О локальной предельной теореме для функций от зависимых величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2019. № 1(49). С. 22-29

УДК 519.214 DOI: 10.25513/2222-8772.2019.1.22-29

О ЛОКАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ ОТ ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН

А.Г. Гринь

профессор, д.ф.-м.н., e-mail: [email protected] Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского, Омск, Россия

Аннотация. Получены необходимые и достаточные условия для справедливости локальной предельной теоремы для функций от зависимых случайных величин. Эти условия содержат в себе так называемые минимальные условия слабой зависимости.

Ключевые слова: локальная предельная теорема, симметрические функции от случайных величин, минимальные условия слабой зависимости.

Как и в [1], будем писать £ = ц, — £ и ~ в случаях, когда, соответственно, распределения £ и ц совпадают, {£„} сходится к £ по распределению и когда последовательности {£„} и {цп} слабо эквивалентны (см., например, [2, § 28.1]). Слабая эквивалентность равносильна поточечной сходимости разности характеристических функций величин {£„} и {цп} к нулю при п — то [2, с. 393].

Далее, пусть величины цп, п = 1, 2,... и £ имеют плотности распределения ,р1п и р^ соответственно. Будем писать — £ и ~ цп, если

вир [р?п (ж) - р^ (ж)1 — 0 (1)

X

и

виР И - Ряп (ж) 1 — 0, П — ТО (2)

X

соответственно (здесь и далее — сформулированные утверждения относительно плотностей понимаются так: существуют варианты плотностей, для которых выполняются эти утверждения).

Пусть {£„} = {£„, п = 1,2,...} — стационарная в узком смысле последовательность и пусть при каждом п Е N определена симметрическая веще-ственнозначная функция {, то есть $(х\, х2,..., хп) = {(х^,...,Хгп), для любых хх,..., хп Е К для любой перестановки {гь...,гга} множества {1,...,п} (на самом деле определена последовательность функций, но чтобы не загромождать рассуждений, мы не будем подчёркивать зависимость / от п какими-либо индексами и называть / последовательностью).

Математические структуры и моделирование. 2019. №1(49)

23

Будем обозначать Хп = / ,...,^п), ЕХ2 < ж, ап = ЕХп, п = 1, 2,..., Ь2п = ЗХп а ж, а через М(0,1) — случайную величину, имеющую нормальное распределение с параметрами 0 и 1. Если

Ь-1 (Хп — ап) А М(0,1), п А ж,

то говорят, что к последовательности [Хп] применима центральная предельная теорема, а если при каждом п величины Хп имеют непрерывное распределение и

Ь-1 (Хп — ап) А Я(0,1),

то будем говорить, что к последовательности [Хп] применима локальная предельная теорема.

Назовём {Ьп} правильно меняющейся последовательностью порядка р, если Ь[х] — правильно меняющаяся функция порядка р ([ж] — целая часть х) .

Через щ,...,г}п будем обозначать независимые случайные величины такие, что ^ = щ, г = 1,..., п.

Введём следующие условия для последовательности {£га}:

Хп+т Л Хп Хт

—---Ъ --, п + т А ж, (К)

ип+т "п+т "п+т

Хп+т (II Хп Хт /-г>т \ ~ ---Ъ --, п + т А ж (ИЬ)

"п+т 0п+т 0п+т

(символ п + т А ж означает здесь, что данное соотношение справедливо при п А ж при любой последовательности т = т(п)).

Через рп (х) будем обозначать плотность распределения величины

Ь-1(Хп — ап).

п

В работе [1] для случая, когда Хп = вп = ^ ^, Е^ = 0,г = 1, 2,... получен

г=1

следующий результат:

Теорема 1. Для того чтобы к стационарной последовательности {£„} была применима локальная предельная теорема и {Ьп} была правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ^Ц), последовательность {Ъ-282п} была равномерно интегрируемой и при некотором натуральном п0 выполнялось вир виррп(х) < ж.

п^по х

Теорема 1 интерпретировалась следующим образом: условие ^Ц) является минимальным условием слабой зависимости для последовательности {£„}, при котором имеет место локальная предельная теорема.

В данной работе теорема 1 обобщается на случай, когда Хп = / (^,...,£п), где / — определённая выше симметрическая вещественнозначная функция.

Если {Ьп} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 и тп = Ь-+т(ап + ат — ап+т) А 0, п + т А ж, то будем говорить, что выполнены условия нормировки (Ы).

