О моментах обобщённых сумм Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2015. № 4(36). С. 23-28

УДК 519.214

о моментах обобщённых сумм

А.Г. Гринь

д.ф.-м.н., профессор, e-mail: [email protected] Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Аннотация. В работе получены оценки для моментов так называемых обобщённых сумм слабо зависимых величин в терминах моментов меньших порядков. Оценки получены с помощью аналога известного неравенства М. Пелиград.

Ключевые слова: обобщённые суммы, равномерно сильное перемешивание, оценки для моментов.

Пусть {£„} = {@, n = 1,2,...} — стационарная в узком смысле последовательность и пусть Т^п и Т^п — а-алгебры, порождённые семействами {6 : i ^ n} и {C : i ^ n}. Говорят, что последовательность {@} удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (р-перемешивания) с коэффициентом перемешивания <^(n), если

|P(AB) - P(A)P(B)|

P(A)

А е о, B g F

>n

—> 0, n —>• oo.

стационарная последовательность с ^-перемешиванием,

0, аП

ES;2 ^ то, n ^ то, то E|Sn|p ^ СаП, p > 2, где С > 0

<p(n) = sup Если {@} —

n

Sn = Е 6, E^i =

i= 1

не зависит от n. Такие оценки впервые получены И. А. Ибрагимовым (см., например, [1, лемма 18.5.1]); на этих оценках базировалось доказательство центральной предельной теоремы для последовательностей с с ^-перемешиванием. В дальнейшем после появления известного неравенства М. Пелиград [2], с его помощью оценки такого типа доказывались различными авторами в различных модификациях (см., например, [3]). В настоящей работе на основе некоторого аналога неравенства М. Пелиград оценки подобного типа получены для так называемых обобщённых сумм (см. [4]).

Обобщённой суммой x ф у будем называть бинарную операцию на D С R, удовлетворяющую условиям А1 — А4 (условия (A)):

А1. Ассоциативность: x ф (у ф z) = (x ф у) ф z, x,y,z е D ;

А2. Коммутативность: x ф у = у ф x, x,y е D ;

А3. x ф 0 = x, x е D ;

А4. Равномерная непрерывность в следующем смысле: для любого е > 0 найдётся 5 > 0 такое, что из |у| < 5 следует |x ф у — x| < е, Vx е D ;

Этим условиям удовлетворяют, например, x ф у = x + у, D = R,

x V у = max{x, у}, D = R+ = [0, +то), x Л у = min{x, у}, D = R _ = (—то, 0],

24

А,Г, Гринь, Моменты обобщённых сумм

а не удовлетворяют, скажем, x ф y = xy, (не выполняются А3 и А4) и x ф y = x + y (mod d), d > 0, D = R (не выполняется A4).

Если бинарная операция x ® y удовлетворяет условиям (A), а f (x) возрастающая выпуклая (вниз) функция такая, что f (0) = 0, f (D) С D, то бинарная операция x ф y = f-1 (f (x) 0 f (y)) также удовлетворяет условиям (A).

Будем обозначать

Xk,m(b) = (ф ... ф (^ , Xn(b) = Xi,n(b),

Xn = Xn(l), Xn(b) = max |Xfc(b)|, k,m,n e N, b> 0.

10k0n

В дальнейшем будем предполагать, что D = R.

Лемма 1. Для любого е > 0 найдётся 8 > 0 такое, что если max P{|Xk (xcn)| ^ 8} + <^(m) 0 y < l, x > 0,

то при любых а> 0

P{Xn(xCn) ® а + е} 0

Х— ( P{|Xn(xCn)| ® а} + P <! max |£k | ^ 8xcn

l — Y \ I 10k0n

Доказательство. Из свойств А1 — А4 выводится, что при любом натуральном m для любого е > 0 найдётся 8 > 0 такое, что при любом x > 0

{|£! ^ x + е |п| < 8} С {|С ф П1 ^ x}. (1)

{|£| ^ x + е, |ni| < 8,..., |nm| < 8} С {|£ 0 П1 ф ... ф Пт| ^ x}. (2)

Пусть Ek = {Xk-1 (xcn) < а + е 0 |Xk(xcn)|}, k = l,...,n. Тогда

n __

EiEj = 0, i = j, U Ek = {Xn(xcn) ^ a + е}, а в силу (2) найдётся 8 > 0

k=1

такое, что

{|Xk(xcn)| ® a + е, max |£k| < x8cn, |Xk+m,n(xCn)| < 8} С {|Xm(xCn)| ® a},

10k0n

то есть

{|Xn(xCn)| < a} С {|Xk(xcn)| < a+е}U{|Xk+m,n(xCn)| ® 8}U<^ max |£k| ^ 8xc^

I 10k0n

k = l, ...,n — l, откуда

{|Xn(xcn)| < a, Ek} С {|Xk+m,n(xcn) | ^ 8 Ek} U \ max |^k| ^ 8xcno Ek f . (3)

