CC BY
25
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________2009, том 52, №10______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Г.А.Юсупов ТОЧНЫЕ КОНСТАНТЫ В НЕРАВЕНСТВАХ ТИПА ДЖЕКСОНА И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ ИЗ ¿2 [0,2 л]
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 12.05.2009)
1. Пусть 4 = 4[0,2л] - пространство суммируемых с квадратом 2л -периодических действительных функций с конечной нормой
¿2 [0,2л]
^ 1 2л ^
- \\/ (х)\2 &
гг •)
4 := 4 [0,2 л] (г = 0,1,2, 42= Ь2) - множество всех функций / (х), у которых (г-1) -я
производная /(г-1)(х) абсолютно непрерывна и /(г)(х) є Ь2.
Модуль непрерывности т -го порядка функции /(х) є Ь2 определим равенством
о„(/;і)2=зир{Д/ф|А|< і},
где
т ( т ^
дт/(х)=£(->) /(*+>*)
- разность т -го порядка функции /(х) с шагом к.
Если £и_ 1 (/; х) - частная сумма порядка п -1 ряда Фурье функции /(х),
/(х) ~ ТТ + Тр С08(кх + (Рк X
2 к=1
а п-1
3п-1(/, х) = + ТРк С08(кх+ (рк),
к=1
то
Е(/\ :=М{I/-Г,_Х:.Гп-,(х)є 3„-,}
1/2
=іі/ - з/.--¡Та!- .
^к=п
где ЗиЧ - подпространства тригонометрических полиномов порядка п -1.
2
Среди экстремальных задач теории приближения наиболее важной является задача вычисления точных констант в неравенствах типа Джексона
ЕпИП П пгат (/г ),т/n)2, / е П2, г е N. т >0.
Эту задачу на различных классах функций /(х) е П2 в разное время исследовали
Н.И.Черных [1,2], Л.В.Тайков [3-5], В.А.Юдин [6], В.И.Иванов [7], С.Б.Вакарчук [8-12], М.Ш.Шабозов и Г.А.Юсупов [13] и др.
В частности, Л.В.Тайков в работе [5] показал, что для любых т,п, г е N и любого t е (0, Лп] имеет место равенство
sup =_____________1____________
p It v/2 f t v/2'
/Є 2 ' 4<f(r), u )2
f+colst I \®2m(f(r),u)2du 2m |(1 - cosu)mdu
0
V о
При решении экстремальных задач теории приближения вместо обычного модуля непрерывности т -го порядка функции / є Ь2 можно использовать следующую характеристику гладкости
, 1/2
п.(/.о=і-ті''їк/оіи-щ , і>о (1)
[1 0 0 ]
где ь = (А1,—,¿т),Ат; = А1, о...0д1, (см., напр., [9,10]).
п 1 т
Отметим, что впервые при изучении некоторых вопросов приближения линейных полиномиальных операторов в пространстве Ь ,0 < Р <1, К.В.Руновским [14] использована характеристика вида (1).
В работе [9] С.Б.Вакарчук доказал, что при любых п, т є К, г є Ж+ и произвольной і є (0, ж/2\ справедливо равенство
sup lE-(f >2 = Wl-I d,\
„p Пт(/'rtin) IV t 11
f=const
і - m/2
4 m
Обобщение этого результата дано в работе [12], где доказано, что для произвольных п, т е N, г е Ж+ и t е (0, л/2] имеют место равенства
пг 4/2 Еп (/)2 _ 1
Sup А/ \ 1/2 s ч 1/2 •
f rr I tin \ f t Ґ \m \
f 2 I f nV/(r)
Jn2m(f<r);u)du 2m/11 -^ I du
В данной работе вводим в рассмотрение следующую экстремальную характеристику
Ктг Р,г (і)= їиР
пг-'!РЕ„ (/ \
і/п
/=соті
\ |пт (/(г); и^щ'пийи
где п, т, г є N,0 <у < гр — 1,1/г < р < 2 и і є (0,^\.
Теорема 1. Пусть т, п, г є N 0 <у< гр — 1, 1/г < р < 2 и і є (0,^\. Тогда справедливы равенства
К,т,Г,р (') = -к"2}( 1 —
БІЙ и
и
—1/р
БІЙ
иёи!
