CC BY
34
Математические структуры и моделирование 2015. №1(33). С.4-17
УДК 519.214
минимальные условия слабой зависимости в схеме обобщённого суммирования
А.Г. Гринь
профессор, д.ф.-м.н., e-mail: [email protected] Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского
Аннотация. Получены предельные теоремы и минимальные условия слабой зависимости в предельных теоремах для так называемых обобщённых сумм случайных величин, образующих стационарную последовательность.
Ключевые слова: стационарные последовательности, минимальные условия слабой зависимости, предельные теоремы, обобщённое суммирование.
Введение
В работах [1—3] получены минимальные в некотором смысле условия слабой зависимости в предельных теоремах для сумм и для максимумов случайных величин, образующих стационарную последовательность. При этом обращает на себя внимание то, что в предельных теоремах о сходимости к устойчивым законам с показателем а Е (0,2) ив предельных теоремах для максимумов эти минимальные условия выглядят, по существу, одинаково. Этот факт, а также так называемые экстремальные критерии в предельных теоремах для сумм независимых случайных величин (см., например [4, с. 328]) наводят на мысль о существовании класса бинарных операций, предельные теоремы и минимальные условия слабой зависимости для которых будут иметь сходную структуру. В данной работе введён класс таких операций (обобщённое суммирование), доказаны предельные теоремы для обобщённых сумм независимых случайных величин, описан класс предельных распределений и получены минимальные условия слабой зависимости в предельных теоремах для обобщённых сумм.
Пусть x ф у — бинарная операция на D С R, о которой мы будем предполагать, что она удовлетворяет условиям A1 — A4 (условия (A)):
Ab Ассоциативность: x ф (у ф z) = (x ф у) ф z, x,y,z Е D;
A2. Коммутативность: x ф у = у ф x, x,y Е D;
A3. x ф 0 = x, x Е D;
A4. Равномерная непрерывность в следующем смысле: для любого е > 0 найдётся 5 > 0 такое, что из |у| < 5 следует |x ф у — x| < е, Vx Е D.
Этим условием удовлетворяют, например, x ф у = x + у, D = R, x V у = max{x, у}, D = R+ = [0, +то), x Л у = min{x, у}, D = R _ = (—то, 0], а не удовлетворяют, скажем, x ф у = xy, (не выполняются A3 и A4) и x ф у = x + у (mod d), d > 0, D = R (не выполняется A4).
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
5
Если бинарная операция x 0 у удовлетворяет условиям (A), a f (x) возрастающая выпуклая (вниз) функция такая, что f (0) = 0, f (D) С D, то бинарная операция x Ф У = f 1 (f (x) 0 f (у)) также удовлетворяет условиям (А). Пояснения требует только условие А4.
Функция f-1 возрастает и выпукла вверх, а, следовательно, полуаддитивна, то есть f-1(x + у) < f-1(x) + f-1(y). Если, скажем, f(x) 0 f (y) > f (x), то с помощью полуаддитивности получаем
|x Ф у - x| = f-1 (f (x) 0 f (y)) - f-1 (f (x)) < f-1 (f (x) 0 f (y) - f (x)) .
Для любого e > 0 найдётся 5 > 0 такое, что |у| < 5 (|f(у)| < f(5)) влечёт f(x) 0 f (у) — f (x) < f (e) при любом x e D и, значит, |x Ф у — x| < e при любом
x e D.
Например, бинарные операции x Ф у = (xp + ур)1/р, D = R+, x Ф у = ln (ex + ey — 1), D = R+ и т. п. удовлетворяют условиям (А).
1. Предельные распределения в схеме обобщённого суммирования
Пусть {£n} — последовательность независимых одинаково распределённых величин. Будем обозначать
Xfc,m(6) = (Ф ... Ф (^ , Xn(b) = X^b),
Xn = Xn(1), Xn(b) = max |Xfc(b)|, k,m,n e N , b > 0,
1<k<n
5n = max P{|Xfc(cn)| > 5}.
