CC BY
20
Математические структуры и моделирование 2006, вып. 16, с. 21-25
УДК 519.214.5
МИНИМАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОЙ ЗАВИСИМОСТИ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ТЕОРЕМАХ ДЛЯ
МАКСИМУМОВ
А.Г. Гринь
In this article suggests a minimal in a certain sense conditions of weak dependence, which provided convergence of distributions of maximum random variables to a nondegenerate limit laws.
В статье [1] введено минимальное в некотором смысле условие слабой зависимости для стационарных последовательностей, обеспечивающее выполнение центральной предельной теоремы. В настоящей работе получено аналогичное минимальное условие слабой зависимости, при котором существует невырожденное предельное распределение для максимума n первых членов стационарной последовательности.
Пусть {£n} - стационарная в узком смысле последовательность и пусть Xn = max £n, Fn(x) = P {Xn < x} . Пусть Fn ^ F означает, что {Fn} слабо
сходится к F. Следуя [3], назовем {an, n = 1, 2,...} правильно меняющейся последовательностью порядка р, если a[x], x > 0 является правильно меняющейся функцией порядка р, где [x] - целая часть х.
Если {£n} - последовательность независимых одинаково распределенных величин, F1(x) < 1, x > 0, то для того, чтобы при некотором выборе нормирующих констант an имело место соотношение Fn(xan) ^ F^(x), n ^ ж, где £ - невырожденная случайная величина, необходимо и достаточно, чтобы
P{6 > x} являлась правильно меняющейся функцией порядка -р, р > 0.
При этом предельное распределение имеет вид F^(x) = Gp(x) = exp {-cx-p} , x > 0, c > 0, а нормирующие постоянные an можно найти из соотношения nP{£i > an} ^ c,n ^ ж. [4, с. 319]. Такая последовательность {an} существует и является правильно меняющейся порядка 1/р [3, с. 29].
Как ив [1], символ n + m ^ ж в каком-либо соотношении будет означать, что указанное соотношение выполняется при n ^ ж и при любой последовательности натуральных чисел m = m(n) .
Copyright © 2006 А.Г. Гринь.
Омский государственный университет.
E-mail: grin@math.omsu.omskreg.ru
Работа поддержана грантом РФФИ 06-01-00127.
Theorem 1. Пусть {£n}, n = 1, 2,...} - стационарная последовательность, у которой P{6 > x} является правильно меняющейся функцией порядка —р, р > 0 и пусть {an} таковы, что nP{£i > an} * c, c > 0, n * ж. Для того, чтобы Fn(xan) ^ Gp(x), n -* ж, x > 0, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие утверждения:
а)
Fn+m(xan+m) Fn(xan+m)Fm(xan+m) * °; n + m * ж) (R1)
б) при любом x > 0 и при любой достаточно медленно растущей последовательности k = k(n) * ж, n * ж
P{Xn > xakn} ~ nP{6 > xakn}, n * ж. (R2)
Remark 1. Теорему 1 можно интерпретировать так: условия (R1) и (R2) являются минимальными условиями слабой зависимости, при которых выполняются предельные теоремы для максимумов с той же нормировкой, что и в предельных теоремах для независимых величин.
Приведем достаточные условия для выполнения (R1) и (R2) в терминах «традиционных» условий слабой зависимости.
Пусть F<n и F>n — о -алгебры, порожденные семействами {Gi : i < n} и {Gi : i > n}. Говорят, что последовательность {£n} удовлетворяет условию сильного перемешивания, если
a(n) = sup \P(AB) — P(A)P(B)\ * 0, n * ж.
Remark 2. Если последовательность {£n} удовлетворяет условию сильного перемешивания, то выполнено условие (R1). Действительно, пусть Yn и Zn - последовательности случайных величин и Zn * 0 по вероятности. Тогда при
x>0
0 < P{Y„ < x} — P{max{Yn, Zn} < x} < P{Zn > x} * 0, n * ж. (1)
Пусть, скажем, K и N - множества натуральных чисел, содержащие k и n элементов соответственно и пусть k = o(n). Так как Pfe > x} - правильно меняющаяся функция порядка — р, то
nP{£i > xan} ~
cP{Ci > xan} P{6 > an}
cx
-p
(2)
так что
и в силу (1)
P{max G > x} < kP{G > xan} ~
ІЄК
ck
nxp
0, n
ж,
P{ max G > xan} — P{maxG > xan} * 0, n * ж.
i&N UK ieN
(3)
22
С помощью (3) и определения условия сильного перемешивания получаем
Fn+m(xan+m) — Р{ Шах £i < xan+m} —
1<i<n+m
Р{ Шах £j < Xdn+mi Шах £j < X(2n+m} + °n(1')
1<i<n n+k<j<n+m+k
— P{ max £ < xan+m}P{ max £j < xan+m} + 0n(1) + a(k) —
1<i<n n+k<j<n+m+k
Fn(xan+m)Fm(xan+m) + on(1') ■
Remark 3. Если для некоторой функции A(x) > 0 такой, x —► 0
sup
P(AB) P(A)X(P(B))
A є F>i, B є F<o
< 1,
что A(x)
0,
то говорят, что последовательность {£n} удовлетворяет условию A-перемешивания (см. [5]).