10k0n

С помощью (3) получаем

n

P{Xn(xCn) ® aе} 0 P{|Xn(xCn)| ® a} + ^ P{|Xn(xCn)| < a, Ek}+

k=1

Математические структуры и моделирование. 2015. №4(36)

25

+P S max |ffc| ^ 5xcn \ ^ P{|Xm(xcn)| ^ a} + P{|Xfc+m,„(xcra)| ^ S, Ek} ^

1 <k<n '

^ } k=1

^ P{|Xn(xCn)| ^ a} +( max P{|Xk(xcn)| ^ S} + p(m) \ ^ P{Ek}+

v 7 k= 1

+P S max |^k| ^ SxCn> ^ P{|Xm(xCn)| ^ a}+

1 <k<n

+7P{Xn(xCn) ^ a + e} + P < max |£k| ^ Sxc„

I 1 ^ k<n

откуда следует утверждение леммы, ■

Следующее предложение — это модификация для обобщённых сумм неравенства М, Пелиград (леммы 3,1 из [2]),

Лемма 2. Для любого e > 0 найдётся S > 0 такое, что если

max P{|Xk (xcn)| ^ S} + <^(m) ^ y < 1, x > 0,

то при любом а> 0

P{|Xn(xcn)| ^ а + 2e} ^ P{|Xn(xcn)| ^ а} + P { max |£k| ^ Sxcn

1 — y 1 — y [1^k$«

Доказательство. Пусть Ek = {Xk-1 (xcn) < а + e ^ |Xk(xcn)|},k = 1,...,n.

n __

Тогда EiEj = 0, i = j, U Ek = {Xn(xcn) ^ a + S}, В силу (2) для любого e > 0

k= 1

найдётся S > 0 такое, что при 1 ^ k ^ n — m

{|Xk+m,n(xcn) | < S, Ek, max |^k| < Sxcn} C

1 <k<n

C {|Xn(xcn)| < a + 2e, Ek, max |£k| < Sxcn},

1<k<n

откуда

{|Xn(cn)| ^ a + 2e, Ek, max |^k| < Sxcn} C {Ek, |Xk+m,n(cn)| ^ S}. (4)

1^k^n

Аналогично выводится

{|Xn(xcn)| ^ a + 2e, max |£k| < Sxcn} C {Xn-m(xcn) ^ a + e, max |£k| < Sxcn}.

1<k<n J l v / 1<k^n

Отсюда

{|Xn(xcn)| ^ a + 2e, max |£k| < Sxcn}

1<k<n

{|Xn(xcn)| ^ a + 2e, Xn-m(xcJ ^ a + e, max |£k| < Sxcn}. (5)

1<k<n

26

А,Г, Гринь, Моменты обобщённых сумм

С помощью (7) и (8) получаем P{\Xn(xcn)\ ^ а + 2e} Y

Y P{|Xn(xcn)| ^ а + 2e, max |£J < 6xcnj + P{ max |£J ^ 6xcnj

lYkYn lYkYn

= P{\Xn(cn)\ ^ а + 2e, Xn-m(cn) ^ а + e, max \£k\ < 6xcn}+

lYkYn

+P{ max \^k\ ^ 6xcn} = P{\Xn(xcn)\ ^ а + 2e,Ek, max \£k\ < 6xcn}+

lYkYn z—/ lYkYn

k=l

n- m

+P{ max \^k\ ^ bxcn} Y P < max \£k\ ^ 6xcn > + V' P{\Xk+m,n(xcn)\ ^ 6, Ek}

Kk<n lYkYn • ^

Y P max \^k \

1 lYkYn

IlYkYn' cn ( +

Y

k=l

\£k\ ^ 6xcnj ^ max P{\Xk(xcn)\ ^ 6} + <p(m)j ^ P{Ek} Y

Y YP{Xn(cn) ^ а + 6} + P max \£k\ ^ 6xcn > .

IlYkYn I

Отсюда с помощью леммы 1 получаем утверждение леммы 2. ■

Покажем, как с помощью леммы 2 можно получать оценки для моментов обобщённых сумм. Пусть 6 > 0, N > 0 и натуральное m таковы, что

max P{\Xk(Ncn)\ ^ 6} + <^(m) Y y < 1,

lYkYn

где y > 0 такое, что

почти наверное. Из леммы 2 следует тогда

y

----- < 1. Предположим сначала, что max |£k| < 6Ncn

1 — y lYkYn

P{\Xn(Ncn)\ ^ а + 2ke} Y

Y

1 — Y

P{\Xn(Ncn)\ ^ а + 2(k — 1)e} Y ... Y

Y

Yk

P{\Xn(Ncn)\ ^ а},

то есть

(1 — Y)k

P{\Xn(Ncn)\ ^ y} Y exp{—ay}, a > 0, y > 0.

