Сходимость распределений калибровочных функций от зависимых величин к max-устойчивым законам Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.214 DOI: 10.25513/2222-8772.2018.4.5-13

сходимость распределений калибровочных функций от зависимых величин к max-устойчивым законам

А.Г. Гринь

профессор, д.ф.-м.н., e-mail: [email protected] Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия

Аннотация. Получены необходимые и достаточные условия для сходимости распределений симметрических калибровочных функций от зависимых случайных величин к max-устойчивым законам. Эти условия включают в себя и так называемые минимальные условия слабой зависимости.

Ключевые слова: калибровочные функции от случайных величин, max-устойчивые распределения, минимальные условия слабой зависимости.

Пусть {£„} — последовательность независимых одинаково распределённых величин, Хп = max £п, Fn(x) = Р{Хп < ж} , F1(x) < 1, х > 0, а Fn F

ЫМ/п

означает, что {Fn} слабо сходится к F. Следуя [1], назовём {ап, п = 1, 2,...} правильно меняющейся последовательностью порядка р, если а\_х], х > 0 является правильно меняющейся функцией порядка р, где [ж] — целая часть х.

Для того чтобы при некотором выборе нормирующих констант ап имело место соотношение Fn(xan) ^ F^ (х), п ^ ж, где £ — невырожденная случайная величина, необходимо и достаточно, чтобы Pfe ^ х} являлась правильно меняющейся функцией порядка —р, р > 0. При этом предельное распределение (их называют max-устойчивыми) имеет вид F^(х) = Gp(x) = exp {—сх-р} , х > 0, с > 0, а нормирующие постоянные ап можно найти из соотношения

ап = sup {х : nP{|^1| ^ х} ^ 1} . (1)

Такая последовательность {ап} существует и является правильно меняющейся порядка 1/р [1, с. 29] и

nP{|^1| ^ хап} ^ х-р, п ^ ж (2)

[2, с. 319].

Символ п + т ^ ж в каком-либо соотношении будет означать, что указанное соотношение выполняется при п ^ ж и при любой последовательности натуральных чисел т = т(п). В [3] получен следующий результат.

Теорема 1. Пусть {£„}, п = 1,2,...} — стационарная последовательность, у которой P{^1 ^ х} является правильно меняющейся функцией

порядка -р, р > 0 и пусть Хп — тах £п> а последовательность {ап}

определяется из соотношения пР^ ^ ап} ^ 1,п ^ <. Для того чтобы Рп(хап) ^ Ор(х), п ^ <, х > 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие утверждения:

а)

Рп+т(хап+т) - Рп(хап+т)Рт(хап+т) ^ 0, п + т ^ <; (^1)

б) при любом х > 0 и при любой достаточно медленно растущей последовательности к — к(п) ^ <, п ^ <

Р{Хга > хакп} ~ пР{^1 > хакп}, п ^ <. (И^)

Замечание 1. Теорему 1 можно интерпретировать так: условия (И1) и (И2) являются минимальными условиями слабой зависимости, при которых выполняются предельные теоремы для максимумов с той же нормировкой, что и в предельных теоремах для независимых величин.

В настоящей работе результат теоремы 1 обобщается на случай, когда Хп является функцией специального вида (так называемой калибровочной функцией) от величин ^,...,£п и приводится «общеупотребительное» условие слабой зависимости, обеспечивающее выполнение аналога условия (И2).

Пусть при каждом п Е N определено отображение / : Ега ^ Е, удовлетворяющее следующим условиям:

И. f (х) > 0, х — 0;

f2. f (7х) — |71/(х), 7 Е Е;

f3. /(х + у) ^ /(х) + /(у);

f4. f(Х1,...,ХП) — f(£1Хг1 ,...,£пХгп) где £1 — ±1, а (г1,...,гп) -перестановка множества (1,...,п).

Функция / (на самом деле последовательность функций, но чтобы не загромождать рассуждений, мы не будем подчёркивать зависимость / от п какими-либо индексами и называть / последовательностью) называется симметрической калибровочной функцией (см., например, [4, е.107]).

Будем также предполагать, что

f5. f (Х1,Х2, ...,Хп-1, 0) — f (Х1,Х2, ...,Хп-1).

