CC BY
12
Математические структуры и моделирование 2018. №1(45). С. 5-11
УДК 519.214 001: 10.25513/2222-8772.2018.1.5-11
КРИТЕРИЙ НОРМАЛЬНОЙ СХОДИМОСТИ ДЛЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТ ЗАВИСИМЫХ
Аннотация. Получены необходимые и достаточные условия для справедливости центральной предельной теоремы для симметрических функций от случайных величин, в которой масштабная нормировка осуществляется правильно меняющимися последовательностями произвольного положительного порядка. Эти условия включат в себя и так называемые минимальные условия слабой зависимости.
Ключевые слова: симметрические функции от случайных величин, центральная предельная теорема, минимальные условия слабой зависимости.
Пусть {£„} — стационарная в узком смысле последовательность. Будем писать £ = гц, — ц и ~ цп в случаях, когда, соответственно, распределения £ и ц совпадают, {£„} сходится к ц по распределению и когда последовательности {С«} и {цп} слабо эквивалентны (см., например, [1, § 28.1]). Слабая эквивалентность равносильна поточечной сходимости разности характеристических функций величин {£„} и {цп} к нулю при п — то [1, с. 393].
Следуя [2], назовём {Ьп,п = 1, 2,...} правильно меняющейся последовательностью порядка р, если Ь[х], х > 0 является правильно меняющейся функцией порядка р, где [х] — целая часть х. Через ^1,...,^п будем обозначать независимые случайные величины такие, что ^ = ^, к = 1, 2,..., п.
Пусть при каждом п Е N определена симметрическая вещественнозначная функция {, то есть $(х1,х2, ...,хп) = /(х¿1,...,х¿п), для любых х1, ...,хп Е К для любой перестановки {ъ1,...,1п} множества {1,...,п} (на самом деле определена последовательность функций, но чтобы не загромождать рассуждений, мы не будем подчёркивать зависимость / от п какими-либо индексами и называть / последовательностью).
Пусть Хп = f (&,...,£„), < то, ап = ЕХп, п = 1,2,...,
Ь2п = ЮХп — то, а М(0,1) — случайная величина, имеющая нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Если
то будем говорить, что к последовательности {Хп} применима центральная предельная теорема.
ВЕЛИЧИН
А.Г. Гринь
д.ф.-м.н., профессор, е-шаП: [email protected]
Омский государственный университет, Омск, Россия
Ъ-1 (Хп - ап) — Я(0,1), п —У то>,
Скажем, что последовательность {£„} удовлетворяет условию (Rf), если
Хп+т d Хп Хт
-----+ --, п + т ^ж. (Rf)
U'n+m U'n+m "п+т
Если bn является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 и 7п = b-lm(ап+ат—ап+т) ^ 0, п+т ^ ж, то будем говорить, что выполнены условия нормировки (N). В работе [3] получен следующий результат:
Теорема 1. Пусть {£п,п = 1,2,...} — стационарная последовательность и пусть ЕХ2 < ж, Для того чтобы к последовательности {Хп} была применима центральная предельная теорема и выполнялись условия нормировки (N), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (Rf) и последовательность {Ъ-2(Хп — ап)2} была равномерно интегрируема.
Замечание 1. В [3] условие (Rf) интерпретировалось как минимальное условие слабой зависимости, при котором справедлива центральная предельная теорема, и как условие, накладывающее ограничения на вид функции f, заключающиеся по сути в том, что распределения функций /(£i,...,£п) слабо эквивалентны распределениям сумм некоторых независимых случайных величин.
В теореме 1 {Ьп} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2. Такая масштабная нормировка используется в предельных теоремах для сумм независимых и зависимых случайных величин, в предельных теоремах для максимумов и т.п. Однако существуют предельные теоремы с нормальным предельным распределением, в которых масштабная нормировка осуществляется последовательностями других порядков. Например, в предельных теоремах для так называемых U-статистик:
Un = Un( Сь..^ Ы = f(xii ,...,Xik),
где {£„} - последовательность независимых одинаково распределённых величин, масштабная нормировка может осуществляться последовательностями, имеющими порядок пк/2 (см., например, [4]). Одна из первых предельных теорем о сходимости распределений U-статистик к нормальному распределению получена В. Хёфдингом в [5].
