CC BY
45
Математические структуры и моделирование 2007, вып. 17, с. 13-18
УДК 519.214.5
О МИНИМАЛЬНОМ УСЛОВИИ СЛАБОЙ ЗАВИСИМОСТИ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ ЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
А.Г. Гринь
In this article is obtained a minimal in a certain sense conditions of weakly dependence, which make it possible to prove a central limit theorem for sums of dependent random variables.
Пусть {£п}- последовательность случайных величин. Будем писать £ = п,
i= d d
£п п и £п ~ Пп в случаях, когда, соответственно, распределения £ и п совпада-
ют, {£п} сходится к п по распределению и когда последовательности {£п} и {цп} слабо эквивалентны (см.,например, [1, § 28.1]). Через £i, ...,£п будем обозначать независимые случайные величины, такие, что £k = £k ,k = 1,2,...,n. Слабая эквивалентность равносильна поточечной сходимости разности характеристических функций величин {£п} и {пп} к нулю при n ^ ж [1, с. 393]. Введем еще
п п
некоторые обозначения. Пусть Sm ,п = X £j, Sт% = у £j+k, Бп = Si^, S+k =
j=m j=m
Б+п^, а если Е£п < ж, n =1, 2,..., то обозначим о\ п = DSk,п, {&т%)2 = DS^^, о2п = DS^ (o+k)2 = DS+k. Через N(0,1) обозначим случайную величину, име-
ющую стандартное нормальное распределение. Если
Sn - ESn d
О п
N(0,1), n ^ ж,
то будем говорить, что к последовательности {£п} применима центральная предельная теорема, а если при любой последовательности натуральных чисел k = k(n)
Sjk - ES+k~ °+k
N(0,1), n ^ ж,
то к последовательности {£п} применима однородная центральная предельная теорема.
Предельные теоремы для сумм зависимых случайных величин, как правило, доказываются с определенными заранее условиями слабой зависимости (регулярности), такими, как условия сильного перемешивания, равномерно сильного
Copyright © 2007 А.Г. Гринь. Омский государственный университет. E-mail: grin@math.omsu.omskreg.ru
перемешивания, полной регулярности (р-перемешивания) и т. п. (см., например, [2]). В связи с этим возникает вопрос - насколько выполнение той или иной теоремы обусловлено данным условием регулярности, возможно ли (и в каких границах) ослабление этого условия?
В работе [3] доказан следующий результат.
Теорема 1. Пусть {^n,n = 1,2,...} - стационарная последовательность и пусть ЕЄП < ж, Щп = о, n = 1, 2,... Для того чтобы к последовательности {£п} была применима центральная предельная теорема и о2п являлась правильно меняющейся последовательностью порядка 1, необходимо и достаточно, чтобы при любой последовательности натуральных чисел m = m(n) и при любом действительном t выполнялось условие
Sn+m d Sn
+
Sm
n
СО
an+m an+m an+m
и последовательность {a-2Sn} была равномерно интегрируема.
(R)
Эту теорему можно интерпретировать так: условие (R) является минимальным условием слабой зависимости, при котором справедлива центральная предельная теорема для стационарных последовательностей с правильно меняющейся порядка 1 дисперсией.
В настоящей работе этот результат обобщается на произвольные последовательности случайных величин с конечными вторыми моментами.
Так же, как в предельных теоремах для независимых случайных величин, мы ограничимся только последовательностями, удовлетворяющими условию равномерной предельной малости: при любом є > 0 и при любой последовательности натуральных чисел k = k(n)
lim sup P{|<5| > єа+к} = 0. (UN)
n^<x k<l<n+k
Следующее условие является обобщением условия (R) на нестационарные последовательности: при любом действительном t и при любых последовательностях натуральных чисел m = m(n) и k = k(n)
S+k
Sn+m
a+k
n+m
S+k + S
+(k+n)
m
a+k
n+ m
a+k
n+ m
n
.