1<k<n
Лемма 1. Для любого e > 0 найдётся 5 > 0 такое, что при
x > 0, m < n
P{Xm-1(Cn) > x + e} < (1 — 5n)-1P{|Xm(Cn)| > x}.
Доказательство. В силу свойства A4 для любого e > 0 найдётся 5 > 0 такое, что при любом x > 0
{С > x + 0 Ы < 5} С {С Ф П > x}, {|С| > x + e, |п| <5}С {|С Ф П1 > x}. (1) Аналогично из свойств A1 — А4 выводится
{С > x + ф Ы < 5, К| < 5} С {С 0 п Ф С > x},
{|С| > x + e, |п| < 5 К| < 5} С {|С 0 П Ф С| > x}. (2)
Пусть Ek = {Xk-1(cn) < x + e < |Xfc(cn)|}, k = 1,...,m. Тогда EiEj = 0,
m—1 __
i = j, U Ek = {Xm-1(cn) > x + e}, а в силу (1) найдётся 5 > 0 такое, что
k=1
{|Xk(cn) | > x + e, |Xk+1,m(cn)| < 5} С {|Xm(cn)| > x},
6
А.Г. Гринь, Минимальные условия слабой зависимости.. .
то есть
{\Xm(cn)\ < x} С [\Xk(cn)| < x + е} U {|Xfc+i,m(c„)| > 5},
откуда
{\Xm(cn') \ < x, Ek} С {\Xk+1,m(cn) \ > 5 Ek}, k 1, •••, m 1 (3)
С помощью (3) получаем
m— 1
P{X m—l(cn) > x + е} < P{\Xm(cn)\ > x} + ^ P{\Xm(cn)\ < X, Ek} <
^m(cn)\ > xj , / p {\Xm(cn )
k= 1
m1
< P{\Xm(cn)\ > x} + ^ P{\Xk+i,m(cn)\ > 5, Ek} <
k= 1
m— 1
< P{\Xm(cn)\ > x} + max P{\Xk(cn)\ > 5} V] P{Ek} <
1 <6 kdn • ^
k= 1
< P{\Xm(cn)\ > x} + 5n ■ P{Xm—1(cn) > x + е}, откуда следует утверждение леммы. ■
Лемма 2. Для любого е > 0 найдётся 5 > 0 такое, что при любом x > 0
P{±Xn(cn) > x} > nP{±£1 > (x + e)cn}(1 - 3(1 - 5n)—15n).
Неравенство с плюсом доказывается, когда R+ С D, ас минусом, — когда R — С D.
Доказательство. Пусть А0 = 0, An = {Xn— 1(cn) <5, £n > (x + e)cn}
Ak {Xk—1(cn) < 25, £k > (x + е)cn, \Xk+1,n(cn)\ < 5}, 1 < k < n 1
В силу (2) и (3) для любого е > 0 найдётся 5 > 0 такое, что
nn k
P{Xn(cn) > x} > P и а4 = £ р{А ■ ••• ■ Ak—1Ak}
„ k=1
k=1
k1
(4)
= £ P{Ak} —£ P Ak 4J Aj
k=1 k=1 L j=1
При 1 < k < n — 1 получаем
P{Ak} = P {£k > (x + е)^} —
—P {(£k > (x + е)^) ■ ({Xk—1(cn) > 25} U {\Xk+1,n(cn)\ > 5})} >
> P {£k > (x + е)cn} (1 — P{\Xk+1,n(cn)\ > 5} — P{Xk—1(cn) > 25}) • (5)
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
7
P {An} оценивается аналогично. Без ограничения общности 8 > 0 можно считать таким, что
{|X,-_i(cn)| < 28,
fj > (x + £)cn} С {|Xj_i(cn)| < 28, Xj(c^) > x} ,
так что если 28 < x, то
k_ 1
Р< Ak ■ U A,
j=i
ki
j I —
— P < fk > (x + £)Cn, У (Xj_i (cn) < 28, fj > (x + £)Cn) > —
— Р {fk > (x + £)Cn} P{Xk_i(cn) > 28}, и тогда из (4), (5) и (6) и леммы 1 следует
(6)
P{Xn(cn) > x} > ^2 Р {fk > (x + £)Cn} (1 - 3(1 - 8n) i8n) .
k=i
Вероятность P{-Xn(cn) > x} оценивается аналогично.