В [5] можно посмотреть примеры функций, удовлетворяющих свойствам f1-f5. В силу f3 с х — (х1,х2, ...,хк, 0..., 0), у — (0,..., 0,хк+1, ...,хп) при любом

к < п

-/(Хк+1,%2 ,...,Хп) ^ / (Х1,Х2 ,...,Хп) - / (х1,Х2,...,Хк) ^ / (хк+1, Х2, ..., Хп) ,

так что для любого 1 ^ к ^ п

|/(Х1,Х2 ,...,Хп) - / (х1,х2,...,хк )| ^ / (хк+1,,...,хп). (3)

Пусть {£„} — стационарная в узком смысле последовательность и пусть Хп — f (&,...,&), Рп(х) — Р {Хп <х} .

Теорема 2. Пусть {£„}, п = 1,2,...} — стационарная последовательность, у которой P{|£l| ^ х} является правильно меняющейся функцией порядка —р, р > 0, Хп = f (£ь...,£п), а последовательность {ап} определяется соотношением (1). Для того чтобы Рп(хап) — Ор(х) = ехр {—сх~р}, с = ¡р(1), х > 0 п — ж: необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие утверждения

а)

Рп+т{хап+т) — Рп(хО,п+т) Рт(хап+т) — 0, П + Ш — ж; (И^))

б) при любом х > 0 и при любой достаточно медленно растущей последовательности к = к(п) — ж, п — ж

P{Xn > хкап} ~ nP{X1 > хкап}, п — ж. (И2(£))

Если же для некоторой последовательности {£п} Рп(хап) —у Ср(х), х > 0 и выполняются условия (И^)) и (И2(Г)), то {|1 ^ х} является правильно меняющейся функцией порядка —р.

Замечание 2. Условие И2 интерпретировалось в [3] как одно из минимальных условий слабой зависимости, при которых распределения величин Хп = тах сходятся к тах-устойчивым законам. В настоящей работе условие является не только условием слабой зависимости, но и накладывает значительные ограничения на вид функции /, заключающиеся по сути в том, что распределения функций /(£ь...,£п) слабо эквивалентны распределениям максимумов некоторых независимых случайных величин.

Лемма 1. . Последовательность {ап} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1 (а ап — правильно меняющейся последовательностью порядка 1/р, р > 0) тогда и только тогда, когда

ап+т ~ ап + ат, П + т — Ж.

Доказательство, по существу, повторяет доказательство леммы 1 в [3].

Доказательство теоремы 2.

Необходимость. Пусть Гп(хап) ^ Ср(х), п — ж. Функция Ср(х) непрерывна при х > 0, поэтому слабая сходимость равносильна поточечной:

Рп(хап) — Ср(х), х> 0. (4)

Пусть т = т(п) — произвольная последовательность натуральных чисел. Обозначим

Поскольку ап — правильно меняющаяся последовательность порядка 1, то в силу леммы 1

о^п+т ~ < + apт, п — ж,

так что для любой последовательности натуральных чисел {п{} существуют 0 ^ а ^ 1 и подпоследовательность {п2} С {п1} такие, что

а"п2+т2а,п2 ^ ап2+т2ат2 ^ 1 - п ^ <,

где т2 — т(п2). Пусть сначала 0 < а < 1. С помощью (4) получаем

аг,

ды

F ( ) f I &П2+т2 \ F I &П2+т2 \

FП2+т2 (хап2+т2) РП2 1 хап2 I Рт2 1 хат2 I

\ ап2 ) V ат2 )

Gp{x) — Gp (^ха Gp ^x(1 — a) p j

= |exp {—ex р}— exp {—acx р} exp { — (1 — a)ex р}| = 0. (5)

Если же а = 0 (а = 1), то при n ^ ж а~2+т2ХП2 ^ 0 (а~1+т2Хт2 ^ 0) по

вероятности, следовательно, при х > 0 Fn2 (хаП2+т2) ^ 1 (Fm2 (хаП2+т2) ^ 1), и с помощью (4) легко выводится, что

\Fn2+m2 (хап2+т2 ) Fm2 (хап2+т2 ) 1 ^ 0 (\Fn2+m2 (хап2+т2 ) Fn2 (хап2+т2 ) 1 ^ 0),

то есть Д( rn2) ^ 0, n ^ ж. Вместе с (5) это означает, что из любой последовательности (Д(п1)| можно выделить сходящуюся к нулю подпоследовательность. Следовательно, что Д(п) ^ 0, n ^ ж, и мы показали, что выполнено условие (R1(f)).

