О моментах симметрических функций от зависимых случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

структуры и моделирование 2016. №»4(40). С. 17-23

УДК 519.214

О МОМЕНТАХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОТ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

А.Г. Гринь

д.ф.-м.н., профессор, e-mail: [email protected] Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Аннотация. В работе получены оценки для моментов и равномерная интегрируемость определённого класса функций от случайных величин, которые образуют стационарную последовательность с равномерно сильным перемешиванием.

Ключевые слова: симметрические функции от случайных величин, равномерно сильное перемешивание, равномерная интегрируемость.

В работе [1] на основе некоторого аналога неравенства М. Пелиград получены оценки моментов так называемых обобщённых сумм слабо зависимых случайных величин. Для «обычных» сумм такие оценки впервые получены И. А. Ибрагимовым (см., например, [3, лемма 18.5.1]); на этих оценках базировалось доказательство центральной предельной теоремы для последовательностей с ^-перемешиванием. В настоящей работе показывается, как разработанную в [1] технику модифицировать для более общей ситуации — для функций от случайных величин, не являющихся, вообще говоря, результатом последовательного применения бинарных операций (обобщённых сумм).

Пусть при каждом n Е N определена вещественнозначная функция f (x) = f (xi, x2,..., xn), xi,...,xn Е D С R (то есть, определена последовательность функций, но, чтобы не загромождать рассуждений, мы не будем подчёркивать зависимость f от n какими-либо индексами и называть f последовательностью).

Будем предполагать, что функция f при любых xi,...,xn е D, yi,...,yn е D удовлетворяет следующим условиям (условия A):

Ai. Симметричность: f (xi1 , ...,xin) = f (xi, x2,..., xn) для любой перестановки {ii,___,} множества {1,...,n};

A2. f (xi,x2, ...,xra-i, 0) = f (xi,x2, ..., x„-i);

A3. |f (x ± y)| ^ |f (x)| + |f (y)|.

Ясно, что из условия A3 следует утверждение:

A3. ||f (xi , x2, xn )| - |f(xi,x2, ...,xfc)|| ^ |f(xfc+i, , ...,xn)| для любого 1 ^ k ^ n. (Согласно сказанному выше f (xi,x2, ...,xk) = f (xi, ...,xk, 0,..., 0).)

Более того, из A3 вытекает |f (xfc)| ^ |f (xb x2,..., xfc )| + |f (xi ,x2,...,xfc_i)|, k = 2,..., n, так что

max |f (xfc)| ^ 2 max |f (xi,x2, ...,xfc)| ^ 2(|f (xi)| + ... + |f (xn)|). (1)

В [2] приводятся многочисленные примеры функций, удовлетворяющих условиям A.

Пусть {£„} = {£n, n = 1,2,...} — стационарная в узком смысле последовательность и пусть Т^га и Т^га — и -алгебры, порождённые семействами {6 : i ^ n} и {^ : i ^ n}. Говорят, что последовательность {£n} удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (^-перемешивания) с коэффициентом перемешивания <^(n), если

(|P(AB) — P(A)P(B)| „ _ л 1 p(n) = sup I^-) P(A() ) ( )l : A G F^o, B G т^л ^ 0, n ^ rc.

Будем обозначать

Xfc>m(b) = — у) , Xn(b) = Xi>ra(b), X„ = X„(1),

X„(b) = max |Xk (b)|, Yk (b) = f f^) , k,m,n G N, b> 0. l^fc^n V b /

Лемма 1. Пусть e > 0, x > 0 и k ^ n, а функция f удовлетворяет условиям A. Если последовательность {cn} такова, что

max P{|Xj (cn)| ^ e} + <^(m) ^ 7 < 1, l^jXn

P{Xfc(cn) ^ 2x + e} (P{|Xfc(cn)| ^ x} + P\ max |Yj(cn)| ^-)]

1 — y \ [i^j^n m J /

то при любых a > 0

1

1 — y \ [i^j^n m

Доказательство. Пусть Ei = {Xi-1(cn) < 2x + e ^ |X,(cn)|}, i = 1,...,n. Тогда k

EiEj = 0, i = j, U E = {Xfc(cn) ^ 2x + e}.

