CC BY
19
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ________________________________2008, том 51, №12___________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Г.А.Юсупов
О ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
40,2 л]
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 14.11.2008 г.)
1. Обозначим через £2 := £2[0,2л] пространство 2л -периодических действительных функций /(х), суммируемых с квадратом в смысле Лебега с конечной нормой
Ґ'2* 2
1 2 Л
- j |f (Х)Г dx
\Л о У
< да.
Пусть Зи ч - подпространство всевозможных тригонометрических полиномов порядка < п -1. Известно, что для произвольной функции /(х) е Ь2, имеющей формальное разложение в ряд Фурье
а да
f (x) —0 + ^(а coskx + bk sinkx),
2 k=1
величина ее наилучшего приближения в метрике Ь2 подпространством Зи-1 равна
En(f) =inf ||f -Tj: Tn--(x) є 3n_, I =
=1 f - S.-,(f )||=Ep
1/2
2I 'k
k=
где
а п 1
^(/;х) = -г+Е (акСте кх+ьк ^ кх)
2 к=1
2
- частная сумма порядка п -1 ряда Фурье функции /(х), а рк = ак + Ьк. Через С2(г = 0,1,к,...; 10 = £2) обозначим множество функций /(х)еЬ2, у которых производные (г -1) -го порядка абсолютно непрерывны, а /(г)(х) е е £2. Символом Ат (/; к) обозначим норму разности т -го порядка функции /(х) е Ь2 с шагом к
Am (f; h) =
2n
n і
m
Z (-І)к , f(x + kh)
к=О
v к J
dx
1/2
и равенством
def
®rn{f;t) = sup{ли{f;h) :| h |< r}
определим модуль непрерывности m -го порядка функции f {x) е L2.
В работе рассматривается экстремальная аппроксимационная характеристика вида
2mnrEn {f)
X,
n,r,m, p,/,P
(h)= sup
f(r)(t)^constf (t)є^2 ' h
j<(f (r), t )2sln/jP tdt
\i/p’
(l)
где и, г, да є М, 0 <у< гр -1, г > 1,0 < р < 2,0 < (3<я, 0 < к < гіп.
Отметим, что величины вида (1) при различных указанных значениях параметров изучались в работах [1-13]. Имеет место следующая
Теорема 1. Для произвольных т, п, г є М,1/г < р < 2, г > 1, 0 <у< гр-1,
0 < Р <ж, 0 < к < ж/п справедливо равенство
X
n,r ,m, p,y,P
(h) = \jf sln Пj slnyP tdt J
-i /p
(2)
Существует функция /0 (х) е П2, для которой достигается верхняя грань в (1), реализующая равенство (2).
Доказательство. Воспользуемся неравенством ([14], стр.32)
p/2 Y/p (
llZlf(і)|2 dt > Zj/lf,(і)lpdt
\ 2/p j
1/ 2
, О < p < 2
и, имея ввиду, что для произвольной /(х) е Е2 имеет место соотношение
а'
;(f (r);t )2 = 2" sup \ Z к 2г р\ (1 - cos ки )m :| u |< t\,
к=1
получаем
V/p (h
p/2
j" G),m (f(r); t )2sln7 P tdt > J \ 2m £ к2r pp (1 - cos кі )m| sln^^tdt
y/p
h
>
2m Z к2r pi (i - cos kt)mj^slny P tJ ^ dt
\2yp
p/ 2 V/p
О I k=n
>
> 2'
m/2
Z\ krppp j (i - cos kt)mp/2 • slny-Ptdt
2 / p\
1/2
= 2
Z P* j krp J (1— cos kt )mp/2 • siny — tdt >
k=n [ 0 h J
4
Докажем, что функция натурального аргумента
p(k) = krp j (i - cos kt)mp/2 • slny tdt
h
о
в области Q = {k: n < k < +да} наименьшее значение принимает при k = n и
^mp/ 2
min{p{k) : к е Q} = (p{n) = nrp J (1 - cos nt)mp/2 • siny — tdt.
о h
В самом деле, при указанных p, r, —, 7, h имеем
p' (k) = krp~ 1{h slny Ph(i - cos kh)mp/ 2 + j (i - cos kt )mp/2 slny ^ x
• P
sln t o
(2p - i)^5h—у cos Tt P t h
h
dt} > О,
(3)
поскольку выражение в квадратных скобках в силу условий теоремы на у{0 < у < rp — 1) и неравенства
• —
sin-1 д
^-cos — > 0,0 < — <ж, 0 < t < h
— h
t
h
положительное. Поэтому, продолжая неравенство (3), имеем
>
( h о- J1p Г да J1/2
2m/2nr j j(i - cos nt^^sl^—dt |]Zp2| :
Ik =n
h
О
x
h /■ ,\mP д. Л1/?
