CC BY
22
Математические
структуры и моделирование УДК 519.214.5
2013. № 1(27). С. 5-10
О НЕРАВЕНСТВЕ МАГДЫ ПЕЛИГРАД
А.Г. Гринь
Предлагается новое доказательство вариантов известного неравенства М. Пелиград, в том числе, использующих условия слабой зависимости, отличные от ^-перемешивания.
Пусть {£„} = {£n, n = 1,2,...} — стационарная в узком смысле последовательность и пусть F<n и F>n — а-алгебры, порождённые семействами {6 : i < n} и : i > n}. Говорят, что последовательность {£n} удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (^-перемешивания) с коэффициентом перемешивания <^(n), если
p(n) = sup j |P(AB) -(A)A)P(B)I : A e F<o, B e F>nj ^ 0, n ^ rc. Обозначим
n
So = 0, Sn = У^ Cfc, Tn = max |Sk|, n = 1, 2,... (1)
l<k<n
k=l
Теорема 1. (Неравенство М. Пелиград)
Пусть при некотором a > 0 и натуральном m
<p(m) + max P{|Sj | > a} < y < 1.
l<j<n
Тогда при любых x > 0, y > a и n > m
P{|Tn| > x + 4y} < —P{|Tn| > x} + -1-P ( max |&| > -1 — y 1 — Y [i<i<n m
Теорема 1 получена Магдой Пелиград в [1]. «Изюминка» этого неравенства в том, что параметр y можно сделать сколь угодно малым и хвосты распределений сумм и максимумов становятся в некотором смысле похожими. Из этого факта выводятся разнообразные следствия (равносильность равномерной интегрируемости степеней сумм и максимумов, неулучшаемые по порядку оценки
Copyright © 2013 А.Г. Гринь
Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского E-mail: [email protected]
моментов сумм слабо зависимых величин и т. д.), которые стимулировали существенный прогресс в предельных теоремах для слабо зависимых величин. К примеру, достигнуты серьёзные продвижения в доказательстве так называемой гипотезы Ибрагимова-Иосифеску [1,2], получены необходимые и достаточные условия для притяжения стационарных последовательностей с ^-перемешиванием к устойчивым законам [3-5] и т. д.
В настоящей заметке предлагается новое доказательство неравенств типа неравенства М. Пелиград, в которых помимо ^-перемешивания используются некоторые другие условия слабой зависимости.
Пусть {£„} — последовательность случайных величин. Введём Sn и Tn по формулам (1) и обозначим
Qn = max min {|Sfc|, |S„ - Sfc|} , Qn(m) = max min {|Sfc_m|, |Sn - Sfc|} ,
1<fc<n m<fc<n
(Qn(0) = Qn). Лемма 1.
Tn < 3Qn(m) + (3m + 1) max |&|. (2)
1<i<n
Доказательство основано на идеях из [6, гл.2, §12]
Пусть M = {k : |Sk| < |Sn - Sfc|}; ясно, что 0 G M. Пусть Sn = 0. Тогда n G M и, следовательно, существует 0 < k < n такое, что k — 1 G M и k G M, то есть
|Sfc-1| < |Sn — ¿fc-^ |Sk | > |Sn — Sfc |.
Тогда
|Sn| < |Sk-i| + |£fc| + |Sn - Sfc| < min{|Sk-i|, |Sn - Sfc-11} +
+ min {|Sfc|, |Sn - Sfc|} + max |&| < 2Qn + max (3)
1<i<n 1<i<n
Если же Sn = 0, то (3) выполняется очевидным образом. Далее при 1 < k < n |Sfc| < min{|Sn| + |Sfc|, |Sn| + |Sn - Sfc|} = |Sn| + Qn,
так что
Из (3) и (4) следует Если мы покажем, что
Tn <|Sn| + Qn. (4)
Tn < 3Qn + max |&|. (5)
1< i<n
Qn < Qn(m) + m max (6)
1< i<n
то из (5) и (6) будет следовать утверждение леммы. При k < m |Sk| < m max и очевидно, что (5) выполняется. Пусть k > m. Тогда
1<г<га
|Sfc| < |Sfc_m| + m max < max mi^ |Sfc-m| + m max |&|, |S„ - Sfc|
1<i<ra m<fc<ra 1<i<ra
Математические структуры и моделирование. 2013. № 1(27).