Теорема 2. [3] Пусть [£п,п = 1,2,...} — стационарная последовательность и пусть ЕХ2 < то, Для того чтобы к последовательности {Хп} была применима центральная предельная теорема и выполнялись условия нормировки (Ы), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие и последовательность {Ь~2(Хга — ап)2} была равномерно интегрируема.

В настоящей работе будет доказан следующий результат:

Теорема 3. Для того чтобы к стационарной последовательности {Хп} была применима локальная предельная теорема и выполнялось условие нормировки (Ы), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ^Ь), последовательность {Ъ~2(Хп — ап)2} была равномерно интегрируемой и при некотором натуральном п0 выполнялось вир виррп(х) < то.

п'по х

Замечание 1. В формулировке теоремы 3 условие ^Ь) является не только условием слабой зависимости, но и накладывающим ограничения на вид функции {, заключающиеся, по сути, в том, что распределения функций {(£1 ,...,$п) слабо эквивалентны распределениям сумм некоторых независимых случайных величин.

Замечание 2. Для сумм зависимых случайных величин не удаётся доказывать локальные предельные теоремы с использованием «общеупотребительных» условий слабой зависимости (сильное и равномерно сильное перемешивание, полная и абсолютная регулярность и пр.). Теоремы 1 и 3 несколько проясняют эту ситуацию: минимальное (самое слабое) условие ^Ь) является весьма жёстким (не следует, например, из перечисленных выше) и является условием несколько иного типа, чем упомянутые выше.

Приведём сначала некоторые вспомогательные утверждения.

Обозначим , и характеристические функции величин цп и £ соответственно.

Лемма 1. а) Из - £ следует -

b) из ~ цп следует ~ цп;

c) если £п -— £ и последовательность } равномерно интегрируема, то Са — С;

й) если ~ 1]п и последовательности } и } равномерно интегри-

А <11

руемы, то ~ цп;

е) пусть -— плотность р^ (х) равномерно непрерывна на К и ап — а > 0, Ьп — Ь. Тогда ап£п + Ьп -— + Ь, п — то;

[) пусть £п -— и цп независимы при п = 1,2,..., плотность р^(х)

равномерно непрерывна на К и цп - 0 по вероятности. Тогда + -

¿) пусть - - ц, и независимы при п = 1,2,... Тогда

£п + 'Пп - С + V;

Н) если ~ 'Цп, а {сп} последовательность действительных чисел, то

+ Сп ~ Цп + Сп, П - ТО.

Математические структуры и моделирование. 2019. №1(49)

25

Утверждения a) - d), f) и g) доказаны в [1].

Докажем e). Из суммируемости и равномерной непрерывности на R плотности (х) следует р^(х) А 0, х А ж. Действительно, если бы существовала последовательность хп А ж такая, что р^ (хп) А с > 0, то в силу равномерной непрерывности существовало бы 5 > 0 такое, что р^(х) ^ с/2, \х — хп\ < 8, п = 1,2,..., что противоречит суммируемости грс (х). Ясно, плотность р^ (х) ограничена (как непрерывная и стремящаяся к нулю на бесконечности), что вместе с (1) даёт нам существование С > 0 и натурального п0 таких, что sup supр^п (х) ^ С. Далее, пусть N > 0

п^по х

таково, что р^(х) < е, \х\ > N. В силу равномерной непрерывности р£ существует 8 > 0 такое, что \р^(х(1 + 8') + 8'') — р^(х)\ < е, \х\ ^ N, 8' < 8, 8" < 8. Отсюда следует, что если 8'п а 0, 8" а 0, п а ж, то

sup \Р£ (х(1 + 8'п) + 8'^ — Р£ (х)\ А 0, п А ж.

(3)

1 х

Далее, плотность величины a£ + b равна -р? (- ) . Имеем

a \ a

sup

X

+ - sup

a х

1 х — Pi

a

Pin

i х — ЬЛ 1 i х — b\

V an J a a J

i х — ЪЛ _ / х — bn \

V an J V an J

<

1 1

an a

+— sup

a x

Pi

f х — bn\

sup R„- +

\ an J

iх — ЪЛ _ /х — b\ \ an ) РЛ a )

Первое и второе слагаемые в правой части последнего соотношения стремятся к нулю по условию, а третье — в силу (3).

Утверждение h) просто следует из определения эквивалентности ~.