Лемма доказана. ■
Следующее предложение — это модификация леммы 3.1 из [5].
Лемма 3. Для любого £ > 0 найдётся 8 > 0 такое, что при достаточно больших n
P{±Xn(cn) > x + £} — (1 - 8n)_i8nP{|Xn(cn)| > 8} + nP{±fi > xcn}. (Предположения об области D те же, что и в лемме 2.)
Доказательство. Пусть Ek = {Xk_i(cn) < 28 — |Xk(cn)|},k = 1,...,n. Тогда
n—i ___
EiEj = 0, i = jJjEk = {Xn_i(cn) > 28}. В силу (3) для любого £ > 0
k=i
найдётся 8 > 0 такое, что при 1 — k — n — 1 {|Xk+i,n(cn)| < 8, Ek, max fk < xcn} С {Xn(cn) < x + £, Ek, max fk < xcn},
i<k<n i<k<n
откуда
{Xn(cn) > x + £, Ek, max fk < xcn} С {Ek, |Xk+i,n(cn)| > 8}. (7)
i<k<n
Аналогично выводится
{Xn(cn) > x + £, max fk < xcn} С {Xn_i(cn) > 28, max fk < xcn}.
i<k<n i<k<n
Отсюда
{Xn(cn) > x+£, max fk < xcn} = {Xn(cJ > x+£, Xn_i(cn) > 28, max fk < xcn}. n n i<k<n k n n n n-i n i<k<n k n
(8)
8
А.Г. Гринь, Минимальные условия слабой зависимости., ,
С помощью (7) и (8) получаем
Р{хп(Cn) > x + е} < P{Xn(cn) > x + е, max < xcn} + P{ max £k > xcn} =
' ^ 1<k<n 1<k<n
= P{Xn(Cn) > x + е, Xn-1 (Cn) > 28, max £k < xCn}+
1<k<n
n- 1
+P{ max ^k > xcn) = P{Xn(cn) > x + e, Ek,
1 k n k n n n k
k=1
max £k < xcn}+
1<k<n
n- 1
+P{ max ^k > xcn} < nP{& > xcn 1<k<n k n 1 n
} + У ] P{|Xk+1,n(cn)| > 8, Ek} < k=1
n- 1
< nP{& > xcn} + max P{|Xk(cn)| > 8} ^ P{Ek} =
1< k<n ^'
k=1
= 8nP{Xn-1(cn) > 28} + nP{& > xcn}.
Отсюда с помощью леммы 1 выводится оценка для P{Xn(cn) > x + е} в формулировке леммы. Оценка для P{-Xn(cn) > x + е} доказывается аналогично. ■
Замечание 1. Из лемм 2 и 3 вытекает следующее утверждение: если последовательность положительных чисел {cn} такова, что при любом 8 > 0
8n = max P{|Xk (cn)| > 8} ^ 0, n ^ то
1<k<n
и при любых x > 0, 8 > 0 и при этом выполняется одно из следующих предпо-
ложений:
P{|Xn(cn)| > 8} = O (P{|Xn(cn)| > x}), n ^ то, (9)
8nP{|Xn(cn)| > 8} = o (nP{±^1 > xcn}), n ^ то, (10)
то
P{±Xn(cn) > x} ~ nP{±^1 > xcn}, n ^ TO. (11)
Замечание 2. Соотношение (11) означает, что в указанных предположениях хвосты распределений величин Xn имеют одинаковую, не зависящую от вида операции ф асимптотику.
Замечание 3. Если x ф y < x V y, то P{Xn(cn) > x} < nP{^1 > xcn}, что вместе с леммой 2 обеспечивает выполнение (11) без предположений (9) или (10).
В дальнейшем мы будем доказывать предельную теорему для распределений Xn(cn) с использованием предположения следующего типа: существует непрерывная функция <^(x) t +то, x ^ то такая, что при любых x > 0, у» G D, i = 1, ...n, n > 2
(xy1) ф ... ф (xyn) = ^(x)(y1 Ф ... Ф yn).