7
откуда следует (5). Лемма доказана.
Пусть Ei = {|Si| < x, 1 < i < l, |Si | > x}, I = 1, 2,... Тогда EiEj = 0, k
i = j, U El = {Tk > x}. i=l
Лемма 2.
!n-m ^
U (El, max |Sn — Sk| > xU + P{(3m + 1) max |&| > y}.
l^^^^^k^n I l ^ i<n
i=i )
Доказательство. Из (2) следует
P{Tn > 3x + y} < P{Qn(m) > x} + P{(3m + 1) max |£| > y}. (7)
l<i<n
Далее
{Qn(m) > x} С max min{Tk-., |Sn — Sk|} > x
I m<k<n
U (Tk-m > x, |Sn — Sk| > xU = Ж U (El, |Sn — Sk | > x)
n k-m
x
<k=m ) \k=m l=l
n- m n n- m
-'n — Sk| > x) f — ^ I ) (El, max |Sn
U El U (|Sn — Sk | >xH = ^U(Ei, max |Sn — Sk | > x)
l=l k=l+m ) К l=l ~ ~
Последнее соотношение вместе с (7) даёт утверждение леммы.
Пусть теперь {£„} — стационарная в узком смысле последовательность, удовлетворяющая условию ^-перемешивания.
Так как El e F<l, ^ max |Sn — Sk| > x \ e F>l+., то
< [l+m<k<n 1 >
nm
HI I (El, max |Sn — Sk | > xH = V p\ El, max |Sn — Sk | >A <
I ^ l+m<k<n I Y^ [ l+m<k<n I
n- m
< V P(El)( p\ max |Sn — Sk| >A + <^(m) ) <
~—~ у yl+m<k<n J
< P{Tn > x} ^P j max |Sn — Sk| > x J + p(m)
= P{Tn >x}(P{Tn > x} + p(m)). (8)
Величину P {Tn > a} + <^(m) можно сделать сколь угодно малой выбором a и m, так что если P {Tn > a} + <^(m) < y1 < 1, то из леммы 2 и (8) при x > a следует
P{Tn > 3x + y} < yiP {Tn > x} + P { max | > y
[l<i<n 3m + 1
Полученное неравенство является очевидным аналогом неравенства М. Пелиград. Чтобы ещё больше сблизить формулировки этих двух неравенств, можно заметить, что в условиях теоремы 1 Р{ТП > х} > СР{|£П| > ах}, С > 0, а > 0 (см., например, соотношения (3.5) и (3.9) в [1]).
Будем говорить, что стационарная последовательность {£„} удовлетворяет условию А-перемешивания, если существует функция А(х) > 0, А(х) | 0, х | 0 такая, что
вир {р^лсцВ)): А ё ^ в ё ^ Р(А)Р(В) >0} -1
(см. [5]). Если последовательность {£„} удовлетворяет условию А-перемешивания, то
р{П(Е, тах |£га - ^| > х)! = V р(Ег, тах |£га - ^| >Л -
-n
К г=1
< П-1 P(E)A (V +maxra |Sn - Sfc| > x J^) < P{Tn > x}A(P{Tn > x}).
Величину A(P{Tn > а}) можно сделать сколь угодно малым выбором а, так что если A(P{Tn > а}) < y2 < 1, то из леммы 2 с m =1 получаем следующий аналог неравенства М. Пелиград:
P{Tn > 3x + y} < 72P{Tn > x} + P { max |£г| > У 1 , x > а.
I i<i<n 4 I
Обозначим через L<n и L>n множества случайных величин с конечным вторым моментом и измеримых, соответственно, относительно F<n и F>n.
Будем говорить, что стационарная последовательность {£n} удовлетворяет условию р-перемешивания, если
j |E £n - e e E ni cT 1 n _
p(n) = SUpj ^Её^ : nGL>nj ^ 0, n ^
(см., например, [7]). Взяв в этом определении £ = 1A, A е F<0, n = 1B, B е F>n, получим
|P{AB} - P{A}P{B}| < p(n)^P{A}P{B}. (9)
Теорема 2. Пусть {£n} стационарная последовательность и пусть при некоторых натуральных n и m таких, что n/r > 2 и а> 0 выполняется
2 max P{|Si| > а} + v/2n/rp(r) < 73 < 1.