(RL)
В соответствии с определением слабой эквивалентности условие (RL) можно записать так:
Д(п)
E exp
it
S+k Sn+ m
a
+k
n+m
E exp
S+k
it п
a+k
n+m
E exp
it
S +(k+n)
Sm
a
+k
n+m
0,
при n ^ ж и любом t Є R. Введем еще аналог правильного изменения дисперсии сумм (см. [3, лемма 1]): при любых последовательностях натуральных чисел m = m(n) и k = k(n)
(a++km)2 ~ (a+k)2 + (УР'+’Р2,
n
.
(RD)
14
Теорема 2. Пусть {£n, n = 1, 2,...} - последовательность случайных величин, удовлетворяющая условию (UNj, и пусть E£n = 0, Е£П < ж, n = 1, 2,... Для того чтобы к последовательности {£„} была применима однородная центральная предельная теорема и an удовлетворяла условию (RD), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие (RL) и при любой последовательности
натуральных чисел k = k(n) последовательность интегрируема.
S+к
а.
+к
была равномерно
Доказательство.
Необходимость. Пусть к последовательности {£п} применима однородная центральная предельная теорема, то есть при любом t Є R и любой последовательности натуральных чисел k = k(n)
Е exp<
t2
exP1 - n
oo
и an удовлетворет условию (RD). Тогда
S+к Sn
а+к
п
d \f2
N2 (0,1),
S+к S
а+
+к —
0, Е
S+к Sn
а+к
wn
EN2(0,1) = 1,
сравномерная интегрируемость последовательности
откуда следует
' S+к \ 2
) ,n =1, 2,... ^ (см., например, [4, теорема 5.4]) а+к J
Пусть t Є R и m = m(n), k = k(n). Так как а^ удовлетворет условию (RD), то для любой последовательности натуральных чисел {ni} существуют 0 < c < 1 и подпоследовательность {n2} С {n1}, такая, что
а
+к2
П2
а+к2 un2+m2
+ (к2+П2)\ 2 а m2
а+к2 un2+m2
1
1 c, n
,
где k2 = k(n2), m2 = m(n2). Если c =0 (c = 1), то при n — ж
(а+к2 A_1 S+к2 . 0 ( (а+к2 ^_1 Q +(k2+n2) . 0^\
\un2 +тЩ Sn2 — 0 y\un2+m^ sm2 — 0J
по вероятности, следовательно, A(n2) — 0, n — ж. Если же 0 < c < 1, то в силу (1)
Е exp < it
S+к2 Sn2+m2
а+к2 и n2 +m2
exP
t2
exP
Є?
' 2
exP
(1 - c)t2
Е exP it
s+к
n2
а+к2
un2+m2
Е exP it
S + (к2 +n2 ) Sm2
а+к2
un2+m2
n
ж, то есть снова A(n2) — 0, n — ж.
2
2
2
2
2
c
2
15
Мы доказали, что из любой последовательности {Д(пі}} можно выделить сходящуюся к нулю подпоследовательность. Это означает, что Д(п) ^ 0, п ^ ж, то есть выполнено условие (RL).
Достаточность. Пусть выполнено условие (RL) и при любой последова-
тельности натуральных чисел к = k(n) последовательность
S+к
а
+к
равно-
мерно интегрируема. В силу известной теоремы Прохорова (см.,например, [4])
\ s+М .
последовательность < —— > является относительно компактной, так что из лю-
ІОГ J
бой последовательности натуральных чисел можно выбрать подпоследовательность {п1},п1 = п1(п), такую, что
S+k
П1
а+кі
Я,
s +(кі+пі) smi
+ (кі+пі) а ті
s+кі
d snl+ml d у.
^ п, —і------► С п ^ж,
апі+ті
где k1 = к(п1), m1 = т(п1), а Я, П и Z- случайные величины. При этом посколь-
' S+к \ 2 '
ку последовательность ^ ^ равномерно интегрируема, то
а
' S+кі
EC2 = lim E1 пі
а+кі
аПі
Еп2 = 1, EZ2 = 1
[4, теорема 5.4]. Далее, из ограниченных последовательностей
+кі
пі
+кі
ті
Опі = . , впі = . ті
Мо+к )2 + (а,+.ікі+піу Мо+і )2 + (атікі+пі))
выберем подпоследовательности {ап2} и {вп2}, такие, что
Оп2 ^ О, вп2 ^ в, п ^ Ж, О? + в2 = 1.