Докажем (R2(f)). В силу условия /2 Х1 = с1/р\^ Так как {а^} — правильно меняющаяся последовательность порядка 1, то аркп ~ кар, и если к = k(n) ^ ж растёт достаточно медленно, то в силу (2)

nP{Xi > хакп] = nP{с1/р\> хакп] ~ , n ^ ж. (6)

По предположению теоремы

с

P{Xn > хакп} = 1 — Fn(xakn) ~ 1 — exp j — -j^-р}

r^j

кхр

что вместе с (6) даёт нам условие И2(Г). Достаточность.

Пусть выполнены условия (И^)) и (И2(£)), к — к(п) ^ <, п — кт + + г, 0 ^ г < т. С помощью условия (И1(£)) при к, растущем достаточно медленно, получаем

Рп(хап) ~ ^(хап)Рг(хап), п ^ <. (7)

Правильно меняющаяся функция положительного порядка ап эквивалентна неубывающей функции [1, с.26], и мы в дальнейшем будем считать её таковой. Если г — г(п) ^ <, то из условия (И^)) и (6) следует

1 - Рг(хап) ^ Р{ХГ ^ акг} ~ гР{Х1 ^ акг} ~ -—> 0, п ^ <. (8)

к

Если же г = г(п) — ограниченная последовательность, то ^{Х1 ^ акг} — 0 просто потому, что акг — ж, п — ж. Вместе с (7) и (8) это означает, что

Рп(хап) ~ ^(ха,п) = (1 — P{Xm > ха,п})к п — ж. (9)

Из правильного изменения последовательности {ап} легко выводится, что ап ~ акт, и в силу условия (И2(£))

с

P{Xm > ха,п} ~ P{Xm > хакт} ~ mP{Xl > хакт} ~ . (10)

Из (9) и (10) выводим

(С \ к

1 — ~кх~Р (1 + °п(1))) — ехр{—сх-р) ,п — ж.

Пусть теперь Гп(хап) — Ср(х) = ехр {—сх-р}, с = /р(1), х > 0 и к = к(п) — ж, п — ж. Тогда если к(п) растет достаточно медленно, то

с

P{Xn > хкап} ~--

крхр а в силу (R2(f))

P{Xn > хкап} ~ nP{X1 > хкап} = nP{cl/pl^\l > хкап} ~ ^ p, п ^ *х>.

Отсюда следует, что P{^i ^ х} является правильно меняющейся функцией порядка —р [2, с.318]. Теорема доказана.

Приведём пример условия слабой зависимости, обеспечивающего выполнение условия (R2(f)).

Пусть и — а-алгебры, порождённые семействами : i ^ п} и {6 : г ^ п}. Если для некоторой функции А(ж) > 0 такой, что А(ж) | 0, х ^ 0

( P(AB) 1

SUH P(A)X(P(B)) : А Е е или А е ?>1,в е ^о j < !,

то говорят, что последовательность {£п} удовлетворяет условию \-перемешивания (см.[6]).

Пусть {сп} — последовательность положительных чисел. Обозначим

Xk,i = f (£k, ...,&),к <1, Хп = max Хк, 5п = А ( 2 max P{Xfc ^ £Сп}) .

l^fc^n у /

Лемма 2. Пусть е > 0, х > 0 и т ^ п, а функция f удовлетворяет условиям f1 — f5. Если последовательность {сп} такова, что 8п < 1, то

P{Xm-i ^ (х + £)Сп} ^ (1 — бп)-^^ ^ ХСп}.

Доказательство. Пусть Ек — {Хк-1 < (х + е)сп ^ Хк}, к — 1,...,т, £ > 0.