(12)
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
9
Нетрудно видеть, что из (12) и условий (А) следует, что <^(х) = ж. Действительно,
^{x}(yi 0 У2 0 Уз 0 Уа) = (xyi) 0 (ху2) 0 (хуз) 0 (хуа) =
= (А(х)(У1 0 У2)) 0 (А(х)(Уз 0 Уа^ = А(А(х))(У1 0 У2 0 Уз 0 У4), °ткуда
^(^(х)) = <^(х), то есть <^(ж) = х.
Будем говорить, что выполнено условие А5, если имеет место (12) с <^(х) = ж.
Например, x 0 у = ж + у, D = R, ж 0 у = (xp + ур)1/р , p > 1, x 0 у = x V у, D = R+, удовлетворяют условию A5.
Пусть 8 > 0 таково, что |у| < 8 влечет |х 0 у — ж| < 1, Vx е D. Из условий А4 и А5 получаем при xi = 0, i = 1, ...n
|xi 0 ... 0 Xn)|
|xi| 8 Xi / 8x2
8 |xi |^|xi|
.. 0
8xn
|xi|
<
< 8 1 |xi| + |x2 0 ... 0 Xn)| < 8 1(|xi| + ... + |xn|). (13)
Если же при некотором 1 < i < n xi = 0, то в силу А3 мы просто исключаем его из соотношения (13). Из (13) следует, например, что если E|^|p < то, то Е|Д 0 ... 0 £га|Р < ТО.
Будем обозначать
an = sup {x : nP{|C1| > x} > 1} .
Пусть при любых n е N и z > 0 E|Xn(z)|p < то. Положим
bn(p) = inf < z > 0 : max E|Xk(z)|p < 1
[ l<k<n
Если имеет место A5 и El£l|р < то, то ЬП(р) = max ElXk|p, в частности,
l <k<n
если x 0 у = x + у, D = R, то
ьП(Р)
max E|Sk|
i<k<n
p,
Sk = Y «
i=l
а если x 0 у = ж V у, D = R+ то &П(р) = E max Ср. Принципиальное различие ситуаций, когда
lim пР{|Д| > ebn(p)} = 0, Ve > 0
(14)
и
liminf пР{|Д| > ebn(p)} > 0, при некотором e > 0 (15)
n—
поясним на примере, когда ж 0 у = ж + у, в этом случае Xn(b) = b-lSn. Приводимые ниже результаты можно найти, например, в [6], где они получены для последовательностей с ^-перемешиванием, <^(1) < 1.
Будем предполагать, что величины £n центрированы подходящими константами (см., например, [9, с.649]) и E|^l|p < то, p > 0.
10
А.Г. Гринь, Минимальные условия слабой зависимости., ,
Распределения величин b-1Sn слабо сходятся к нормальному (и, следовательно, предельное распределение не зависит от распределения £i) тогда и только тогда, когда выполняется (14).
Распределения величин b-1Sn слабо сходятся к устойчивому распределению с показателем a Е (0, 2) тогда и только тогда, когда выполняется (15) и распределение ^1 принадлежит области притяжения устойчивого распределения с показателем a Е (0, 2). При этом bn ~ CE|Sn|p, C > 0 и bn является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/a, и без ограничения общности ее можно считать неубывающей [7, c.26], так что bn ~ C'bn(p).
Сказанное можно сформулировать так: соотношение (15) выделяет ситуацию, когда предельное распределение величин Xn(bn) = b-1Sn определяется асимптотикой «хвостов распределения» величины а поскольку ранее мы вывели универсальную (то есть, не зависящую от вида операции ф) асимптотику этих «хвостов» (следствие 1), мы будем исследовать поведение распределения величин Xn(bn) при п ^ то, используя предположение (15).
Ниже приводится пример предельной теоремы, основанной на универсальной асимптотике (11).