2r<i<n
Тогда при любых x > 5а
max P{|Si| > x} < Y3P{Tn > x/5} + 2(n/r)P{ max |Si| > x/5}.
2r< ^^ n 1 ^ ^^ 2r
Математические структуры и моделирование. 2013. № 1(27).
9
Этот вариант своего неравенства М. Пелиград получила в [8]. Основное отличие этого неравенства от предыдущих в том, что в отличие от m, не зависящего от n, здесь r = r(n) ^ то и используется более слабое условие перемешивания
Покажем, как предложенный выше подход позволяет получать результаты типа теоремы 2.
r
В лемму 2 вместо подставим nj = C(j-i)r+i, j = 1, = [n/r] (здесь
i=i
k
[ж] — целая часть ж), вместо Sk и Tk — соответственно Uk = nj
j=i
и Vk = max |Uj |. i<j<k
Пусть Ei = {|Uj| < ж, 1 < j < l, |U| > ж}, l = 1, 2,... Тогда E.E, = 0,
k
i = j, U Ei = {Vk > ж}. Лемма 2 при m =1, ж = y теперь будет выглядеть так: i=i
P{Vp > 4ж} < P< I l (Ei, max |U„ - Uk | >жП+ P<f max | nj | > ж/Л . (10) I ^ i+i<k<p I [i<j<p J
Пусть {£„} — стационарная последовательность. Имеем
P^ max |nj| > ж/4 ^ < pP{|ni| > ж/4} < (n/r)P{|S| > ж/4}. (11) [i<j<p J
Далее
p ju (Ei , г +ma^p |Un - Uk | > жЛ < j] (V{Ei m<x<p u - U | > ж)}+
+p(r)^/P{Ei}P j^max^ |Ura - Uk| > ж jj <
< Р{^>ж} ^Р{Ур>ж} + p(r)^P{V| > ж} VP{Ei^ . (12)
Нетрудно видеть, что
v r _
p J P{Ei} = ^/pP{Vp > ж}. (13)
i=i
£V/Ppi}< i=i
\
i=i
Из соотношений (10) - (13) следует
P{Vp > 4ж} < P{Vp > ж} (V{VP > ж} + yn/rp(r)) + (n/r)P{|Sr| > ж/4}. (14) Так как P{Vp > ж} < P{Tn > ж}, P{|Snp| > 4ж} < P{Vp > 4ж}, то из (14) следует
P{|Sn| > 5ж} < P{|S„p| > 4ж} + P{|Sn - Srap| > ж} < < Y4P{Tn > ж} + (n/r + 1) max P{|Si| > ж/4}, P{T„ > ж} + v/n/rp(r) < 74 < 1,
i<i<r
что, очевидно, является аналогом теоремы 2.
Литература
1. Peligrad M. An invariance principle for ^-mixing sequences // Ann. Probab. 1985. V. 13, N. 4. P. 1304-1313.
2. Peligrad M. On Ibragimov-Iosifescu conjecture for ^-mixing sequences // Stochastic Processis and their Application. 1990. V. 35. P. 293-308.
3. Гринь А.Г. Нормирующие последовательности в предельных теоремах для слабо зависимых величин // Теория вероят. и её примен. 1991. Т. 36, № 2. С. 285-300.
4. Гринь А.Г. Об областях притяжения для сумм зависимых величин // Теория веро-ятн. и её примен. 1990. Т. 35, № 2. С. 255-270.
5. Гринь А.Г. Области притяжения для последовательностей с перемешиванием // Сибирский математический журнал. 1990. Т. 31, № 1. С. 53-63.
6. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М. : Наука, 1977. 351 c.
7. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М. : Наука, 1965. 524 c.
8. Peligrad M. The convergence jf moments in the central limit theorem for p-mixing sequences of random variables // Proceeding of the AMS. 1987. V. 101, N. 1. P. 142148.
