Минимальные условия слабой зависимости для локальной предельной теоремы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.214.5

МИНИМАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ СЛАБОЙ ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ЛОКАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ

А.Г. Гринь

Получены минимальные в некотором смысле условия слабой зависимости, обеспечивающие выполнение локальной предельной теоремы для сумм зависимых случайных величин.

Пусть {£„} = {£п, п = 1,2,...} - стационарная в узком смысле последова-

П

тельность и пусть < оо, E£i = 0. Обозначим Sn = £fc, ап =

k= 1

Как и в [1], будем писать £ = rq, Д £ и ~ г]п в случаях, когда, соответственно, распределения £ и г] совпадают, {£„} сходится к £ по распределению и когда последовательности {£„} и {??„} слабо эквивалентны [2, § 28.1]. Слабая эквивалентность равносильна поточечной сходимости разности характеристических функций величин {£„} и {rqn} к нулю при п —> оо [2, с. 393].

Далее, пусть величины г]п, п= 1,2,... и £ имеют плотности распределения p^n,pVn и соответственно. Будем писать Д £ и ~ rjn, если

sup \pt„(x) -Pt(x)\ ->■ О (1)

X

И

sup |р?п (ж) - рЧп (ж) I ->■ 0, п ->■ оо (2)

X

соответственно (точнее — если существуют варианты плотностей, для которых выполнены (1) и (2)).

Обозначим через Л/"(0,1) случайную величину, имеющую нормальное распределение с параметрами 0 и 1.

Говорят, что к последовательности {£„} применима центральная предельная теорема, если a~1Sn Д Л/"(0,1), и локальная предельная теорема, если при каждом п величины Sn имеют непрерывное распределение и a~lSn Д

лл(о, 1).

Назовём {сп} правильно меняющейся последовательностью порядка а, если С[х\ — правильно меняющаяся функция порядка а ([ж] — целая часть х) .

Copyright © 2011 А.Г. Гринь

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского E-mail: [email protected]

Через г/1,..., цп будем обозначать независимые случайные величины, такие,

ЧТО ГЦ = 7/г, * = 1,

Введём следующие условия слабой зависимости для последовательности

{Ы:

$п-\-т & Зп 8т

&п-\-т &п-\-т &п-\-т

$п-\-т <11

т

гг + т —> оо, (Я)

п + т —> оо (К^)

®п-\-т &п-\-т ®п-\-т

(символ п + т —> оо означает здесь, что данное соотношение справедливо при п —> оо при любой последовательности т = т{п)).

В работе [1] получен следующий результат.

Теорема 1. Для того чтобы к стационарной последовательности {£„} была применима центральная предельная теорема и {сгп} была правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (К) и последовательность {о~28^} была равномерно интегрируемой.

Теорему 1 можно интерпретировать следующим образом: условие (Я) является минимальным условием слабой зависимости для последовательности {£„}, при котором имеет место центральная предельная теорема с правильно меняющейся порядка 1 дисперсией.

В данной работе получено минимальное в аналогичном смысле условие слабой зависимости, при котором имеет место локальная предельная теорема. Через рп(х) будем обозначать плотность распределения величины

Теорема 2. Для того, чтобы к стационарной последовательности {£„} была применима локальная предельная теорема и {сгп} была правильно меняющейся последовательностью порядка 1/2 необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (ЯЬ), последовательность {сг“252п} была равномерно интегрируемой и при некотором натуральном п0 выполнялось

вир 8иррга(ж) < ОО.

П>По X

Докажем сначала некоторые вспомогательные утверждения.

Обозначим </?Чп и щ характеристические функции величин цп и £ соответственно.

Лемма 1 .а) Из —>■ £ следует А £;

b) из ~ г]п следует £„ ~ цп;

c) если £п £ и последовательность {</?£„} равномерно интегрируема, то

(И

£п £'

й) если ~ Цп и последовательности и равномерно интегри-

А Л

руемы, то ~ цп

\п>

е) пусть £п Д плотность р$(х) равномерно непрерывна на R и ап —У а 0. Тогда ап—у а^

[) пусть £п Д £, и г]п независимы при п = 1,2,..., плотность р$(х)

равномерно непрерывна на R и г]п А 0. Тогда А £;

g) пусть £п А £, г]п —у г/, и т)п независимы при п = 1,2,... Тогда

in + 'Цп ^ i + '11-

Доказательство. Утверждения а) и Ь) следуют из теоремы Шеффе [3, с. 306], утверждение с) — из соотношения

ОС

sup \psn{x) -Ps{x)\ \пЛ't) - <Ps(t)I dt

—oc

и теоремы о предельном переходе под знаком интеграла ( [3, с. 51], там же доказывается и суммируемость в условиях леммы).

