О предельных теоремах для функций от независимых случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

структуры и моделирование 2016. №2(38). С. 5-15

УДК 519.214

О ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ОТ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

А.Г. Гринь

профессор, д.ф.-м.н., e-mail: [email protected] Факультет компьютерных наук, Омский государственный университет

Аннотация. Получена асимптотика хвостов распределения определённого класса функций от независимых случайных величин. Показано, как с помощью этой асимптотики можно характеризовать предельные распределения таких функций.

Ключевые слова: предельные теоремы, функции от случайных величин, хвосты распределения, правильно меняющиеся функции.

В работе [1] введён некоторый класс бинарных операций, названных обобщёнными суммами, доказаны предельные теоремы для обобщённых сумм независимых случайных величин, описан класс предельных распределений, и получены минимальные условия слабой зависимости в предельных теоремах для обобщённых сумм.

В настоящей работе показывается, как разработанную в [1] технику модифицировать для более общей ситуации — для функций от случайных величин, не являющихся, вообще говоря, результатом последовательного применения бинарных операций.

Пусть при каждом n е N определена вещественнозначная функция f (x) = = f (xb x2,..., xn), xi,...,xn е D С R (то есть определена последовательность функций, но чтобы не загромождать рассуждений, мы не будем подчёркивать зависимость f от n какими-либо индексами и называть f последовательностью).

Будем предполагать, что f удовлетворяет следующим условиям:

A1. Симметричность: f (xi1, ...,xin) = f (x1, x2,..., xn) для любой перестановки {i 1,___,} множества {1,...,n};

A2. f (xi,x2, ...,xn-i, 0) = f (xi,x2, ..., x„_i);

A3. Для любого 1 ^ k ^ n |f (xi,x2, ..., xra) f (xi,x2, ...,xfc)| ^ g(xfc+i,, ...,x„), где функция g удовлетворяет условиям Ai — A3. (Согласно сказанному выше f (xi,x2, ...,xk) = f (xi, ...,xk, 0,..., 0).) Для условия A3 будем также использовать обозначение A3(g), если условие A3 выполняется с g = f, то, естественно, оно будет обозначаться A3(f).

Приведём некоторые примеры функций, удовлетворяющих условиям Ai — A3

Пример 1. f (xi,x2, ...,xn) = xi + x2 + ... + xn, D = R.

Пример 2. f(xi,x2, ...,xn) = max{xi,x2,...,xn}, D = R+ = [0,

Пример 3. Пусть функция / ^ 0 удовлетворяет условиям

/(х ± у) ^ f (х) + f (у), (1)

причём можно потребовать, чтобы (1) выполнялось только с х = (я1, х2,..., хк, 0..., 0), у = (0,..., 0, як+1,..., хп) при любом к < п. В этом случае из (1) следует

-/(Хк+1,Х2, ...,ХП) ^ /(Х1,Х2, ...,ХП) - /(Х1,Х2, ...,Хк) ^ /(Хк+1,Х2, ...,ХП),

то есть выполнено условие А3(/). В (1) соотношение /(х — у) ^ /(х) + /(у) можно заменить на /(х1, х2, ..., хк) ^ /(х1, х2, ..., хг), к ^ /. В этом случае

0 ^ /(Х1,Х2, ...,Хп) — /(Х1,Х2, ...,Хк) ^ /(Хк+1,Х2, ...,ХП)

и снова выполняется А3(/).

Пример 3а.

Пусть <(х) ^ 0, <(0) = 0 — возрастающая полуаддитивная функция на Е+ (т. е. <(и + V) ^ <(и) + <(г>)), а Л,(х) ^ 0 удовлетворяет условию (1). Тогда /(х) = <(Л,(х)) также удовлетворяет условию (1) и, следовательно, условию А3(/). Поэтому, например, функции

/(х) = <(Х1 + ... + Хп), /(х) = <(тах(хь ...,х„), О = Е+

и т. п. удовлетворяют условиям А1 — А3.