(2)
Доказательство. Используя формулы Эйлера, представим ряд Фурье функции /(х) е 42 в комплексной форме
1 2л
/(х) - ^е"*, с, = — Г /(хУ^Ох, к = 0, ±1, ±2,...
2л ^
к=—ад
Отсюда для произвольного /(х) є Ь получаем /(г)(х) - 2 Ок)'СкЄ,кх. (3)
к=—ад
Из (3) следует, что
т
дт/(х) -1 (* їСкЄ!к' — 1).
к=—ад
Так как функции (Є ь}, к = 0,±1,±2, ... образуют на [0,2^\ ортогональную систему, то, применяя равенство Парсеваля, запишем
ад т
(4)
К/(-4 = 2т 1к2 А П(1—С08 кк,).
к=1 ,=1
Подставляя (4) в формулу (1) и вычисляя интегралы, будем иметь
Г\2 Ґ Л г).*\ — пт^г 2г „ 2 (Л 81П ки\ 2г „ 2 ^ 81П ки
Пт С/ ; и) = 2 2к Рк\1----------¡^¡-\ - 2 2к Рк\1 —
к=1
к=п
ки
Далее, воспользуясь неравенством ([15], стр. 32)
|1Ё1/ (и) і
^ о V к=п
\ р/2 \1/р (
ёи
>
ад ( '
Я11 /к (и)іЧи
1/2
к=п V о
,0< р <2,
0
»/=1
т
получаем
І П т (/(г); и)їійупийи
\1/р
-
-
2 ” '2 |І ¡¿к!г Ак (1 ■
0 V к=п
БІЙ ки ки
Лр/2
гпиёи
1/р
-
2т'2І І( ¿¿к2'А (1-
I п \ к=п V
бій ки \ 2у
------------ БІЙ рпи
ки 1
1/р
1
ёи I -
( і ґ -і \тр/1
т/2 1^ . ~ „Г (, БІЙ ки
\2/р
, 1/2
1 —-
ки
> ( ' Ґ -7 \тр/1 '\2/р
2т/2|^Ак2 кргІ(1 — ^1Й-и1 в1йупиёи
к=п ^ 0 V
, 1/2
ки
(5)
Докажем теперь, что функция
' Ґ ■ \трП
у(х) = хгрІ( 1 — Б1Й Хи \ «тухиёи
хи
при всех х > п является монотонно возрастающей и
і Ґ ■ \тр/2
тій(у(х) : х - п} = у(п) = пгр [I 1 — Б1ЙПи \ $1Йупиёи.
о V пи 1
В самом деле, при указанных р, г, у, t имеем
і ґ • ч тр/2
(•(, БІЙ хи \
+1 \ 1-------------хи§1Йу 1хи
п V хи 1
,г—и
. БІЙ хи
(гр — 1)-----------------------у СОБ хи
хи
поскольку выражение в квадратных скобках в силу условий теоремы 1 на у(0<у<гр — 1) и неравенства
0
sin xu
xu
- cos xu > 0, x > n, 0 < xu <ж
положительное. Поэтому, продолжая неравенство (5), имеем
> 2m/2nr
t / \ mp 2
sin nu 1
yp
Jl1
nu
in r nudu
sin
\IA
{k=n
2m/2 r
n
t / \ mp2
sin nu 1
\1/p
in r nudu
nu )
sin
' En (f )2,
откуда вытекает, что
nrEn (f )2
J Qm (f( r ); u)s\nrnudu
\i/p
<
2mp/2 J ( 1-
\ mp/2
sin nu 1
N-1/p
inrnudu
sin
(6)
Заменяя в полученном неравенстве t на t/n и сделав замену переменной в правой части, получим
n pEn (f)2
f
t/n
jQm (f( r ); u)sinrnudu
x1/p
<
sin u
N-1/p
in rudu
sin
(7)
Из (7), переходя к верхним граням по всем функциям f (x) е L2, у которых f (x) = const, для любого 0 < t <п получим оценку сверху
^n,m,r, p,r (t) <
2mp/2 J I 1
sin u
u
N-1/p
sin rudu
(8)
При получении оценки снизу для Сптгр (t) рассмотрим в И2 функцию
def
f0 (x) =cos nx, для которой En ( f0 )2 =1 и
t/n
J Qm (f0r ); u)sinrnudu
у/p
2mp/2 JI 1
t / • \ mp 2
sin u 1
x1/p
in r udu
u
sin
, t G (0,^],
0
0
r
= n p
а потому
тр/2
ч-1/р
дід ^и$и
(9)
Равенство (2) следует из сопоставления оценок (8) и (9), чем и завершается доказательство теоремы 1.