Распределение ^1 принадлежит области притяжения устойчивого распределения с показателем a Е (0, 2) тогда и только тогда, когда Р{|^1| > х} является правильно меняющейся функцией порядка —a и
Р{6 > х} Р{Ы> х}
Р{6 < -х} Р{|61> х)}
а, х ^ +то, 0 < а < 1
(16)
[9, с.646]. Если Р{|^1| > х} является правильно меняющейся функцией порядка —р, р > 0 и выполнено (16), то будем говорить, что хвосты распределения ^1 имеют согласованное правильное изменение порядка р. В этом случае {an} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/р [8, стр. 111],
а
пР{6 > хап} ^ —, пР{6 <
xan} ^
1—а
хр ,
n
(17)
[8, стр. 94] и E|^|p < то, 0 < p < р [8, стр. 103]. Пусть
/
1
а
хр,
х > 1;
Fp (х)
1 — а, 1 — а
х|р ’
—1 < х < 1; х < —1.
Если £ и п — независимые случайные величины с функциями распределения F и Fn, то будем обозначать F? * Fn = F?en.
Предположим, что при каждом х Е R существует
Нр(х) = lim F*pk (к1/рх) .
(18)
Замечание 4. Если х ф у = х V y, D = R+, a = 1, то F? * Fn = F? ■ Fn и
Нр(х)
lim 1 —
k^^
х
-Р
k
exp { —х Р} , a+ = a V 0, х > 0.
k
+
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
11
Если же x ® y = x + y, D = R, 0 < р < 2, то Hp(x) является функцией распределения строго устойчивого распределения с показателем р [10]. При этом если 0 < р < 1, то предел (18) существует при любом 0 < a < 1 (в предельной теореме для сумм величин с функцией распределения Fp(x) не требуется центрирование), а если 1 < р < 2, то для того, чтобы выполнялось (18) нужно, чтобы указанные величины были центрированы математическими ожиданиями, то есть, чтобы a = 1/2 [9, с.649].
Замечание 5. Нетрудно видеть, что если Hp(x) определяется соотношением (18) то
Hp(x) = Hp(ax) * Hp(fix), a > 0, в > 0, сГр + в-р = 1. (19)
Сформулируем здесь свойство согласованного правильного изменения функции Hp(x), которое будет использоваться в дальнейшем
lim k (1 - Hp (k1/px)) = —, lim kHp (—k1/px) = , x> 0. (20)
v pv ’’ xp pv !xp
Теорема 1. Пусть операция ф удовлетворяет условиям А1 — А5 на D = R. Для того, чтобы
lim P{Xn(an) < x} = Hp(x), x G R , (21)
где Hp(x) удовлетворяет (20) необходимо и достаточно, чтобы хвосты распределения ^1 имели согласованное правильное изменение порядка р и при любых 0 < p < р выполнялось (15).
Доказательство. Достаточность.
Пусть Р{|<Д| > x} правильно меняющаяся функция порядка —р, р > 0. Если выполняется (15), то bn(p) = O(an), n ^ го. Пусть k = k(n) ^ го. Если k(n) растет достаточно медленно, то
max E|Xm|P
,max P{|Xm(ank)| > 5} < -----= OKa-P) = O (k-p/p) . (22)
1<m<n °Pank
Отсюда
max P{|Xm(anfc)| > 5}P{|Xn(ank)| > 5} = O (k-2p/p) ,
1 <m<n
и так как в силу (17) nP{|®| > xank} — (kxp)-1, то при p > р/2 выполняется условие (10), и из следствия 1 и (17) получаем
P{Xn(ank) > x} - nP{® > xank} - kxp = 1 — Fp(k1/px),
1a
P{Xn(ank) < —x} - nP{® < —xank} - - = Fp(—k1/px), (23)
x > 0, n ^ го. Поэтому, если последовательность k = k(n) растёт достаточно медленно, то
P{Xnk(ank) < x} = (P{Xn(ank) < x})*k = F*k(k1/px(1+On(1))) ^ Hp(x), n ^ го.