В настоящей работе доказывается аналог теоремы 1 в случае, когда {Ьп} является правильно меняющейся последовательностью порядка р > 0.
Пусть
1 1 Ьп \ YP — 1, ^ = YP — 1.
ап = 11-) ' I
\ "п+т / \ "п+т /
Будем говорить, что последовательность {} удовлетворяет условию (И|), если
Хп+т d &пХп . НпХт . /т~>*\
-----+ --, п + т ^ж. (R*)
"п+т Uп+т Uп+т
Математические структуры и моделирование. 2018. №1(45)
7
Если [Ъп] является правильно меняющейся последовательностью порядка р > 0 и 1п = Ь-1т(апап + @пат — ап+т) А 0, п + т А то, то будем говорить, что выполнены условия нормировки (К*).
Теорема 2. Пусть [£п,п = 1,2,...} — стационарная последовательность и пусть EX2 < то. Для того чтобы к последовательности {Хп} была применима центральная предельная теорема и выполнялись условия нормировки (К*), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (И,*) и последовательность {Ъ-2(Хп — ап)2} была равномерно интегрируема.
Лемма 1. [6] Ьп является правильно меняющейся последовательностью порядка р, р > 0 (а ьЦр — правильно меняющейся последовательностью порядка 1) тогда и только тогда, когда
Ь)+т - Ь1/р + ъттр, п + т а то. Доказательство теоремы 2.
Необходимость. Пусть к последовательности {Хп} применима центральная предельная теорема, то есть при любом £ е И.
Eехр{ИЬ-1 (Хп — ап)} А ехр | — , п А то (1)
и выполнены условия нормировки (К*). Так как
Ъ~2(Хп — ап)2 А Я2(0,1), Ь^Х» — ап)2 = 1 = EЯ2(0,1),
то равномерная интегрируемость последовательности {Ь~2(Хп — ап)2} следует, например, из теоремы 5.4 в [7].
Пусть £ е И и т = т(п). Обозначим
А(п) = |E ехр {ИЪ~\тХп+т} — E ехр^Ь^т^Хп^ ехр{ИЬ~1тРпХт}1 =
Е| •. Хп+т \ г | •. Хп ап | ехр < гъ---> — E ехр < ггап—-> х
^ "п+т ) ^ "п+т )
х E ехр | ^т-——\ ехр {й^п}
Поскольку Ьп — правильно меняющаяся последовательность порядка р, то в силу леммы 1
^2 12 о 2 Ъ2 ^/Р + ^/Р
ЭД = + ^ = --► 1 п + т Ато, (2)
^п+т ^п+т Оп+т
так что для любой последовательности натуральных чисел {щ} существуют 0 ^ с ^ 1 и подпоследовательность {п2} С {щ} такая, что
а2 Ъ2 в2 Ъ2
А С, А 1 — С, П А то,
где т2 = т(п2). Если с = 0 (с = 1), то при п ^ то
аП2 ЬП2+т2 (ХП2 — аП2 ) ^ 0 (/3П2 ЬП2+т2 (Хт2 — ат2 ) ^ 0)
по вероятности, следовательно, Д(п2) ^ 0, п ^ то. Если же 0 < с < 1, то в силу (1) и (К*)
дм
Е\ -,ХП2+т2 0>П2+т2 1 т? \ ■, Хп2 ап2 1
exp < гt---> — Eexp < гtап2—т-> х
I, "П2+т2 ) L 0'П2+т2 )
х E exp j itßn2 -- ( exp{^tjm } —
l, V П2 +1П2 J
exp{—— exp{—exp{—}
0.
Таким образом, доказано, что из любой последовательности {Д(п )} можно выделить сходящуюся к нулю подпоследовательность. Это означает, что Д(п) — 0, п — то, то есть выполнено условие (R*).