А4. Будем говорить, что выполнено условие А4, если при любом Л > 0

/ (Лх) = Л/(х),

а если для функции / выполнены условия А1, А2, А3(/) и А4, то будем говорить, что выполнены условия А.

Замечание 1. Если / удовлетворяет условию А4, и х» = 0, г = 1, ...,п, то

/ (х1, х2, ..., хп) = |хп|Л , ) ^ ( + / (х1,...,хп-1) ^ ...

\ 1 Хп 1 1 Хп 1 1 Хп | / \ 1 Хп 1 /

^ С|хп| + /(х1,...,хга-1) ^ С(|Х1| + |Х2| + ... + |хп|), С = тах{^(1),^(—1)}. (2)

С другой стороны, пусть О = Е+, х* = х»/тах(х1,..., хп), г = 1,...,п. Тогда 0 ^ х* ^ 1 и существует 1 ^ г0 ^ п такое, что х*0 = 1, поэтому если, скажем, /(х1,х2,...,хп) не убывает по каждому аргументу (в приводимых здесь примерах это так), то

/(Х1 ,Х2, ...,Хп) = тах(х1, ...,х„)/(хЦ,х*, ...,хП) ^ /(1) тах(хь ...,х„).

Отображение / : ^ К называется симметрической калибровочной функцией (см., например, [2, е.107]), если (i) /(х) > 0, х = 0; 00 /(тх) = |71/(х), 7 е К;

/(х + У) ^ /(х) + /(у); (1111) /(Х1, ...,Хга) = /(е^, ...,£Лп) где ^ = ±1, а (¿1, ...,гга) — перестановка множества (1,..., п).

Нетрудно видеть, что из (Ш) и (пи) следует (1), так что симметрическая калибровочная функция удовлетворяет условиям А1 А3(/) и А4.

Примеры симметрических калибровочных функций, удовлетворяющих условию А2 (а, следовательно, условиям А ) на О = К. Пример 3б.

/(Х1,Х2, ...,Х„) = Швх{|х1|, |Х2|, ..., |Хга|}.

Пример 3в.

/(Х1,Х2, ...,Хга) = (ЫР + ... + |хга|р)1/р, р > 1.

Пример 3г.

(х) = Шах (|ж^11 + ... + ^|).

Нетрудно видеть, что

шах{|х1|, |х21,..., |х„|} = Т1(х) ^ Т2(х) ^ ... ^ Тга(х) = + |х21 + ... + |х„|,

так что функции Т1,...,ТП образуют некоторый «спектр промежуточных функций» между «крайностями» шах{|х1|, |х21,___, |хп|} и |х1| + |х2| + ... + |хп| (см.

замечание 1).

Пример 3д. Полной симметрической функцией называется

Ск(х) = Ск(х1,х2, ...,Хп) = ^ Х^1 ...Х^" , Хг ^ 0,2 = 1,...,П.

+ ... + кп = к кг ^ 0.

Имеет место следующее неравенство:

[С (х + у)]1/к ^ [С(х)]1/к + [С(у)]1/к (см., например, [2, ^ 91]), так что функция

/ (Х1,Х2, ...,ХП) = С^ (|Х11, |Х2 |, ..., |ХП|) является симметрической калибровочной и удовлетворяет условиям А.

^ С < ТО, 2 = 1,...,п, то для /

Пример 4. Если sup

xi.....i„£D

выполнено условие A3(g) с g(xi,...,xn) = C(|xi| + ... + |xn|).

dx.f (xi, ...,xn)

Пусть {£„} — последовательность независимых одинаково распределённых величин. Будем обозначать

Xk,m(b) = f ,..., ^ , Xn(b) = Xi>ra(b),

Xn = Xn(1), Xn(b) = max |Xk(b)|, Yfc>m(b) = g ,.",%! ,

1<k<n у b Ь J

Yn(b) = Y1n(b), Yn(b) = max Yk(b), k,m,n G N, b> 0, in = max P{Yfc(cn) ^ e}, Cn > 0.