Утверждение d) доказывается аналогично с).

Докажем е). Из суммируемости и равномерной непрерывности на Е плотности р%(х) следует р%(х) —> 0, х —> оо. Действительно, если бы существовала последовательность хп —> оо такая, что р^{хп) —> с > 0, то в силу равномерной непрерывности существовало бы 5 > 0 такое, что р$(х) > с/2, \х — хп\ < 5, п= 1,2,... , что противоречит суммируемости р$(х). Плотность р$(х) ограничена (как непрерывная и стремящаяся к нулю на бесконечности), что вместе с (1) дает нам существование С > 0 и натурального щ таких, что sup supp?n(x) < С.

П>По X

Далее, пусть N > 0 таково, что р$(х) < е, \х\ > N. В силу равномерной непрерывности р£ существует 5 > 0 такое, что \р^(х(1 + 51)) — р^(х)\ < е, \х\ < N,

51 < 5. Отсюда следует, что если 5п —> 0, п —> оо, то

sup |р§(ж(1 + 8п)) — р§(ж)| —> 0, п —> оо. (3)

X

Далее, плотность величины а£ равна а~1р^{а~1х). Имеем

sup |o,~lp^rXanlx) — а~1р^(а~1х) | < \а~1 — a~l | suppgn(a“1x) +

X X

+а~1 sup |р^п{а~1х) — р^{а~1х)\ + а~1 sup \р^{а~1х) — р^{а~1х) | .

X X

Первое и второе слагаемое в правой части последнего соотношения стремятся к нулю по условию, а третье — в силу (3).

Доказательство f). Пусть Fn — функция распределения цп, а * обозначает свёртку. Тогда

< sup

\ptn(x - у) - pdx ~ у)) dFn(y)

sup / \pt(x-y)-pz(x)\dFn(y) +

X J

\y\<&

+ sup / \pz(x-y) -Pz(x)\ dFn(y) < sup Ip?n (x) - Pz(x)| +

X J X

\y\>s

+ sup sup IPz(x - y) - Pz(x)I + 2CF{\r]n\ > £}.

x |у|<г

Первое слагаемое в правой части стремится к нулю по условию, второе можно сделать сколь угодно малым выбором 8 в силу равномерной непрерывности р$(х), а третье стремится к нулю в силу того, что сходимость к константе по распределению и сходимость по вероятности совпадают.

Утверждение g) следует из легко выводимого соотношения

sup I (p?n *pVn) (ж) -Pt{x) *pv(x) I <

X

< sup \pz„ (ж) - Pe(x) I + sup IpVn (ж) - pv(x) I .

Доказательство теоремы 2

Необходимость. Пусть для последовательности {£„} выполнена локальная предельная теорема, а {ип} — правильно меняющаяся последовательность порядка 1/2. Тогда очевидно, что существует натуральное щ такое, что вир вирРп{х) < оо. Далее, в силу леммы 1а) имеет место центральная предель-

П>По X

ная теорема, и из теоремы 1 следует, что последовательность {сг“25^} равномерно интегрируема. Осталось показать справедливость условия (1^Ь). Плотность распределения величины сг~13к обозначим Рк,п{х), тогда рп(х) = рп,п{х).

Пусть т = т(п) — последовательность натуральных чисел. Обозначим

А„ = вир |рп+т(х) ~ (рп ,п-\-т * Рт,п-\-т) (з?) | • х

Условие (1^Ь) означает, что Ап —> 0, п —> оо при любой последовательности т = т(п).

Поскольку <т2 — правильно меняющаяся последовательность порядка 1, то в силу леммы 1 из [1]

®п-\-т ~ ^п ^т1 ^ (^)

так что для любой последовательности натуральных чисел {щ} существуют

О < с < 1 и подпоследовательность {п2} С {^1} такая, что

ап2+т2ап2 С’ ап2+т2ат2 1 ~ С’ П ^ ОО,

где т2 = т(п2). Если с = 0 (с = 1), то при п —> оо

®'п2+т2^п2 ^ 0 (о’п2+ГП2^’т2 ^ ^))

и в силу утверждений е) и ^ леммы 1 (скажем, при с = О)

Зп2 . ^1П2 Л й'тл <И , /•,„ Л \

1 ■ ->• N (0,1), п ->• оо.