i=1

В силу свойства A3 при i + m ^ k

x

{|Xi(cn)| ^ 2x + e, max |YJ(cn)| < —, |Xi+m>fc(cn)| < e} С {|Xfc(cn)| ^ x},

i<j<n m

то есть при 1 ^ k ^ n — 1

x

{|Xfc(cn)| <x} С {|Xi(cn)| < 2x + e}U{|Xi+m>fc(cn)| ^ e} u\ max |lj(cn)| ^ -

[ KKn m

откуда

{|Xfc(c„)| < x,Ei} С {|Xi+m>fc(c„)| ^ e,Ei} U <! max |lj(c„)| ^ . (2)

[KK". m

{

С помощью (2) и условия ^-перемешивания получаем

k

P{Xfc(c„) ^ x} ^ P{|Xk(c„)| ^ a} + ^P{|Xk(c„)| < x, Ei} ^

i=1

^ P{|Xfc(cn)| ^ x} + T P{|Xi+m>fc(cn)| ^ e,E*} + P<[ max |Yj(cn)| ^ —} <

IKKn m

^ P{|Xfc(cn)| ^ x} Jmax P{|Xt(cn)| ^ e} + <^(m)) T P{E*}+

v 7 i=i

+P <[ max |Yj(cn)| ^ - } ^ P{|Xfc(cn)| ^ x} + 7P{Xn(cn) ^ 2x + e}+

[KKn mj

+P J max |Y(cn)| ^ —

[Kfc^n m

откуда следует утверждение леммы. ■

Следующее предложение — это аналог неравенства М. Пелиград (леммы 3.1 из [4]).

Лемма 2. Если последовательность {cn} и m > 0 таковы, max P{|Xfc(cn)| ^ e} + p(m) ^ 7 < 1,

i^fc^n

то при любом x > 0

P{|Xn(cn)| ^ 3x + 2e} ^zr^-P{|Xn(cn)| ^ x} + —P ( max |Yfc(cn)| ^ -

1 — 7 1 — 7 [i^fc^n m

Доказательство. Пусть = {Xk-i(cn) < 2x+e ^ |Xk(cn)|}, k =1, ...,n. Тогда

n _

EiEj = 0, i = j, U = {Xn(cn) ^ 2x + e}. В силу свойства A'3 fc=i

fc+m

|Xn(Cn)| ^ |Xfc_i(Cn)| + ^ |Yj(Cn)| + |Xfc+m

j=fc

откуда следует

|Xn(cn)| ^ 3x + 2e, Efc, max |Yj(cn))| < x/m ¡> С {Efc, |Xfc+m,n(cn)| ^ e}. (3) Аналогично выводится

Xn(cn) ^ 3x + 2e, max |Yj(cn))| < x/m [> С

iC?Xn

следовательно

С Xn_m(cn) ^ 2x + e, max |Yj(cn))| < x/m

iC?Xn

x

Xn(cn) ^ 3x + 2e, max |Yj(cn)| < — KKn m

__x I

Xn(cn) ^ 3x + 2e, Xn-m(cn) ^ 2x + e, max |Yj(c„))| < — } . (4)

m J

С помощью (3) и (4) получаем P{|Xn(cn)| ^ 3x + e} ^

^ P < Xn(cn) ^ 3x + 2e, max |Yj(cn))| < x/m > + P < max |Yj(cn))| ^ x/m I l^jXn I I l^jXn

= P Xn(cn) ^ 3x + 2e,X„-m(c„) ^ 2x + e, max |Yj(c„))| < x/m ^ +

[ KK«. J

+P J max |Yj(c„))| ^ x/m I = V P J X„(c„) ^ 3x + 2e, Ek, max |Yj(c„))| < x/m I +

^ l^j^«, J -' l^jXn J

+P j max |Yj(cn))| ^ x/m j . (5)

Из соотношений (3), (5) и условия ^-перемешивания следует

n-m s

P{X„(c„) ^ 3x+2e} ^ V P{Ek, |Xk+m,n(c„)| ^ e}+P J max |lj(cn))| ^ x/m !> ^

f ^ 1<

^k, |Xk+m,n(cn)| ^ max | y j (cn)

k=l ^ j

^ P ( max |Yj (cn))| ^ x/m) ^max P{|Xk (cn)| ^ e} + VP^}

^l^j^ra J yl^k^ra у ^—*

^ ЛР{Х„(с„) ^ 2ж + е} + Р ^ тах |У,-(с„))| ^ ж/т ^ .