Лемма 2. [4] Ьп является правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 (а b2п — правильно меняющейся последовательностью порядка 1) тогда и только тогда, когда

bl+m ~ ь2п + Ь^ п + т Аж.

Доказательство теорем ы 3.

Необходимость. Пусть для последовательности {Хп} выполнена локальная предельная теорема и выполняются условия нормировки (N). Тогда очевидно, что существует натуральное п0 такое, что sup supрп(х) < ж. Далее, в силу

п^по х

леммы 1a) и теоремы 2 имеет место центральная предельная теорема и из теоремы 2 следует, что последовательность {Ь~2(Хп—an)2} равномерно интегрируема. Осталось показать справедливость условия (RL). Плотность распределения величины Ь-1Хк обозначим рк,п(х), тогда рп(х) = рп,п(х). Пусть т = т(п) — последовательность натуральных чисел. Обозначим

Дга — sup \рп+т(х) (Рп,п+т * Pm,n+m)(х)\,

х

1

х

где (рп,п+т * Рт,п+т)(х) обозначает свёртку плотностей рп,п+т(х) и рт,п+т(х). Условие ^Ь) означает, что Дга - 0, п - то при любой последовательности т = т(п).

Поскольку Ъ2П — правильно меняющаяся последовательность порядка 1, то в силу леммы 2

Ь1+т ~ Ь1 + b2т, П - ТO,

так что для любой последовательности натуральных чисел {п1} существуют 0 ^ с ^ 1 и подпоследовательность {п2} С {п1} такая, что

^п2+т2 ^п2 - С, ^п2+т2 ^т2 - 1 — С, П - ТО,

где т2 = т(щ). Если с = 0 (с = 1) то при п - то

ЬП2+т2 (^"2 — аП2 ) - 0 (ЬП1+т2 (Хт2 — ат2 ) - 0).

Плотность величины М(0,1) равномерно непрерывна, так что в силу условия нормировки (Ы) и утверждений е) и ^ леммы 1 (скажем, при с = 0) получаем

Хщ @"П2 . Хт2 0>т2 Л Хт2 СЬт2 Л . /„ ч Л ХП2+т2 0>П2+т2 —--1----~---~ N (0,1) ~---, п - то,

Сп2+т2 От+т2 и т2 Ощ +т2

то есть

Хщ ~Хт2 Л ХП2 +т2 , Л \

ь-+ ь--1т ~ ~ъ--(4)

иП2 +т2 иП2 +т2 иП2 +т2

и, следовательно, Д(п2) - 0, п - то

нормировки (Ы) следует 'уп+т(и,п

Если же 0 < с < 1, то из условия нормировки (Ы) следует Ьп+т(ап + ат)

= Ь-п^тап+т + о(1) и из утверждений е), £) и Ь) леммы 1 выводим

ХП2 Хт2 Л ХП2 — аП2 Хт2 — 0>т2 в"П2+т2 Л Г \ Г(Г\ 1 \ I Л I

--+----7-+—т-+Т--УСА(0,1)^1 — сЛ/(0,1)+

^П2+т2 иП2+т2 ^П2+т2 VП2+т2 VП2+т2

. &П2+т2 Л Аг/П \ . А-П2+т2 Л ХП2 +т2 — &П2+т2 &П2+т2 ХП2+т2 +7--^ (0, 1) + Т---7- + Т- = "7-,

иП2+т2 иП2+т2 иП2+т2 иП2+т2 иП2+т2

то есть снова получаем (4) и Д(п2) - 0, п - то.

Таким образом, доказано, что из любой последовательности {Д(п1)} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к нулю. Это означает, что Д(п) - 0, п - то, то есть выполнено условие ^Ь).

Достаточность. Пусть выполнено условие ^Ь), последовательность {Ь-2(Хп — ап)2} равномерно интегрируема и при некотором натуральном п0 вир вир Рп(х) ^ С < то. В силу леммы 1Ь) из условия ^Ь) следует условие

п'по х

так что из теоремы 2 имеем, что Ьп-1(ХП — ап) - ^(0,1) и выполнены условия нормировки (Ы).