Лемма 1. Пусть e > 0, x > 0 и m ^ n, а функция f удовлетворяет условиям A1, A2 и A3. Если последовательность {cn} такова, что in < 1, то

P{Xm-i(Cn) ^ x + e} ^ (1 - in)-1P{|Xm(Cn)| ^ x}. Доказательство. Пусть Ek = {Xk-1(cn) < x+e ^ |Xk(cn)|}, k =1, ...,m, e > 0.

m— 1 _

Тогда E.Ej = 0, i = j, U Ek = {Xm— 1(cn) ^ x + e}, а в силу свойства A3

fc=1

{|Xk(Cn)| ^ x + e, yk+1,m(cn) < e} С {|Xm(cn)| ^ x},

то есть

{|Xm(Cn)| < x} С {|Xk(Cn)| <x + e} U {Yk+1,m(Cn) ^ e},

откуда

{|Xm(cn)| < x, Ek} С {Yk+1,m(cn) ^ e, Ek}, k = 1,...,m - 1. (3)

С помощью (3) получаем:

m— 1

P{Xm—1(Cn) ^ x + e} ^ P{|Xm(Cn)| ^ x} + ^ P{|Xm(Cn)| < x, Ek} ^

k=1

m— 1

^ P{|Xm(cn)| ^ x} + V P{Yk+1,m(cn) ^ e, Ek} ^

k=1

m— 1

^ P{|Xm(cn)| ^ x} + max P{Yk(cn) ^ e} V P{Ek} ^

k=1

^ P{|Xm(Cn)| ^ x} + in ■ P{Xm—1(Cn) ^ x + e}, откуда следует утверждение леммы. ■

Лемма 2. Если функция f удовлетворяет условиям A1, A2, A3, последовательность {cn} такова, что in < 1, то при любом x> 0 и 0 <e<x

P{Xn(cn) ^ x} ^ nP{X1(cn) ^ (x + 3e)}(1 - 3(1 - in)-1in).

Доказательство. Пусть Ап = < У„_ 1(сп) < 2е, / — ^ х + 3е

с

Ак = <| Ук-1(с„) < 2е, / ( — ) ^ х + 3е, Ук+1,п(с„) < е ¡>, 1 ^ к ^ п — 1

В силу А3

так что

Х„(с„) - / ( — с

^ Ук-1(сп) + Ук+1 (сга) ,

(4)

p{xra(с„) ^ х} ^ ^ и ал = ^ p{al ■ ... ■ ак-1ак}

,к=1 ) к=1

к- 1Ак } =

к- 1

= £ p{Ak } —£ ^ Ак -Ц А^ .

к=1 к=1 I , = 1

При 1 ^ к ^ п — 1 получаем

p{Ak} = p(/(^ ^ х + 34 —

(5)

—pS / /V) ^ х + 3е, ({Ук-1(с„) ^ 2е} и {Ук+^Ы ^ е}) [> ^

^ \ сга /

> p\/(-) > (Х + 3е) }> (1 — P{Уk+l,ra(cra) ^ е} — P{Уk-l(cra) ^ 2е}) ^

I \ Сп /

> ^ /(-) ^ (х + 3еН(1 — 2<у.

(6)

P{Ara} оценивается аналогично. Далее

У^-1(с„) < 2е, / ( — ) ^ х + 3е 1 С {У-1(с„) < 2е, X,(с„) ^ х + е} ,

сп

так что если е < Х, то к1

^ Ак ^ АЛ ^ ^ / > Х + 3е, и (У,-1(сп) < 2е, Л- ) ^ х + 3е ) \ ^

к1

,=1

'О

,=1

^ ^ / ( - ) ^ Х + 34 P{X к—1 (сп) ^ 2е}.

(7)

и тогда из (5), (6) и (7) и леммы 1 следует

P{Xra(cra) ^ ж} ^ ^ Н /(-) > х + е\ (1 — 3(1 — ¿„)—X)

к=1

Лемма доказана.