2. Приведём основные понятия и определения, которые будем использовать в дальнейшем.
Пусть 5 - единичный шар в 4; М - выпуклое центрально-симметричное
подмножество из 4; Лп с 4 - п -мерное подпространство; Л” с 4 - подпространство коразмерности п; £ : 4 ^ Лп - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства 4 в Л; £ : 4 ^Ли - непрерывный оператор линейного проектирования пространства 4 на подпространство Л • Величины
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским, проекционным п -поперечниками. В связи с тем, что 4 является гильбертовым пространством, справедливы следующие соотношения между перечисленными п -поперечниками (см., например, [15,16]):
К(Ж4) = 8ир{зир{£ >0; є8°4+1 с ШГ}: Лп+1 с4}
^(Ш,4) =іпґ{БиР{«2{||2-2: дє Лп}:2 є Ш}:Лпс 4} *п (М> 4) = іПҐ {іПҐ {8иР {II/ - ^./|| : / Є Ш} : ^42 С Лп } : Л п С 42 } >
¿п (Ш, 4) = тГ {Бир {||/||: / є Ш о Лп}: Лп с 4 },
Лп (Ш-, 42 ) = ІПГ {ІПГ {БиР {|/ - ^.^Ц : / Є ^} : ^42 С Лп } : Лп С 4 }
Пусть Ф(м) - произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что Ф(0) = 0. Для любых m, n, r е N, 1/r < p < 2, 0 < 7 < rp -1, определим класс функций
WZ(Ф) = {/(x)е L : f П(/<ru)sin«u < Фp(t)|.
Вычислим вышеуказанные n -поперечники при некоторых ограничениях на мажоранту Ф(и). С этой целью, следуя [12], обозначим через 4 величину аргумента x е (0; да) функции (sin x)/x, при котором она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что U есть наименьший из положительных корней уравнения x - tgx = 0 (4,49 < U < 4,51).
Полагаем
sin x |m de/ { sin x 1 sin t* I
11------I = <1--------, если 0< x < U; 1---------, если x > U f.
V x j* [ x t* J
Имеет место следующая
Теорема 3. Пусть для любых m, n, r е N, 1/ r < p < 2, 0 < ; < rp -1, 0< t <n функция Ф(и) удовлетворяет условию
/ \ t t • \mp/2 „/„ / xmp/2
Фр |П|[|1 - sin^nudu <ФР (t) / I 1 -sin7nudu. (11)
V n j J0 V nu j* J0 V nu j
Тогда справедливо равенство
p2«-áw;; (Ф), l2) = p2n (w;; (Ф), 4) = E^wpx (ф)) =
n/n ,
-m/2„-r I f f 1 - | sin ;nudu
0 V nu j j
xmp/2 V1/p
= 2-m/2 n
ФЩI=
1 (n f ■ \mp/2 \ 1/p
= 2-m/2n p I íf 1 -1 sin;udu
Ф(П), (12)
где рк (•) - любой из вышеперечисленных п -поперечников.
Доказательство. Из неравенства (6) с учетом определения класса (Ф) при
^ = Лп получим оценку сверху для проекционного п -поперечника
*2п-1 Ж?,(ф)>4)< *ир{Еп(/)2: / є Ж;;(Ф)}<
п/п ,
< 2-т/2 п ГІ |І1-
ч тр/2
БІП пи 1
ч-1/р
1П:пиёи
пи )
Б1П
Ф
п
п
(13)
Для получения оценки снизу бернштейновского п -поперечника класса Ж^у (Ф) вводим в рассмотрение (2п + 1) -мерную сферу полиномов
п.1 =
Г(дг):||Г„||2=2-«п ’ І /І 1
п/п Ґ \ тр/2
БіП пи 1
ч-1/р
пи )
81П
и докажем, что £2и+1 с Ж^ (Ф). Для любого
Тп (х) = + Е Рк С08(кх+ (Рк ) є 82
к=1
легко доказать, что
пт, (ГГ), и) = 2т £к Р 1 -
к=1
біп ки ки
(14)
Очевидно, что при любых и > 0 и п > к справедливо неравенство
ки
пи
Согласно этому неравенству, из (14) имеем:
/ . ч т/2
П (Г(г),и) < 2т/2пг I 1 -•Б1Ппи I IIГ II .