2mnr | I f sin у J sinr—-dt
E (f ),
откуда получаем
2mnrEn (f )
I (f(r);t )sinr —tdt
\1/p
<
—
h
N-1 /Р
(4)
или что то же
X,
n,r,m, p,y,—
h f t\mP R ^ 1 ^
(h) <||| sin ”^J • sinr— tdt
Чтобы установить равенство (2), достаточно рассмотреть функцию f (x) = = cos nx e L2, воспользоваться определением (1) величины Xnrmpy/?(h), а также легко проверяемыми соотношениями
[\ m
sinnJ ,0 <nt <n'
Теорема 1 доказана.
2. Напомним необходимые понятия и определения, которые будем использовать в дальнейшем.
Пусть S - единичный шар в L2; M - выпуклое центрально-симметричное подмножество из L : Л„ с L - n -мерное подпространство; Ли с L2 - подпространство коразмерности n; ^ : L ^ Л - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства L в Л; ^ : L ^ Л - непрерывный оператор линейного проектирования пространства L2 на подпространство Ли. Величины
bn (M, L2) = sup {sup {s > 0; sS о Ln+1 с M}: Лn+1 с L2},
dn (M, L2 2 = inf {sUP [inf {IIf - { : g G Лn } : f e M} : Лn C L2 2 ,
3, (M^, 4 ) = inf {inf {P {||f-if\\ : f e f} : ^{2 C Л” } : Л” C }2 2 ,
dn (M, L) = inf {up III f|| :/ eM пЛи[:Ли с {},
Лп (М, L2) = inf jinf jsup {|| / - Г1 /Ц: / e Ш1}: j сЛв}: Ли c= }
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским, проекционным п -поперечниками. В связи с тем, что Ц является гильбертовым пространством, справедливы следующие соотношения между перечисленными п -поперечниками (см. например, [14,15]):
bn (M,L) < dn (M,Ь2) < dn(M, L2) = Jn (ML2) = ^(M L2). (5)
Пусть Ф(и) - произвольная непрерывная возрастающая при u > 0 функция такая, что Ф(0) = 0. Через W„p := W' (Р,у,Ф) обозначим класс функций f (x) e Ц, которые для любых m, n, r e N,1/r < p < 2, r > 1, 0 <y< rp -1, 0 <fi<n, и 0 < h < я/n удовлетворяют ограничению
N 1/p
j<(f (r);t )2sin/— tdt <Ф(h).
Вычислим вышеуказанные n -поперечники при некоторых ограничениях на мажоранту Ф (u). Введем обозначение
(sin tX = {sin t, еслиО < t < Л2; 1, если? > Л2}.
Теорема 2. Если для любого заданного О <Л< І и для всех и> О, О < —, u <л, І/r < p < 2, r > І, О < у < rp - І, функция Ф^) удовлетворяет условию
И' mp Л' mp
Фp(Am) jf sin VJ siny—V—dv <Фp(иu) jf sin VJ siny ~—~dv, (б)
то и с любым натуральным n справедливы равенства
'ЛЛ- n \Vp
P-(W,:,p(Ф), L2) = Р2--І (W,;,p(Ф), L2) = 2-m--rI j sinmp-siny tdt
ФІ—
n
где рк (•) - любой из поперечников: колмогоровский ^ (•), бернштейновский Ьк (•), линейный 5к (•), гельфандовский йк (•), проекционный щ (•). Множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (6), не пусто.
Доказательство. Оценка сверху для проекционного п -поперечника с учетом определения класса '^Гр (Ф) получим из неравенства (4):
Щп-, I К,, (Ф), 4 ] < ^^^{£п ГГ): I £ К,, (Ф)}
<
Ял/п
< 2-тп г I Г ътпр— Бт7 пР -Л
I J 9 ;тт
4-1/,
Ял
Ф
Ял
п
(7)
С целью получения оценки снизу бернштейновского п -поперечника класса Шгтр (Ф) вводим в рассмотрение (2п +1) -мерную сферу полиномов
Ял/п
^„, ЧТ(х):||Т„| = 2-п • п~гI / б!пт,п-в1п'М
\-1/,
Ял
Ф
Ял
п
и докажем, что <г2 п+1 е р (Ф).
В работе [5] доказано, что для произвольного полинома Т(х) ест2я+1 имеет место неравенство
Т'),-)2 < 2тпг(з1п п. |. Д2.