т—1 _

Тогда Е^Е^ — 0, %— ], и Ек — {Xт-1 ^ (х + е)сп}, а в силу (3)

к=1

{Хк ^ (х + £)Сп, Хк+1,т < £сп} С {Хт ^ хсп},

то есть

{Хт < Xсп} С {Хк < (х + £)сп} и {Хк+1,т ^ еСп},

откуда

{Хт <хсп, Ек }С{Хк+1^т сп, Ек}, к —1,...,т - 1. (11)

С помощью (11) и условия А-перемешивания получаем

т— 1

Р{Хт-1 ^ (х + е)сп} ^ Р{Хт ^ Xсп} + ^ Р{Хт < жсп, Ек} ^

к=1

т—1

X сп } + ^ Р{Хк+1 Ек } ^

к=1

( \ т—1 ^ Р{Хт ^ Xсп} + А тах Р{Хк ^ есп} V Р{Ек} ^

4 / к=1

^ Р{Хт ^ хсп} + 5п • Р{Хт—1 ^ (х + е)сп}, откуда следует утверждение леммы. ■

Лемма 3. Если функция / удовлетворяет условиям /1 - /5, последовательность {сп} такова, что 8п < 1/2, то при любом х > 0 и 0 < е < х

Р{Хп ^ хсп} ^ пР{Х1 > (х + 3е)сп}(1 - 36п).

Доказательство. Пусть Ап — {Хп—1 < 2е, $ (£п) ^ (х + 3е)сп}

Ак — {Хк—1 < 2£сп, / (£к) ^ (х + 3е)Сп, Хк+1,п < £сп} , 1 ^ к ^п - 1.

В силу (3)

№п - / (Ск)| ^ Хк—1 + Хк+1 (12)

так что

Р{Хга ^ жсп} > Р Ц I АЛ — > ; Р{А1 •... • Ак—1Ак}

!п ^ п

— £

к=1 ) к=1 п п ( к—1 ^

£ Р{Ак}-£ Р А, • иАЛ .

к=1 к=1 К. j=1 )

АЛ. (13)

При 1 ^ к ^ п - 1 получаем

Р{А^} — Р {! (Ск) > (х + 3е)сп}-

-P if (&) ^ (х + 3е)сп, ({Xk-г > 2есп} U [Хк+1>п > есп})} ^ ^ P if (Ск) ^ (х + 3фп} (1 - Л (P{Xk+i,n ^ £Сп}) - Л (P{Xk-i ^ 2есп}) ^

^ P if (Ск) ^ (х + 3фп} (1 - 2£п). (14)

PiAn} оценивается аналогично. Далее

{Xj-i < 2ес,п, f (О) ^ (х + 3фп} С {Xj-i < 2есп, Xj ^ (х + е)сп} ,

к—1

так что если е < х, то P ^ Ак • (J Aj} ^

j=i

^ P j f (&) ^ (^ + 3е)сп, (Xj—i < 2ес,п, f (&■) ^ (ж + 3фп) j ^

^ P {f (Ск) ^ (х + 3е)сп,Хк—i ^ 2есп}) < P U (&) ^ (X + 3е)сп} Л ^{Хк—i ^ 2есп}) . (15)

и тогда из (13), (14) и (15) и леммы 2 с 5п < 1/2 следует

п

P^ ^ хсп} > ^ P {f (&) ^ (х + е)сп} (1 - 36п). k=1

Лемма доказана.

■

Следующее предложение - это модификация леммы 3.1 из [7].

Лемма 4. Пусть функция f удовлетворяет условиям fi - f5, е > 0 и последовательность {сп} такова, что 8п < 1. Тогда

P^ ^ (X + 3фп} ^ ^п(1 - 6п) — ^{Хп > £Сп} + UP {Xi > ХСп} .

Доказательство. Пусть Ек = {Xк—1 < 2есп ^ Хк},к = 1,...,п. Тогда

п—i _

EiEj = 0, i = j, U Ек = {Хп—i > 2есп}. В силу (3) при 1 ^ к ^ п - 1 к=!