Тогда при п ^ ж
С+к2 і С+(к2+п2)
°п2 + sm2
)2 + [ст}22+2)‘
п+(к2+п2) sm2 d
Б+к2
ап20^ + вп^+к^ А «Є + вЯ
п2
ат
Понятно, что аЯ + вЯ имеет невырожденное распределение. Далее, в силу соотношений (RL) и (2)
Я+к2 I Я+(к2 +п2)
°п„ + sm2
п2
а+к2 п2 +т2
С, п ^ ж,
(6)
где Z имеет невырожденное распределение. По теореме о сходимости типов [1, с.216] из (5) и (6) вытекает
а+к2 п2 +т2
\j (а+22 )2 + (от^У
C, 0 < C < ж.
2
2
п
2
16
Отсюда следует, что вместе с последовательностями
равномерно интегрируемой является последовательность и из (6) получаем теперь
КУ )2 + )2
S+(k-+n-) \ 2
Sm-
+(k-+n-) a m-
S+k2 і c+(k-+n-) \ 2 Sn- + Sm- t
a+k-
un-+m-
5
n2
a+k- ) 2
° n- +m-,
E( = 1, n —— ж.
Таким образом, мы показали, что для всякой последовательности натуральных чисел найдется подпоследовательность {n2}, такая, что 5n- — 1, n — ж. Это означает, что 5n — 1, n — ж, то есть выполнено (RD).
Пусть Ok-п удовлетворяет условию (RD) и выполнено условие (RL). Если к < l < n + к, то в силу условия (UN) [a+^j 1 Сі — 0 по вероятности, а из условия (RD) следует, что
Е£?
ЕС?
1,
(a+k )2 W-if + Eil + (a+ki<n)2
так что последовательность | {a+^j 2 £г2| равномерно интегрируема, следовательно,
Ю _ 2 ЕС2 — 0, n — ж. (7)
Пусть jo = к + 1, jr = min{l > jr_i : aj^ > m_1 (a+k)2}, r =1, 2, ...,m. Тогда если m = m(n) — ж растет достаточно медленно, то в силу (7)
a
Зт-1,3
т a m 1 (a+k)2, r = 1,2,--,m-
Имеем
Зт
S+k = J2Xr, Xr = Y, З■ r = 1,...,m.
r=1 З=Зт-1+1
В силу условия (RL) если m = m(n) растет достаточно медленно, то
m
(a+^-1 S+k a (a+k)_^2 Xr
Так как
n.
r=1
edX=z a
_2 _+k
a ■ a
Зт-1 ,Зт n 5
r=1
r=1
то для того, чтобы
a
+k )-1
^J^r — N(0,1)
:ю)
r=1
2
17
18
(то есть чтобы к последовательности серий независимых случайных величин | {а+к) 1 Xr,r = 1, ...,m, n =1,2,...I была применима центральная предельная теорема), достаточно, чтобы выполнялось условие Линдеберга: при любом є > 0
Ln(e)
1 ПІ
—72 У E{X,2, \Xr| > ea+k} Д 0, n д ж.
\®n ) r=1
По условию при каждом r = 1, ...,m последовательность величин | (&jr_1 j^j - X^|
равномернс интегрируема, так что в силу (8) при любом 1 < r < m и любом є > 0 имеем
а
jr-1 ,jr
-E {Xr,\Xr \ > еаП”} ~ -mE{X,2, IXr| > ea+k} д 0
(an 7
так что при достаточно медленно растущих m = m(n)
Ln(e) < max
m
1<f<m (а+к)
2E{X2r) \Xr\ > ea+k} д 0, n дж,
и из (9) и (10) следует теперь (а+к) 1 S+k Д N (0,1), n
Теорема доказана.
.
1
2
ЛИТЕРАТУРА
1. Лоэв М. Теория вероятностей. М.: ИЛ, 1962. 719 с.
2. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.
3. Гринь А.Г. О минимальном условии слабой зависимости в центральной предельной теореме для стационарных последовательностей // Теория вероятн. и ее примен. 2002. T.47, N.3. C.554-558.
4. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М: Наука, 1977. 351 с.