Пусть п = 2кт + I, 0 ^ I < 2т и пусть Хт^ = Хт, г = 1,..., 2к, Хг,к+1 = Х1. Последовательность к = к(п) - то можно выбрать растущей столь медленно, что из условий (Ы) и будет следовать

Хп — ап л Хт,1 — От . . Хт,2к — (1т . X1,к+1 — Щ ,г\ -;- ~ -;--Г ... +--;--1--;-. (5)

71

71

Г1

Г1

Математические структуры и моделирование. 2019. №1(49)

27

Если мы покажем, что

Xm,1 am . Xm,2k am dl . rin s

Vn =--+ ... +---> N(0,1) (6)

On On

и bnl(Xi^+i — щ) а 0 по вероятности, то в силу леммы 1f) будет выполняться bn 1(Xn — an) А N(0,1), то есть локальная предельная теорема.

Имеем I/п < 2/ к А 0, п а ж. Правильно меняющуюся последовательность положительного порядка без ограничения общности можно считать неубывающей [5, с. 26], так что bn1 h ^ bn1 Ьк а 0, следовательно, bn 1Xt,k+1 а 0 по вероятности. Так как bn 1(Xn — an) А М(0,1), то

Xm,1 am . . Xm,2k am d . r,n Л \

Vn =-\-+ ... +-'-г--> M(0,1),

n n

и для того, чтобы доказать (6) в силу леммы 1с), достаточно показать равномерную интегрируемость последовательности характеристических функций

Wvn } то есть

lim sup / (t)ldt = 0. (7)

N^те П>П() J \t\>N

Будем доказывать (7). Обозначим через £ = £ — £ — «симметризованную» величину При m ^ п0 плотность pm величины bm1(Xm — am) ограничена константой С, следовательно, и suppm(x) ^ С, где pm(x) — плотность распре-

х

деления величины bm!Xm. В этом случае

те те

I 6 С I ^ ¿и = С', (8)

—те —те

где ^т(Ь) — характеристическая функция величины Ьт1(Хт — ат) (см., например, [6, с. 247]). Далее 1 — есвх ^ Т^х2, \х\ ^ 1, так что

1

2 ' ' - 11 t2

> _ —w) X-^ 24 Ь- ^ ' Xm, 1 °Xml ^ Un

/ 7 \ 2 1 1 J.2

Vm{ ytj = E (1 — cos (tb-^Xr^) > - J2 E{X2m, | tXml ^ Ьп}

где E{£,A} = f £P(du). Вместе с последовательностью {bn2(Xm — am)2} рав

А

номерно интегрируемой является последовательность {bm2Xm}, EXm = 2b2m

то

натуральных m. Тогда если Щ ^ ebnbmто

т т

так что существует е > 0 такое, что Е{Хт, \Хт\ > е_1 Ьт} ^ Ь"т при всех

ЬпЪ~! то

1

2

m

Jm \ t ) n

'^[yt

> f/=^ (9)

Если к = к(п) — то достаточно медленно, то из леммы 2 и определения правильного изменения порядка 1 следует Ь2П ~ Ь2кт ~ 2 кЬ2т, так что с помощью (5) и (8) получаем

J W, (t)\dt = J

Vm( Ь)

2 к

dt <

^ (1 -e')

к-1

Ч Ъ)

dt i C"(1 -£')к-1 К ft-1

num

C"(1 -е')к-1^2к — 0,

—> U, n —> oo.

Отсюда уже следует (7), поскольку здесь к = к(п) может быть выбрано растущим сколь угодно медленно. Теорема доказана.

2

Литература

1. Гринь А.Г. Минимальные условия слабой зависимости в локальной предельной теореме // Математические структуры и моделирование. 2011. Вып. 24. С. 5-11.

2. Лоэв М. Теория вероятностей. М. : ИЛ, 1962. 719 с.

3. Гринь А.Г. О центральной предельной теореме для симметрических функций от зависимых величин // Математические структуры и моделирование. 2017. № 1(41). С. 5-11.

4. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей // Теория вероятн. и её примен. 2002. Т. 47, № 3. С. 554-558.

5. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985. 141 с.

6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М : Наука, 1969. 400 с.

ON A LOCAL LIMIT THEOREM FOR FUNCTIONS OF DEPENDENT

VARIABLES

A.G. Grin'

Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: [email protected] Dostoevsky Omsk State University, Omsk, Russia

Abstract. The necessary and sufficient conditions for the validity of the local limit theorem for functions of dependent random variables is obtained. These conditions contain so-called minimal conditions of weak dependence.

Keywords: local limit theorem, symmetric functions of random variables, minimal conditions of weak dependence.