[ КК™ J

Из этого соотношения с помощью Леммы 1 выводим утверждение леммы. ■

Покажем, как с помощью леммы 2 можно получать оценки для моментов величин Хга(сга). Пусть Б|У1(сга))|р < то. Тогда в силу (1) Е|Хга(сга))|р < то, и

Y (3 + 2е)р

если 7 > 0 в формулировке леммы 2 таково, что -< 1, то с помощью

1 - 7

леммы 2 выводим

оо

(3 + 2e)-pE|X„(c„)|p = p xp-1 P{|X„(c„)| ^ (3 + 2e)x} dx ^

o

^ 1+ p J xp-lP{|Xn(cn)| ^ 3x + 2e} dx ^ 1 + l

<x <x

/xp-lP{|X„(c„)| ^ x} dx + /xp-lP ( max YЫ| ^ - \ dx

1 — Y J 1 — YJ m

oo

y mp

= 1 + E|X„(c„)|p + --,E max Y(c„)|p.

1 — Y (1 — Y) l^k^ra

Отсюда следует, что

E|Xra(cn)|p ^ A + B E max |Yfc(cn)|p, (6)

1<fc<n

где А и В не зависят от п.

Пусть последовательность {£п} удовлетворяет условию равномерно силь-

п

ного перемешивания £п = ^ E£1 = 0, аП = ES,n ^ го, п ^ го.

i=1

К последовательности {£n} применима центральная предельная теорема тогда и только тогда, когда последовательность {а-2£П} равномерно интегрируема. Существенный прогресс в предельных теоремах для последовательностей с ^-перемешиванием достигнут М. Пелиград в [4] на основе доказательства того, что равномерная интегрируемость } равносильна равномерной интегри-

руемости {а-2 max £2}.

Получим здесь аналогичный результат, где вместо сумм Sn участвуют функции f(£b...,£n), удовлетворяющие условиям A .

Теорема 1. Пусть функция f удовлетворяет условиям A, E|Y1(cn))|p < < го, а последовательность {cn} и m > 0 таковы,

y(3 + 2е)р

max P{|Xfc(cn)| ^ е} + p(m) ^ Y, ~Л-- < 1.

1 — Y

Тогда последовательность {XП'(сп)} равномерно интегрируема тогда и

Н

Доказательство. Пусть

со со

E{|£ |p, |f | ^ N} = —J xp dP{|£ | ^ x} = N pP{|£| ^ N} + xp-1P{|£ | ^ x} dx.

N N

В силу леммы 2 при N ^ 1

E{|X„(c„)|p, |Xn(cn)| ^ (3 + 2e)N} ^ (3 + 2e)pNpP{|X„(c„)| ^ N(3 + 2е)}+

со

+p(3 + xp_1P{|X„(cra)| ^ 3x + 2е} dx ^

N

^ T(3 + 2s^E{|xra(Cra)|p, |Xn(c„)| ^ N}+ 1 — Y

только тогда, когда равномерно интегрируема I max |Yk(cn))|p >.

I

m

^'//13 + 2f)pE ( max |Yfc(cn)|p, | max |Yfc(cn)| ^ N/m) . (7)

(1 — Y) I 1

Пусть последовательность < max |Yk(cn))|p }> равномерно интегрируема, то есть

I 1 ^ k^n

I

lim sup E < max |Yk(cn)|p, max |Yk(cn)| ^ N > =0

Nn^1 1<fc<n 1

и пусть

R = lim sup E {|Xn(cn)|p, IX(cn)| ^ N} .