п1
2
(8)
г Р-
Неравенство (8) возведем в степень р(1/г < р < 2, г > 1), умножим на б1пг — и проин-
/ип
тегрируем в пределах 0 < I < ип, затем полагая переменной п1 = V в правой части, заменяя норму полинома по формуле радиуса сферы <т2и+1
ип Яt
/<(Т,(г);I)пп’£-Л <
Ф,(Ял) Г п *
ип
Ял/п
Ял и ( . пIЛпр . г р- .
Б1П— | Бт7 — а-
2 ип
. пIЛпр . 7 пр ,
Б1п— Бт7 — -а-
2 ) Ял
ф р (—) Г
п ^
<-------п----0.
Ял /
ипи / \пр п
1 . V ] рУ
Бт— Бт7--------ау
ипп
Г I б1пу ] ъ1п7р^с1у
2) Ял
Вводя обозначение п = л/п и используя условие (6) теоремы, приходим к неравенству
ил / \пр
- 1 V
Фр (Яп) Г ( б1п у ] б1п7
ип
Г < пТг'; Оап —с-
<-
ил
ип
<Ф р (ип),
Ял
0
0
0
откуда следует включение <х2и+1 ^ ^Гр(Ф). По известной теореме В.М.Тихомирова [14] для бернштейновского п -поперечника имеем оценку снизу
b2n-1 I Wmr, p (Ф), L2 > b2n-1 (^2n+1, L2 ) =
= 2-mn rI j sinmp —siny -— tdt ФІ—J. (9)
О 2 Лл j
Сопоставляя неравенства (7) и (9), с учетом (5) получим утверждение теоремы 2.
Ниже мы проанализируем условия теоремы 2, полагая ради простоты у = 0, и выясним значения а, при которых функция Ф(п) = па удовлетворяет ограничению (6). С этой целью запишем неравенство (6) в эквивалентной форме
цл/ \тр Г Ял / \тр Л -1 / \ ар
81пV I ) П-- у I А иЛ
О
2lНИsin2j А'f ПІ,
где и> 0,1/г < р < 2, г > 1, п е N.
Из теоремы 2 вытекает
Следствие 2. Для любых п, п е N, г е ^ и для любого Я, 0 < Я < 1
Лл ' 1
* \ ЛЛ
a=a(m,р,Л) = A,Trslnmp [^“jjР{ sinmpVdv\ , где, в частности
a(m,p,1) = 2*/л-Г^mP + 1^Г-1 [mp+1 jj,1/r < p < 2,r > 1, справедливы равенства
Pm [W(r,m,p,ua),Ц j = p2n-1 (W(r,m,p,ua),Ц) = a1 (Av)a-p^2sin^j nra+p; где pk (•) - любой из вышеперечисленных поперечников.
Таджикский национальный университет Поступило 28.07.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. - Матем. заметки, 1967, т.2, 5, с.513-522.
2. Черных Н.И. - Тр. МИАН, 1967, т.88, с.71-74.
3. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1976, т.20, 3, с.433-438.
4. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1977, т.22, 4, с.535-542.
5. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1979, т.25, 2, с.217-223.
6. Лигун А.А. - Матем. заметки, 1978, т.24, 6, с.785-792.
7. Шалаев В.В. - Укр.матем.журнал, 1991, т.43, 1, с.125-129.
8. Есмаганбетов М.Г. - Матем. заметки, 1999, т.65, 6 с.816 - 820.
9. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2001, т.70, 3, с.334-345.
10. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2005, т.78, 5, с.792-796.
11. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2006, т.80, 1, с.11-18.
12. Вакарчук С.Б., Щитов А.Н. - Укр.мат.журнал,2004,т.56,11,с.1458-1466.
13. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - ДАН РТ, 2006, т.49, 2, с.111-115.
14. В.М.Тихомиров, "Некоторые вопросы теории приближений", МГУ, М., 1976.
15. A.Pinkus, " n-Widths in Approximation Theory", Berlin: Springer-Verlag, 1985.
Г.А.Юсупов
ДАР БОРАИ ЦИМАТИ ^АНИЦИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ ДИФФЕРЕНСИРОНИДАШАВАНДАИ ДАВРЙ ДАР ФАЗОИ
LJ0, 2р]
Дар макола як навъи характеристикаи наздикшавии экстремалй ёфта шуда, дар асоси он дар фазои Ц [0,2п] кимати х,аник;и баъзе к;утрх,ои синфи функсиях,ои дифферен-сиронидашавандаи даврй х,исоб карда шудааст.
G.A.Yusupov
THE WIDTHS OF SOME CLASSES DIFFERENTIABLE OF PERIODICAL FUNCTIONS IN THE SPACE OF Ц [0, 2ж]
In article was found a new extremally approximation characteristic, and according to this characteristic in the space of Ц [0,2n] was gaved the exact value of widths of differentiable periodical functions.