12
AT, Гринь, Минимальные условия слабой зависимости., ,
Далее, поскольку ank k1/pan, n ч то, то с помощью (21), (23) и условия А5
выводим
lim к (1 — Hp(k1/px)) = lim lim kP{Xn(ank) > x}
k—ж v ' k—ж n——<ж
a
xp ,
lim kHp(—k1/px) = lim lim kP{Xn(ank) < —x}
к—ж к—ж n—ж
1—a
xp
то есть имеет место (20).
Необходимость. Пусть имеет место (21), где Hp(x) удовлетворяет (20) и Xp(x) = 1 — Hp(x) + Hp(—x). Последовательность {an} по определению является неубывающей, так что если m = m(n) < n, m(n) что, n что, то
max P{|Xk| > Nan} <
m<k<n
max P{|Xk| > Nak}
m<k<n
Xp(N) + on(1).
Если же m(n) таково, что am = o(an) и k < m, то Xk(an) ч 0 по вероятности и
max P{|Xk| > Nan} = On(1),
1<k<m
так что Пусть an
max P{|Xk| > Nan} = On(1) + on(1).
1<k<n
o(cn), n что. Из (24) получаем
(24)
max P{|Xk (cn)| > 4} ч 0, n что,
1<k<n
и если k(n) = cn/an стремится к бесконечности достаточно медленно, то в силу (20) и (21)
xp
-) P{|Xn(Cn)|> x},
то есть, имеет место (9) и, следовательно, (11). Пусть k = k(n) = cn/an — монотонная последовательность такая, что k(n + 1)/k(n) ч 1, n что. Тогда после-
довательность A(n) = n/xp(k(n)) удовлетворяет условию
A(n + 1)
tpV"v"" ‘ — A(n)
и если k(n) растёт достаточно медленно, то из (11) выводим
1, n ,
lim A(n)P{|fi| > xcn}
lim
n— ж
P{|Xn(Cn)| > x} Xp(k)
Xp(kx)
nl—i" Xp(k)
= x-p
что имеет место только тогда, когда P{|6| > x} является правильно меняющейся функцией порядка —р при x что ( [9, с.318]). Далее, пусть ank < x < ank+1.
P{6 > ank+i} < P{6 > x} ^ P{6 > ank}
P{|^1| > ank} < P{|^1| > x} < P{|^1| > ank+1}.
В силу (20) и (21) левая и правая части этого неравенства стремятся к
п 1 — Hp(k1/px)
lim ------у——-— = a,
k—ж xp(k1/px)
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
13
так что
Р{6 > x}
lim /А1
x—+0 P{|^11 > x}
a.
Аналогично рассмотрев асимптотику P{^1 < —x} при x ^ +ro, мы получим второе соотношение в (16).
Пусть е > 0 и 5 > 0 удовлетворяют условиям леммы (3), а N > 0 с помощью (24) выберем таким, чтобы при достаточно больших n
5 = SSnP{|X 1 > 5Na™} < 4(1+ е)Р, p<p.
Из леммы (3) при у > N и при достаточно Больших n получаем
P{|Xn(an)| > (1 + е)у} < 25nP{|Xn(an)| > 5y} + nP{|&| > yan},
откуда
(1 + e)-pE {|Xn(an)|p, |Xn(an)| > (1 + e)N} <
< —pE {|Xn|(an)|p, |Xn(an)| > 5N} + na-pE ШГб. > Nan} (25)
25n
E{£, A} = / £P(dw) . Так как P{|£1| > у} — правильно меняющаяся функция
A J
порядка —р, р > 0, то
E ШГб > у} — CypP{|£1|> у}, у ^ТО, С> 0, р<р (26)
[9, с.324]. Отсюда
na-pE ШГб > Nan} - CNpnP{|£1| > Nan} ^ CNp-p = oN(1). (27)
Обозначим
A = lim limsup E {|Xn(an)|p, |Xn(an)| > N} .
N—0 n—— <^0
Из (25) и (27) следует теперь A < 25n(1 + е) a < A. Следовательно A = 0,
5p 2
то есть последовательность {|Xn(an)|p} равномерно интегрируема, что вместе с (21) даёт
0
lim a-pE|Xn|p = B = xpdHp(x).