CO

Отсюда следует, что если f f (x)exp{—ay} dx < w, f (x) ^ 0, то

0

sup Ef (\Xn(Ncn)\) < w, в частности sup E\Xn(Ncn)\p < w при любом p > 0.

nn

Будем говорить, что выполнено условие A5, если при любых x > 0,

y^ G D, i = 1, ...n, n ^ 2

(xyl) 0 ... 0 (xyn) = x(yl 0 ... 0 yn).

Например, x 0 y = x + y, x 0 y = (\x\p + \y\p)l/p, p ^ 1, D = R, x 0 y = x V y, D = R +, удовлетворяют условию A5.

Математические структуры и моделирование. 2015. №4(36)

27

Теорема 1. Пусть бинарная операция ф удовлетворяет условиям А1 — А5 и пусть 0 < q < p, E|Xn|p < то. Тогда

E|Xn|p A A (E|X„|q)p/q + B E max |&|p,

^ 1AkAn

где А и B не зависят от n.

Доказательство. Для бинарной операции, удовлетворяющей условиям А1—А5, утверждение леммы 2 можно переписать так: для любого е > 0 найдётся 8 > 0 такое, что если

max P{|Xk| S 8Ncn} + <p(m) A Y < 1,

1 AkAn

то при x S N

p{|x„.| » xcn}a p{|Xn| s АД} + г1-p {ma? i&| > ДВА. (6)

1 — - 1 + 2е 1 — - [l^k^n 1 + 2е J

Г П Y (1 + 2e)p ...

Если y > 0 таково, что -------< 1, то с помощью (о) получаем

1 — Y

СЮ СЮ

E|Xn|p = —pj xp-1P{|Xn| S x} dx A (Ncn)p + pcAj xp-1 P{|Xn| S xcn} dx A

0 N

A (Nc„)p + Ф-ФФE|Xn|p + Y8(p1(1+ 2е))E max |&|p

1 — — 8p(1 — Y) 1AkAn

Отсюда

E|Xn|p A A'cn + B'E max |^k|p,

1AkAn

(7)

где А1 и B' не зависят от n.

Пусть 0 < q < p, cn = max E|Xk|q. Тогда

1AkAn

cq

max P{|Xk| S 8Ncn} A

1AkAn (8Ncn)q

(8N)

-q

—(1 + 2e)p

так что m и N можно выбрать такими, что --------------- < 1 и из (7) следует

теперь

1 — Y

/ \p/q

E|Xn|p A А' ( max E|Xn|q ) + B'E max |£k|

\.1AkAnJ 1AkAn

(8)

В силу леммы 1

P{Xn S xcn} A ^ (p{ |Xn| S + pi max |^k | S

1 — Y\l 1 + e) [1AkA« 1+ е

x > 0,

откуда

max E|Xn|q A EXn A (1 + ^ ( E|Xn|q + 8-qE max |&|q

1AkAn 1 — Y V 1AkAn

что вместе с (8) даёт утверждение теоремы.

p

28

А,Г, Гринь, Моменты обобщённых сумм

Пусть x ® у = x + у, Xn = Sn, E^i = 0, Of = Е^ ж, n ^ ж.

Тогда an является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 [1, теорема 18.2.3], так что

Е & |Р ^ пЕЫ? = о(аП), Р > ^

и из теоремы 1 следуют оценки И.А. Ибрагимова.

Литература

1. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М. : Наука, 1965. 524 с.

2. Peligrad М. An invariance principle for p- mixing sequences // Ann. Probab. 1985. V. 13, № 4. P. 1304-1313.

3. Гринь А.Г. Нормирующие последовательности в предельных теоремах для слабо зависимых величин // Теория вероят. и её примен. 1991. Т. 36, № 2. С. 285-300.

4. Гринь А.Г. Условия слабой зависимости в предельных теоремах для обобщённых сумм // Математические структуры и моделирование. 2014. Вып. 29. С. 4-12.

5. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985, 141 с.

on the moments of generalized sums

A.G. Grin

Dr.Sc.(Phys.-Math.}, Professor, e-mail: [email protected] Omsk State University n.a. F.M. Dostoevskiy

Abstract. We obtain estimates for the moments of so-called generalized sums of weakly dependent variables in terms of moments of smaller order. Estimates are obtained with the aid of an analogue of the well-known M. Peligrad inequality.

Keywords: generalized sums, estimates for the moments, uniformly strong mixing condition.