^П2 +^2 ^П2 +Ш2 ®ГП2

Так как и ^га2+т'2 Д Л/"(0,1), п —> оо, то А(тг2) —>■ 0, п —> оо. Если же 0 < с < 1, то в силу утверждений е) и g) леммы 1

гг гг

иП 2 ^7712

Д л/сЛ/^О,1) + v/Г^^'(0,1) = ЛГ(0,1),

^722+^2 ^722+^2

то есть снова А(тг2) —>■ 0, гг —> оо.

Таким образом, доказано, что из любой последовательности {А(гг1)} можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к нулю. Это означает, что А (гг) —> 0, гг —> оо, то есть выполнено условие (1^Ь). Достаточность.

Пусть выполнено условие (1£Ь), последовательность {<т“25!^} равномерно интегрируема и при некотором натуральном п0 вир вирргДж) < С < оо. В силу

П>По X

леммы 1Ь) из условия (1^Ь) следует условие (Я), так что из теоремы 1 имеем, что (т~18п Д Л/”(0,1) и последовательность {сгп} является правильно меняющейся с показателем 1/2.

Пусть п = 2кт + /, 0 < I < 2т, где к = к{п) —> оо столь медленно, что из условия (КЬ) следует

(II 3т1 Зтк 5*1 1 ^ <1 п 1 п <1 п /гч

— ~---------Ь...н-------1-------, Ьтл = Ьт, ] = 1,..., к, Ыук+1 = Ы. (5)

Так как 1/п < 2/к —> 0, гг —> оо, то из того, что {ап} является правильно меняющейся последовательностью порядка 1, нетрудно вывести (например, с

помощью теоремы Карамата), что —>• 0, следовательно Д 0, так

что из (5) и утверждения Ь) леммы 1 получаем

1 , , (I 8П (I .. .

Г]п = —- + ... н----- ~---------)• Л/(0,1), гг —> оо.

(7'п @п

Если мы покажем, что

Ит вир [ 1^001^ = 0, (6)

М^оо п>по и Щ>М

где <Рг)П(Ь) характеристическая функция величины г]п, то из леммы 1 с) будет следовать, что г]п Д Л/"(0,1), и из (5) и леммы 1 ^ получим

— 1 ^1 I (11 к г {с\ 1 \

°п Зп ~ 'Пп Н ^ *А/ (0,1), гг —> оо,

&п.

то есть имеет место локальная предельная теорема.

Будем доказывать (6). Обозначим через £ = £ — £ — «симметризованную» величину £. При т > щ плотность рт величины о^Зт ограничена константой С, следовательно, и 8\іррт(х) < С, где рт{х) — плотность распределения

величины от Sm. В этом случае

ОС

[ \ipm(t)\2dt < 6С

ОС

2 — I ™^du = Cl,

и2

(7)

где (pm(t) - характеристическая функция величины [6, с. 247]. Далее,

1 — cos ж > ~^х‘2 ПРИ М < 1) так чт0

1 -

От ,

(Рт ( t

Оп

11 t2

Е ( 1 - COS (tCT^Sm) ) > \ $т> №т\ < °г

где Е{£,А} = /£P(gL;). Вместе с последовательностью {om2S^} равномерно

А

интегрируемой является последовательность так что существуете > 0

такое, что Е{5^, (б'т) > £~1от} < о2т!2 при всех натуральных т. Тогда если

Щ > ЕОпО^, ТО

1 -

'■Рт ( t On

И 2 /

> ігє = є'. - 48

(В)

Если к = к(п) —> оо достаточно медленно, то из (4) и определения правильного изменения порядка 1 следует <т2 ~ о%кт ~ 2ксг^, так что с помощью (7) и (8) получаем

\(pVn(t)\dt

т [ t O' п

2 к

dt <

\t\>eanari

< (1 - в')

l\k-1

4>r

О n

—t

0"n

dt < C'{ 1 - e')k~l(jn(j7l

~ С"(1 - £')к~1^2к ->• 0, оо.

Отсюда уже следует (6), поскольку здесь к = к{п) может быть выбрано растущей сколь угодно медленно. Теорема доказана.

Литература

1. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей // Теория вероятностей и ее применения. 2002. т. 47. № 3. С. 554-558.

2. Лоэв М. Теория вероятностей. М. : ИЛ, 1962. 719 с.

3. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М. : Наука, 1977. 351 с.

4. Сенета Е. Правильно меняющиеся функции. М. : Наука, 1985. 141 с.

5. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М. : Наука, 1965. 524 с.

6. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М. : Наука, 1969. 400 с.

7. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т.2. М. : Мир, 1984. 751 с.