Следующее предложение - это модификация леммы 3.1 из [4].

Лемма 3. Пусть функция f удовлетворяет условиям A1, A2, A3, e > 0 и последовательность {cn} такова, что in < 1. Тогда

P{Xn(cn) ^ x + 3e} ^ in(1 - in)-1 + nP {X1(cn) ^ x} .

Доказательство. Пусть Ek = {Yk—1(cn) < 2e ^ Yk(cn)},k = 1,...,n. Тогда

n— 1 _

EiEj = 0, i = j, U Ek = {Yn—1(cn) ^ 2e}. В силу (4) при 1 ^ k ^ n - 1 k=1

Yk+1,n(cn) < e, Ek, max f ( — ) < x 1 С jXn(cn) < x + 3e, Ek, max f ( —J < x + 1<k<n' \Cn) J I \CnJ

откуда

Xn(cn) ^ x + 3e, Ek, max f ) < xl С {Ek, Y^n (cn) ^ e}. (8)

\Cny J

Аналогично выводится

Xn(cn) ^ x + 3e, max f ( — ) < x 1 С { Yn—1(cn) ^ 2e, max f ( — ) < x

n— 1 n

1<k<n \CnJ I I 1<k<n \ Cn

Отсюда

Xn(cn) ^ x + 3e, max f ( — ) < x

Xn(cn) ^ x + 3e, Yn—1(cn) ^ 2e, max f ( ^J < x\ . (9)

1<k<n \Cny

С помощью (8) и (9) получаем P{Xn(cn) ^ x + 3e} ^

^ P {Xn(cn) ^ x + 3e, max f ( —) < xl + P { max f ( — ) ^ x

= P<[ Xn (cn) ^ x + 3e,Yn—1(cn) ^ 2e, max f ( - ) < xl +P { max f ( — ) ^ x I Kk<n \c^J J \cnj

= g p{ >x+3e,Ek, manf (f) <4+P{ maxf (I) > (10)

Из соотношения (4) следует

Yk+1,n(cn) ^ Xn(cn) - f [ — ) - ^fc—1 (cn),

cn

и из (10) выводим

P{Xn(cn) ^ x + 3e} ^ V P{Yk+1,n(cn) ^ e, Ek} + P ( max f f^) ^ Л ^

j-f Vcn/ J

n— 1

^ nP{Xi(cn) ^ x} + max P{Yfc(cn) ^ e} ^ P{E} =

^ <n fc=i

= inP{Yn—i(cn) ^ 2e} + nP{Xi(cn) ^ x}.

Из этого соотношения с помощью Леммы 1 выводим утверждение леммы. ■

Замечание 2. Совершенно аналогично доказываются оценки для P{Xn(cn) ^ —x}, x > 0, поэтому леммы 2 и 3 выполняются после замены в них Xn(cn) на |Xn(cn)| и Xi(cn) на |Xi(cn)|.

Замечание 3. Из лемм 2 и 3 вытекает следующее утверждение: если последовательность положительных чисел {cn} такова, что при любом е > 0

¿n = max P{Yfc(cn) ^ е) —> 0, n —> oo

и при любых x > 0, е > 0 выполняется одно из следующих предположений:

¿2 = О (P{|X„(cn)| ^ x}), n — то, (11)

¿П = О (nP{|Xi(cn)| ^ x}), n — то, (12)

то при n — то

P{Xn(cn) ^ x} ~ nP{Xi(cn) ^ x}, P{|Xn(cn)| ^ x} ~ nP{|Xi(cn)| ^ x}. (13)

Замечание 4. Если для функции f выполнено условие A4, то |X1(cn)| = C|^|/cn, C> 0 и соотношение (13) означает тогда, что в указанных предположениях хвосты распределений величин Xn(cn) имеют одинаковую, не зависящую от вида функции f асимптотику.

Замечание 5. Если f (x1,x2, ...,xn) = max{x1, x2,..., xn}, D = R+, то P{Xn(cn) ^ x} ^ nPfö ^ xcn}, что вместе с леммой 2 обеспечивает выполнение (13) без предположений (11) или (12).