\ Хк+^п < £Сп, Ек, max f ) < хс,Л С

I I

С i Хп < (х + 3е)сп, Ек, max f (£к) < ХСп) , I I

откуда

<Хп ^ (х + 3фп, Ек, max f ) < хс,Л С {Ек, Хк+i,п > есп}. (16)

I I

Аналогично выводится

<ХП ^ (x + 3е)cn, max f () < хcn \ С i Xn— ^ 2ecn, max f () < xcn \ . I l^k^n I I l^k^n I

Отсюда

<Xn ^ (x + 3e)Cn, max f (^) < xCn\ = I l^kn I

= < Xn ^ (x + 3e)Cn, Xn-i > 2eCn, max f (^) < xCn\ . (17)

I l^k^n I

С помощью (16) и (17) получаем P{Xn ^ (x + 3е)cn} ^

^ P {Xn ^ (x + 3е) Cn, max f (^) < x c,n> + P < max f () ^ x c,n\ =

= P < Xn ^ (x + 3e)c,n, Xn-l ^ 2ec,n, max f (^) < xc,n >+P < max f () ^ xc,n\ = = V P Xn > (x + 3e) Cn ,Ek, max f (&) < x cn 1+ Pi max f () ^ x сЛ . (18)

^—' ^ l^k^n J J

Из соотношения (3) следует

Xk+l,n ^ Xn — f (Ck) — Xk-l i

и из (18) выводим

n- l

(x + 3e)Cn} ^ y^P{Xk+l,n ^ £Cn,Ek} + P < max t (tk) ^ xcn

P{Xn > (x + 3e)Cn} ^ n^ P{Xk+l,n ^ eEk} + P ( max f (^) ^ xсЛ ^

k=l ^ J

^ nP{Xl > xCn} + A (max P{Xk ^ eCn}\ ПгP{Ek} =

\ ^ ^ / ¡~—1

— ^Р{Хга—1 ^ 2есп} + иР{Х! ^ жсп}. Из этого соотношения с помощью Леммы 1 выводим утверждение леммы. ■

Замечание 3. Из лемм 2 и 3 вытекает следующее утверждение: если последовательность положительных чисел {сп} такова, что при любом е > 0

5n = A ( max P\Xk ^ ecn j I —> 0,

уым/n J

к ^ £ Сп} ^ ^ 0, п ^ ж

и при любых х > 0, е > 0 выполняется одно из следующих предположений:

Р{Хга ^ (х + 3е)сп} — О (Р{Хп > £сп}) п ^ ж, (19)

8пР{Хп ^ £сп} — о (иР{Х1 ^ хсп}), п ^ ж, (20)

то при п ^ ж

Р{Хп >хСп}~пР{Х1 >хсп(21)

то есть, имеет место (К2(£)).

Если для некоторой последовательности {£„} выполняется условие А-перемешивания, Еп(хап) ^ Ср(х) = ехр {-сх-р} , х > 0, а к = к(п) ^ ж растёт достаточно медленно, то

P{Xra ^ (х + 3е)кап} l - exp {-ск-р(х + 3е)-р}

~ -:-?-тт^—;--> -— , п —> со

(-Y •

\х + 3е J

P{Xn ^ екап} l - exp {-с(ек)-р} + 3е,

Это означает, что выполняется (19) и, следовательно, (21), то есть (R2(f)).

Литература

1. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985.

2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 2. М. : Мир, 1984.

3. Гринь А.Г. Минимальные условия слабой зависимости в предельных теоремах для максимумов // Математические структуры и моделирование. 2006. Вып. 16. C. 2125.

4. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и её приложения. М. : Мир, 1983. 574 с.

5. Гринь А.Г. О предельных теоремах для функций от независимых случайных величин // Математические структуры и моделирование. 2016. № 2(38). C. 5-15.

6. Гринь А.Г. Области притяжения для последовательностей с перемешиванием // Сибирский математический журнал. 1990. Т. 31, № 1. С. 53-63.

7. Peligrad M. An invariance principle for p- mixing sequences // Ann. Probab. 1985. V. 13, No. 4. P. 1304-1313.

THE CONVERGENCE OF THE DISTRIBUTIONS OF THE CALIBRATION FUNCTIONS FROM THE DEPENDENT VARIABLES TO MAX-STABLE LAWS

A.G. Grin

Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Abstract. The necessary and sufficient conditions for convergence of the distributions of symmetric calibration functions from dependent random variables to max-stable distributions are obtained in this article. These conditions include the so-called minimal conditions of the weak dependence.

Keywords: calibration functions of random variables, max-stable distributions, minimal conditions of the weak dependence.

Дата поступления в редакцию: 15.10.2018