В силу монотонности последовательности {an}
ВД = 1mjax E|Xk|p - Ban,
1< k<n
так что в силу (17)
lim nP{|£1| > ebn(p)} = lim nP{|£1| > eB 1/pan} = е PB p/p > 0,
то есть, имеет место (15).
14
AT, Гринь, Минимальные условия слабой зависимости., ,
Замечание 6. В формулировке теоремы 1 условие (15) можно заменить на sup E|Xn(an)|p < то.
П
Действительно, в доказательстве необходимости в теореме 1 из (21) выведено E|Xn|p ~ Bap, а в доказательстве достаточности указывалось, что из (15) следует Ъп(р) = O(an).
Пусть, например, Р{|Д| > х} является правильно меняющейся функцией порядка —а, 0 < а < 1. Тогда распределения величин a-1Tn, Tn = |£i| + ... + |£n| слабо сходятся к устойчивому распределению с показателем а [9, с. 319] и sup a-pETp < то, 0 < p < а (это доказано в теореме 1). В силу
n
(13) supa-pE|Xn|p < то, следовательно имеет место (15).
n
Если х ф y = х V y, D = R+, и Р{Д > х} является правильно меняющейся функцией порядка —р, р > 0, то с помощью (26) при p < р получаем
E 1max ip - an+nE {£ь ^i > an} ~ (C+l)an,
1<k<n
мы снова имеем (15) и в силу теоремы 1, и замечания 3
lim Р < max £k < xan\ = exp { —x-p) , x > 0
n——<^ I 1 < k<n I 1 J
(cp. [9, c. 319]).
2. Минимальные условия слабой зависимости
Пусть {£n} — последовательность случайных величин. Будем писать
d - d - d
i = П, in n и in ~ 4n в случаях, когда, соответственно, распределения £ и n совпадают, {£n} сходится к n по распределению и когда последовательности {in} и {nn} слабо эквивалентны (см., например, [4, § 28.1]). Через Д,...Дп будем обозначать независимые случайные величины такие, что
ik = 6, к = l, 2 ,...,п.
Теорема 2. Пусть {£n, п = 1,2,...} — стационарная последовательность, у которой хвосты распределения б>1 имеют согласованное правильное изменение порядка р, а операция ф удовлетворяет условиям A1 — А5 на D = R. Для того, чтобы,
lim P{Xn(an) < х} = Hp(x), х Е R , (28)
n—^
где Hp(x) удовлетворяет (20) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие утверждения а)
Xn+m(an+m) ~ Xn(an+m) ф Xm(an+m), п + Щ у (R1)
(здесь символ п + п ^ то означает, что (R1) выполняется при п ^ то и при любой последовательности т = т(п));
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
15
б) при любом x > 0 и при любой достаточно медленно растущей последовательности k = k(n) ^ ж, n ^ ж
Р(±Х„(aun) > x} ~ nP{±£i > xakn}, n ^ ж. (R2)
Замечание 7. Как в [1—3] теорему 2 можно интерпретировать так: условия (R1) и (R2) являются минимальными условиями слабой зависимости, при которых выполняется (28), при этом вид этих условий такой же, что и в предельных теоремах для сумм (о сходимости к устойчивым распределениям), и в предельных теоремах для максимумов (см. [2], [3]).
Доказательство. Пусть Fn(x) = P{Xn(an) < x},
An(x)
Fn+m(x) Fn
I an+m \ an
x
t-i / an+m
* Fm[ ---x
\ am
Если мы покажем, что An(x) ^ 0, x > 0 при n ^ ж и при любой последовательности m = m(n), то будет выполнено (R1) [4, c. 393].
Как указывалось в доказательстве теоремы 1, {an} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/р, и тогда
apn+m ~ an + am, n + m ^ ж
[2], так что для любой последовательности натуральных чисел {n1} существуют 0 < c < 1 и подпоследовательность {n2} С {n1} такая, что
a
-р
n2+m2
n2
Р
^ c,
a—2+m2am2 ^ 1 — c, n ^ ж
где m2 = m(n2). Пусть сначала 0 < c < 1. Имеем Fn2+m2(x) ^ Fp(x),
(29)
F
n2
iW™.x ^ Fp(c-1"x). FmA ^ Fp((1 - c)-1/px)
an2 am2
и в силу (19) An2 (x) ^ 0, n ^ ж.