Из (2) следует, например, что если E|^|p < то, то E|f (£ь£2,...,£n)|p < то. Будем обозначать

an = sup {x : nP{|&| ^ x} ^ 1} .

Если P{|^1| ^ x} является правильно меняющейся функцией порядка —р, то {an} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/р [5, стр. 111],

nP{|£J ^ xan} ——, n —У <то (14)

xp

[5, стр. 94] и E|^|p < то, 0 < p < р [5, стр. 103].

Пусть при любых n G N и z > 0 E|Xn(z)|p < то. Положим

bn(p) = inf | z > 0 : max E|Xfc(z)|p ^ 11 .

1<fc<n

Если имеет место А4 и E|^|p < то, то &П(р) = max E|Xk|p.

l^fc^ra

В [1] на примере Xn = + ... + показано, что соотношение

liminf nP{|&| ^ ebn(p)} > 0, при некотором е> 0 (15)

га^-те

выделяет ситуацию, когда предельное распределение величин Xn(bn) определяется асимптотикой «хвостов распределения» величины а поскольку ранее мы вывели универсальную (то есть не зависящую от вида функции /) асимптотику этих «хвостов» (следствие 1), мы будем исследовать поведение распределения величин Xn(bn) при n ^ то, используя предположение (15). Там же [1, Замечание 6] показано, что вместо (15) можно использовать предположение bn(p) = O(an).

Покажем, как соотношения (13) помогают характеризовать предельное распределение величин Xn(an). Предположим, что при каждом x > 0 существует

H(x)= lim P{|X„(a„)| ^ x}. (16)

га^-те

Теорема 1. Пусть функция /(x1,...,xn) удовлетворяет условиям A на D = R. H(x) является правильно меняющейся функцией порядка —р, р > 0 тогда и только тогда, когда P{|^1| ^ x} является правильно меняющейся функцией порядка —р и при любых 0 < p < р bn(p) = O(an) .

Доказательство. Достаточность.

Пусть P{|^1| ^ x} правильно меняющаяся функция порядка —р, р > 0 и bn(p) = O(an), p < р, n ^ то. Пусть k = k(n) ^ то. Если k(n) растёт достаточно медленно, то

max E|Xm|p

mx P{|Xm| ^ ^} ^ ^-= O«^) = O (k-p/p) . (17)

Отсюда

= max P2{|Xm| ^ ea„fc} = O (k-2p/p) , (c„ = ^),

и так как в силу (14) nP{|^1| ^ xank} — (kxp)-1, то при p > р/2 выполняется условие (12) и из (13) и (14) получаем

kP{|X„| ^ xa„fc} - nkP{|&| ^ xa„fc} - x-p. (18)

Далее, поскольку ank —

n ^ то, то с помощью (16), (18) и условия

A4 выводим

lim kH(k1/px) = lim lim kP{|X„(a„fc)| ^ x} = x-p,

fc^-те fc^-те га^те

откуда следует, что H(x) является правильно меняющейся функцией порядка

— р, р > 0.

Необходимость. Пусть H(x) является правильно меняющейся функцией порядка —р, р > 0. Последовательность {an} по определению является неубывающей, так что если m = m(n) < n, m(n) ^ то, n ^ то, то

max P{|Xfc| ^ Nan} ^ max P{|Xfc| ^ Nafc} = H(N) + on(1).

m^fc^n m^fc^n

Если же m(n) ^ то достаточно медленно, то

max P{|Xfc| ^ Nan} = On(1),

i<fc<m

так что

max P{|Xfc| ^ Nan} = On(1) + ow(1). (19)

1<fc<n

Пусть an = o(cn), n — то. Из (19) получаем

¿n = max P{|Xk| ^ ecn} — 0, n — то,

n Kfc^n

и если k(n) = cn/an стремится к бесконечности достаточно медленно, то в силу (16), леммы 1 и правильного изменения функции H(x) имеем