Достаточность. Пусть выполнено условие (R*) и последовательность {Ь~2(Хп — ап)2} равномерно интегрируема. В силу известной теоремы Прохорова (см., например, [7]) последовательность {Ь-1(Хп — ап)} является относительно компактной, так что из любой последовательности натуральных чисел можно выбрать подпоследовательность {щ}, щ = щ(п) такую, что при п — то
ЬП1(Хп! — а.П1 ) —> ^ bm1 (Xmi — ami ) —> v, Ьп1+т1 (ХП1+т1 — О-пг+тг ) —> С, (3)
где т\ = т(щ) — то (случай, когда {т\} - ограниченная последовательность, оговорим позже), а Ç/q и ( — случайные величины. При этом, поскольку последовательность { п2( Хп — п)2} равномерно интегрируема, то
EС2 = lim ЕЪпКХщ — «щ)2 = 1, Er?2 = E(2 = 1, E£ = Er] = E( = 0. (4)
п^-ж 1
Из ограниченных последовательностей
&пг Ьщ ß,ai Ьтг
ßпг / 2 Т22 | Q2 Т22 , ^пг / 2 Т22 i Q2 Т22
у ^пг ®пг + г^пг ®mi у ^пг ®пг + г^пг ®mi
выберем подпоследовательности {^п2} и {ип2} такие, что
ßn,2 — ß, Vп2 — V, п — то, ß2 + V2 =1. (5)
Тогда из (3) и (5) выводим
®-п2 (Хп2 &п2) + ßп2 (Хт2 &т2) Хп2 &п2 . Хт2 &т2 d С', ^ -/,2 , h2 - = ßm-7-+ "m-7--> ߣ + Щ. (6)
V ®п2 + V т2 °п2 °т2
Понятно, что + ßrf имеет невырожденное распределение.
Математические структуры и моделирование. 2018. №1(45)
9
Далее, в силу соотношений (И*) и (3),
1 ^ ^ а
^п2+т2 (®п-2 Хщ + @П2 Хт2 — 0>П2+т2) ^ С, П ^ то, (7)
где ( имеет невырожденное распределение. По теореме о сходимости типов [1, с. 216] из (6) и (7) вытекает
У^П2 + ^т2 , ^ ап2 ап2 + $П2 ат2 — ап2+т2 , ^ А ^ ^ I -
-7--> С1, ----> С2, 0 < С\, 1С2 I < то.
®П2+т2 ®П2+т2
Отсюда с помощью (6) выводим, что вместе с последовательностями {Ъ~2(ХП2 — аП2)2} и {Ьт2 (Хт2 — ат2)2} равномерно интегрируемыми являются последовательности
(ХП2 - аП2 ) + @П2 (Хт2 0>т2 ))2},
{ЪП2+т2 (Р-П2 -Х-п.2 + Рп,2 Хт2 — аП2+т2 ) }; из (7) получаем теперь
7П2 ^П1+т2 (®П2 ап2 + @П2 ап2 — У"П2+т2 ) ^ EC 0,
$П2 = К2;+т2 («П2 Ь2т + Рт Ь2т2 ) А EC2 = 1, п А то. В силу (2) последнее соотношение означает, что
Ьп2р+ътр
5(п2) = —2—/-2—> 1, п + т А то. (8)
Ъ 2
иП2+т2
Таким образом, мы показали (в случае, когда т(п) А то), что для всякой последовательности натуральных чисел найдётся подпоследовательность {п2} такая, что гуП2 А 0, 6П2 А 1, п А то. Это означает, что тп А 0, 5п А 1, п А то.
Если же т(п) - ограниченная последовательность, то {ат} и {Ьт} также ограничены, а из (8) нетрудно вывести, что Ьп А то, п А то и, следовательно, 'Уп А 0, 5п А 1, п А то.