Из равномерной интегрируемости < max |Yk(cn))|p > и (6) следует

I l^fc^ra I

sup E|Xn(cn)|p ^ A + B sup E max |Yk(cn)|p < то,

Y (3 + 2e)p

так что 0 ^ R < то, а из (7) вытекает R ^ tR, где т =-< 1, следова-

1 - y

тельно, R = 0 и последовательность {|Xn(cn)|p} равномерно интегрируема. Далее, из леммы 1 при N ^ 1 аналогично (7) выводим

E{XnP(c„),X„(c„) ^ (2 + e)N} ^ Y(2 + ^E{|X„(c„)|p, |X„(c„)| ^ N}+

1 - Y

Y (2 + e)PmP ( + Y( + )-E\ max Y(c„)|p, | max |Yfc(c„)| ^ N/m

1 — Y l<fc<n

следовательно, из равномерной интегрируемости < max |Yk(cn))|p ^ и

Il^k^ra I

{|Xn(cn)|p} следует равномерная интегрируемость {Xnp(cn)}.

Наоборот, в силу (1) max |Yk(cn))|p ^ 2pXnp(cn) и равномерная интегриру-

емость {Xnp(cn)} влечёт равномерную интегрируемости max |Yk(cn))|p ^ оче-

Il^k^ra I

видным образом. ■

Будем говорить, что для функции f выполнено условие A4, если при любом А > 0

f (axi, ..., Ax„) = Af (xi, ...,x„).

В большинстве примеров, приводимых в [2], функции удовлетворяют условию A4 (в том числе так называемые симметрические калибровочные функции).

Если функция f удовлетворяет условию A4, то из оценок (6) получаем следующий результат, обобщающий теорему 1 из [2] и лемму 18.5.1 из [3].

Теорема 2. Пусть функция f удовлетворяет условиям Al-A4 и пусть 0 < q < p, E|^l|p < то. Тогда

p/q

/ \ p/9

max E|Xfc|p ^ A max E|Xfc|q + B E max |£fc|p,

l<fc<n ^l^fc^ra J l^fc^ra

где A и B не зависят от n.

Доказательство. Пусть 0 < q < p, а e> 0, m> 0 и y> ^(m) удовлетворяют условиям теоремы 1. Обозначим c^ = N max E|Xk|q, где N > 0 таково, что

l^k^ra

|Xk|9 Y(3 + 2e)p

p(m) + max P{|Xk| ^ ec„} ^ p(m) + ^-^ y, Л + ) < 1.

l<k<n eq cn 1 — Y

Так как {cn} неубывающая последовательность, то при k ^ n и при любом x > 0 из леммы 2 следует

P{|Xfc| ^ (3x + 2e)c„} ^zr^-P{|X| ^ xcra} + —P ( max |Yfc| ^ XCn

1 — y 1 — 7 [KKn m

откуда аналогично (6) выводим

E|Xfc|p ^ АсП + BE max |p, k ^ n, (8)

где A > 0 и B > 0 не зависят от n. Из последнего соотношения следует утверждение теоремы. ■

п

Пусть Xn = Y1 6, E£i = 0, = ES^ ^ го, n ^ го. Тогда является

»=1

правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 [3, теорема 18.2.3], которая при n ^ го эквивалентна некоторой неубывающей последовательности [5, с. 26], так что max ~ Далее, при p > 2

E max |p ^ nE|Ci|p = o(a£),

l^fc^ra

и из теоремы 2 следует неравенство И. А. Ибрагимова (лемма 18.5.1 из [3]): E|Sn|р ^ Сар, где C > 0 не зависит от n.

Литература

1. Гринь А.Г. О моментах обобщённых сумм // Математические структуры и моделирование. 2015. №. 4(36). С. 23-28.

2. Гринь А.Г. О предельных теоремах для функций от независимых случайных величин // Математические структуры и моделирование. 2016. № 29. С. 4-12.

3. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М. : Наука, 1965. 524 с.

4. Peligrad M. An invariance principle for ^-mixing sequences // Ann. Probab. 1985. V. 13, N. 4. P. 1304-1313.

5. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985, 141 с.

ON THE MOMENTS OF SYMMETRIC FUNCTIONS OF DEPENDENT RANDOM

VARIABLES

A.G. Grin'

Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University

Abstract. Estimates for the moments and uniform integrability of a certain class of functions of random variables with uniformly strong mixing is obtained in this article.

Keywords: symmetric functions of random variables, uniformly strong mixing condition, uniform integrability.

Дата поступления в редакцию: 09.10.2016