¿n = O(P2{|Xn| ^ ecn}) = O(H2(ek)) = o(H(kx)) = o(P{|Xn| ^ xcn}),

то есть, имеет место (11) и, следовательно, (13). Пусть k = k(n) = cn/an — монотонная последовательность такая, что k(n + 1)/k(n) — 1, n — то. Тогда последовательность A(n) = n/H(k(n)) удовлетворяет условию A(n. + 1) —

A(n)

1, n — то и если k(n) растёт достаточно медленно, то из (13) выводим

Т \f \Pr\£ \ Т P{|Xn| ^ xcn} v H(kx) -p

lim A(n)P{|5| ^ xcn} = lim ----= lim = x p,

n—y^o n—У^О H (k) n—У^О H ( k)

что имеет место только тогда, когда P{|^1| ^ x} является правильно меняющейся функцией порядка —р при x — то ( [6, с. 318]).

Далее, пусть е > 0. Выберем с помощью (19) N > 0 таким, чтобы при достаточно больших n

ер

¿n = Ж P{|Xk| ^ eNan} ^ Л(Л , < 1 Р < р.

4(1 + e)p

Из леммы 3 при y ^ N ^ 3 и при достаточно больших n получаем P{|Xn| ^ (1 + e)yan} ^ P{|Xn| ^ (y + 3еК} ^ ^ 2¿nP{|Xn| ^ eyan} + nP{|X1| ^ yan}. Будем обозначать E{£,A} = J£P(dw). Поскольку |X1(an)| = CÜH, C > 0, из

C |61

(an)| = -

A an

последнего соотношения следует

(1 + e)-pa-pE {|Xn|p, |Xn| ^ (1 + e)Nan} ^

^ 2i„£"pa-pE {|X„||p, |X„| ^ eNa„} + nCpa-pE {|^1|p, €1 ^ Na„} . (20) Так как P{|^1| ^ y} — правильно меняющаяся функция порядка —р, р > 0, то

E ШГб ^ y}- C'ypP{|6| ^ y}, y ^то, С > 0, p < р (21) [6, с. 324]. С помощью (14) и (21) выводим

nCpa-pE {|€1 |Р, €1 ^ Na„} - C'CpNpnP{|€1| ^ Na„} ^ C'CpNp-p = ow(1).

(22)

Обозначим

A = lim limsupa-pE {|X„|p, |X„| ^ Na„} .

га^те

Из (20) и (22) следует теперь A ^ 2^n(1 + g) A ^ A. Следовательно, A = 0,

то есть последовательность {a-p|Xn|p} равномерно интегрируема, что вместе с (16) даёт

те

lim a-pE|X„|p = В = xpdH(x).

п^те Jo

В силу монотонности последовательности {an}

bn(p) = max E|Xfc|p - Ba£ = O(a£).

1<fc<ra

Литература

1. Гринь А.Г. Условия слабой зависимости в предельных теоремах для обобщённых сумм // Математические структуры и моделирование. 2014. № 1(29). C. 4-12.

2. Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и её приложения. М. : Мир, 1983. 574 с.

3. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в предельных теоремах для стационарных последовательностей // Теория вероятностей и её применения. 2009. Т. 54, № 2. С. 344-354.

4. Peligrad M. An invariance principle for p- mixing sequences // Ann. Probab. 1985. V. 13, № 4. P. 1304-1313.

5. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М. : Наука, 1965. 524 с.

6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Т. 2. М. : Мир, 1984. 751 с.

ON LIMIT THEOREMS FOR FUNCTIONS OF INDEPENDENT RANDOM

VARIABLES

A.G. Grin'

Professor, Dr.Sc. (Phys.-Math.), e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University

Abstract. The asymptotic of distribution tails of a certain class of functions of independent random variables is obtained in this article. It is shown how to characterize the limit distribution of such functions using this asymptotic.

Keywords: limit theorems, functions of random variables, distribution tails, regularly varying functions.