetric functions of random variables, attraction to the normal law, minimal conditions of weak dependence.
Дата поступления в редакцию: 10.10.2017