Из свойства (A4) легко выводится, что если pn ^ 0 по вероятности, то
Сп Ф nn ~ £n, n ^ ж. Поэтому, если, скажем, c = 0, то a-21+m2Xn2 ^ 0 по вероятности, и мы снова получаем An2(x) ^ 0. Аналогично рассматривается случай c =1. Таким образом, из любой последовательности {Ani (x)} мы можем выделить сходящуюся к нулю подпоследовательность, а это означает, что An(x) ^ 0, n ^ ж. Условие (R1) доказано.
Далее, функция Hp(x) удовлетворяет соотношению (20), так что если k = k(n) ^ ж достаточно медленно, то
lim kP{Xn(ank) > x} = lim k(1 — Hp(k1/px)) = ax-p = lim nkP{C1 > xakn}.
n—n—n—
Второе утверждение в (R2) доказывается совершенно аналогично.
Пусть теперь выполнены условия (R1) и (R2). Если k = k(n) ^ ж достаточно медленно, то (R2) и (17) следуют соотношения (23), а из (R1) -
Xkn(akn) ~ 2^1 ,n(afcn) Ф X^n+1,2n(afcn) Ф ... Ф X(k- 1}n+1,fcn(afcn) ,
16
AT, Гринь, Минимальные условия слабой зависимости., ,
Гд6 X(i—i)n+1,ln(akn) Xn(akn) , 1
1, ...,k. Отсюда
P{Xnk(ank) < x} ~ (P{Xn(ank) < x})*k =
= F*pk(k1/px(1 + On(1))) ^ Hp(x), n ^ ж. (30)
Если же m = kn + r, 0 < r < n, то m ~ kn, am ~ akn, aram1 ^ 0,
Xm(akn)
X1 ,n(am) ф Xn+1,2n(am) ф ... ф -X(k-1)n+1,kn(am) Ф Xkn+1;
где Xkn+1,m(am) ^ 0 по вероятности, откуда с помощью (30) выводим P{Xm(am) < x} ~ P{Xn(akn) < x}*k ^ Hp(x). Теорема доказана.
(am)
Литература
1. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей // Теория вероятностей и ее применения. 2002. Т. 47, № 3. С. 554-558.
2. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в предельных теоремах для стационарных последовательностей // Теория вероятностей и ее применения. 2009. Т. 54, № 2. С. 344-354.
3. Гринь А.Г. Минимальные условия слабой зависимости в предельных теоремах для максимумов // Математические структуры и моделирование. 2006. в. 17, с. 21-25.
4. Лоэв М. Теория вероятностей. М. : ИЛ, 1962. 719 с.
5. Peligrad М. An invariance principle for p- mixing sequences // Ann. Probab. 1985. V. 13, № 4. P. 1304-1313.
6. Гринь А.Г. Нормирующие последовательности в предельных теоремах для слабо зависимых величин // Теория вероятностей и её применения. 1991. Т. 36, № 2. С. 285-300.
7. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985. 141 с.
8. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М. : Наука, 1965. 524 с.
9. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М. : Мир, 1984. 751 с.
10. Золотарев В.М. Одномерные устойчивые распределения. М. : Наука, 1983. 304 с.
11. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М : Наука, 1977. 351 с.
Математические структуры и моделирование. 2015. № 1(33)
17
minimal conditions of the weak dependence in the scheme
of generalized summation
A.G. Grin
Professor, Doctor of Mathematics, e-mail: [email protected] Omsk State University n.a. F.M. Dostoevskiy
Abstract. Limit theorems for the so-called generalized sums and minimal conditions for the weak dependence of these theorems obtained in this article.
Keywords: stationary sequences, minimal conditions of the weak dependence, limit theorems, generalized summation.