В силу леммы 1 выполнены условия нормировки (Ы*). Пусть теперь выполнены условия (Ы*) и (И*). Тогда если к = к(п) А то достаточно медленно, то Ьпк — крЬп и из условия (И*), где
1
а™ = ( ^ 2р — кр~1
Уп к )
получаем
Ь~кХпк — £ кТ1 Ь~кГ, — £ к-2 Ьп %,
3=1 3=1
где Yi,...,Yk, - независимые случайные величины, Yj = f(^(j-l)n+l,..., £jn) = = Xn, j = 1,...,k. Отсюда с помощью условия (N*) получаем
b~-lk(Xnk -ank) ¿ £ . (9)
Для того чтобы к последовательности серий i j — a ,j = 1,...,k, п = 1,2,...
I V k bn
независимых случайных величин была применима центральная предельная теорема, достаточно, чтобы выполнялось условие Линдеберга: при любом е > 0 1 k
Lnk(е) = тгг E{(Yj - an)2, |Yj - an| > ev^&n} — 0, п — то. k j=l
Используя определение величин Yj и равномерную интегрируемость последовательности {bn2(Xn — an)2}, получаем
(Хп О-п) \Хп 0¡n\
Lnk(е) = Е { , —^ > I — о, п — то,
I ьП bn J
что вместе с (9) даёт bnH(Xnk — ank) .V(0,1), п — то.
Представим теперь произвольное натуральное m в виде m = кп + г, 0 ^ г < m, к = [п/m]. Из условий (R*) и (N*) выводим
(Xm Cm) d 0-n(Xnk Cnk) ßn(Zn Cr) /im
-b---b-+ —b-, (10)
m m m
где Zn = f(ikm+i,..., ikm+r) = Xr не зависит от Xnk,
a =( bn^^j 2p 1 ß =( ЬЛ 2p 1
n V ьш) ' n V W
Правильно меняющаяся функция положительного порядка эквивалентна неубывающей функции [2, с. 26], так что при достаточно больших п max Ь2Гb~2 < 2, если к = к(п) — то растёт достаточно медленно, то что
atn ~ kan, а так как m/пк — 1, п — то, то bn ~ Ьпк и ап — 1, п — то. Соотношение (10) принимает тогда вид
(Хт ) d Хпк &пк Xr fi'nbr - ~--1--. -,
Ьт Ьпк Ьг Ьт
где
1
^ ^^ ^ ^ 2*к-1 — 0, п — то,
Ьт \ bn к / Хг аг ßn&r ~ ti /1/->\
поэтому —--• —--> 0 по вероятности. Из (10) следует теперь
r т
Ьтг(Хт - ат) ~ Ь~п1(Хпк - а,пк) — Я(0,1), т — то. Теорема доказана.
Математические структуры и моделирование. 2018. №1(45)
11
Литература
1. Лоэв М. Теория вероятностей. М. : ИЛ, 1962.
2. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985.
3. Гринь А.Г. О центральной предельной теореме для симметрических функций от зависимых величин // Математические структуры и моделирование. 2017. № 1(41). С. 5-11.
4. Королюк В.С., Боровских Ю.В. Теория U-статистик. Киев : Наукова Думка, 1989.
5. Hoeffding W. A class of statistics with asymptotically normal distribution // Ann. Math. Statist. 1948. V. 19. P. 293-325.
6. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в предельных теоремах для стационарных последовательностей // Теория вероятн. и ее примен. 2009. Т. 54, № 2. С. 344-354.
7. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М : Наука, 1977.
THE CRITERION OF NORMAL CONVERGENCE FOR SYMMETRIC FUNCTIONS OF THE DEPENDENT VARIABLES
A.G. Grin
Dr. Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia
Abstract. The necessary and sufficient conditions for fulfillment of the central limit theorem for symmetric functions of random variables, in which the scale normalization is carried out by regularly varying sequences of arbitrary positive order are obtained in this article. These conditions include the so-called minimal conditions of the weak dependence.
Keywords: symmetric functions of random variables, central limit theorem, minimal conditions of the weak dependence.
Дата поступления в редакцию: 30.01.2018