Если последовательность {£n} удовлетворяет условию A-перемешивания, то в условиях теоремы 1 имеет место (R2)
Действительно,
P{Xn > xakn} Р і і J{£i > xakn} f < nP{£1 > xakn}■
J=1
Далее, обозначив Ai — {£i > xakn}, с помощью условия A-перемешивания получаем
i1
P{Xn > xakn} — Y, P{A1, ■■■Ai-A} — Y, ( P{Ai} - P Ї A^J A
j=1
i=1
i=1
>
i- 1
E (PR> - P{Ai}A ^Pj(J Aj
Если k — k(n) ^ ж достаточно медленно, то в силу (2)
i- 1
Aj
1
Р ^ (J Aj^ < nP{£1 > xakn} ~ kxp ^ 0, n ^ ж
0 = 1
и из последнего соотношения, (4) и (5) следует (R2). Remark 4. Обозначим
P(AB)
®r,s(n) — SUp
Pr (A)Ps(B)
: A є T<o, B є F>n, P(A)P(B) > 0
>
(см. [6]). Если в место (R2).
r + s > 1 и ^2 ar,s(n) < ж, то в условиях теоремы 1 имеет
n=1
23
В обозначениях замечания 3
P{Xn > xakn} > И p{A‘A>}■ (6)
i=1 1<i=j<n
Так как P{A1} = P{^1 > xakn} — 0, n — 0 и в > 1, то
n n n— 1
Y P{AiAj} < 2Pe{A1} Л arsj - i) = 2Pe(n — k)ar,s(k) <
1<i=j<n 1<i<j<n k=1
< 2nPe{A1}Y ars(k) = o (nP{A1}). (7)
k=1
Из (4), (6) и (7) следует (R2).
Lemma 1. Последовательность {an} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1 (а an - правильно меняющейся последовательностью порядка 1/р, р >
0) тогда и только тогда, когда
an+m ~ apn + am, n + m — ж.
Доказательство, по существу, повторяет доказательство леммы 1 в [1]. Доказательство теоремы 1.
Необходимость. Пусть Fn(xan) ^ Gp(x), n — ж. Функция Gp(x) непрерывна при x > 0, поэтому слабая сходимость равносильна поточечной:
Fn(xan) — Gp(x), x > 0. Пусть m = m(n) - произвольная последовательность натуральных чисел. Обозначим
X(n) \Fn+m(xan+m) Fn(xan+m)Fm(xan+m) \ ■
Поскольку an - правильно меняющаяся последовательность порядка 1, то в силу леммы 1
an+m ~ an + am, n -
так что для любой последовательности натуральных чисел {щ} существуют 0 < a < 1 и подпоследовательность {n2} С {щ} такая, что
a р ap
^n2+m2 n2
a
—р
n2 +m2 m2
р
1 - a, n
,
a
где m2 = m(n2). Пусть сначала 0 < a < 1. Имеем
A(n2)
Fn2 +m2 (xan2 +m2 ) - Fn2 xa
n2
n2
ln2 +m2 \ F I an2+m2
F m2 I xam2
m2
Gp(x) — Gp (xa И Gp (x(1 — a) p
= |exp {—cx p} — exp {—acx p} exp { — (1 — a)cx p} | =0
24
25
Если же a = 0 (a = 1), то при n * ж a—l+m2Xn2 * 0 (а-2+т2Xm2 * 0) по вероятности, следовательно, при x > 0 Fn2 (xan2+m2) * 1 (Fm2 (xan2+m2) * 1), а с помощью (1) легко выводится, что
\Fn2 +m2 (xan2+m2 ) Fm2 (xan2+m2 ) \ * 0 (|Fn2+m2 (xan2+m2 ) Fn2 (xan2+m2 ) \ * 0)
то есть A(n2) * 0, n * ж. Вместе с (8) это означает, что из любой последовательности {Д(пі)} можно выделить сходящуюся к нулю подпоследовательность. Следовательно, A(n) * 0, п * ж, и мы показали, что выполнено условие (R1).
Докажем (R2). Если k = k(n) * ж растет достаточно медленно, то в силу
nP{6 > xakn}
kxp
n
.
(9)
Так как apkn ~ kan ({apn} - правильно меняющаяся последовательность порядка 1), то по предположению
c
P{Xn > xakn} = 1 - Fn(xakn)
1 — exp < —
kxp
I + on(1)
c
c
kxp + °n(1) + 0k (1),
что вместе с (9) дает нам условие (R2).
Достаточность.
Пусть выполнены условия (R1) и (R2), k = k(n) * ж, n = km+r, 0 < r < m. С помощью (3) и условия (R1) при k, растущем достаточно медленно, получаем
Fn(xan) = Fm(xan) + oR1) = (1 — P{Xm > xan})k + cn(1). (10)
Из условия (R1) и (2) следует
mc c
nxp kxp
P{Xm > xan} ~ mP{^1 > xan}
Из (10) и (11) выводим
(c \k
1 — fop + °n(1)J + °n(1) * exp{ —cx~pj
Теорема доказана.
11)
.
References
1. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей // Теория вероятностей и ее применения. 2002. Т.47, N.3. С.554-558.
2. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962.
3. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.
4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М.: Мир, 1984.
5. Гринь А.Г. Области притяжения для последовательностей с перемешиванием // Сибирский математический журнал. 1990. Т.31, N.1. С.53-63.
6. Bradley R. Basic properties of strong mixing conditions // In: Dependence in Probability and Statistics (Ser. Progress in Probability and Statistics. V.11). Boston-Basel-Stuttgart: Birkhauser. 1986. P.165-192.