т\ п ’ / І I по
I пи )* 2
(15)
Неравенство (15) возведём в степень р (1/г < р < 2), умножим на функцию б1пг пи (0 <у< гр -1), проинтегрируем по и на отрезке [0, г ], а затем, заменяя норму полинома по формуле радиуса сферы 52п+1, получаем
і і /
| ПР(/(г);и)іту;ийи < 2тр/2пгр П 1-
Б1П пи
пи
1П 7;ийи ■
Б1П
п
т
*
ф' if If I1'
sin nu
nu
sinrnudu
f/ n f ч mp/2
sin nu 1
<фp (t),
ill ■
nu J
sin
ynudu
откуда следует включение £2и+1 ^ (Ф). По известной теореме В.М.Тихомирова [15] для
бернштейновского п -поперечника имеем оценку снизу
*2-,№?(ф), L)а V,(‘52,.,.¿2) =
= 2-m/2 n r\ Пі
f/n f \ mp/2
sin nu 1
N-1/p
\nrnudu
sin
nu
Ф
f
n
(16)
Из сопоставления неравенств (13) и (16) с учётом (10) получаем равенство (12). Теорема 3 доказана.
Выясним, при каком значении числа а степенная функция Ф(и) = иа удовлетворяет соотношению (11).
Теорема 4. Для того, чтобы неравенство (11) имело место для любых т., п, г є К, 1/г < р < 2, 0 <у< гр -1, 0< Ї <п, необходимо и достаточно, чтобы число а определялось по формуле
f /n Ґ ■ \ mp/2
sin u 1
u J
sin
Таджикский национальный университет
Поступило 14.05.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. - Матем. заметки, 1967, т.2, 5, c.513-522.
2. Черных Н.И. - Тр. МИАН, 1967, т.88, с.71-74.
3. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1976, т.20, 3, с.433-438.
4. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1977, т.22, 4, с.535-542.
5. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1979, т.25, 2, с.217-223.
6. Юдин В.А. - Докл. АН СССР, 1980, т.251, 6, 1980, с.54-57.
7. Иванов В.И., Смирнов О.И. - Матем. заметки, 1988, т.43, 6, с.757-769.
8. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2001, т.70, 3, с.334-345.
9. Vakarchuk S.B. - Work of Ukr. math. cong. Sec. 10. (Kiev, 2001), Kiev, 2002.
10. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2005, т.78, 5, с.792-796.
11. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2006, т.80, 1, с.11-18.
*
0
0
12. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. - East J. on Appr., 2008, v.14, 4, p.411-421.
13. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - Извест. АН РТ, 2008, т.133, 4, с.7-20.
14. Руновский К.В. - Матем. сборник, 1984, т.185, 8, с.81-102.
15. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.:МГУ, 1976.
16. Pinkus A. n -Widths in Approximation Theory- Berlin: Springer-Verlag, 1985, 291 p.
Г.А.Юсупов
ДОИМИ^ОИ аник; дар НОБАРОБАРИ^ОИ НАМУДИ ЧЕКСОН ва ЦУТР^ОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^О АЗ 4 [0,2^]
Дар макола барои синфи функсиях,ои даврии даврашон 2п -и г -маротиба дифференсиронидашаванда аз фазои 4, г е N доимих,ои аник дар нобаробарих,ои
намуди Ч,ексон х,исоб карда шудаанд. Дар асоси натичах,ои гирифташуда, кимати аники n -кутрх,ои бернштейнй, колмогоровй, хаттй, проексионй ва гелфандии синфи функсиях,ое, ки бо характеристикаи суфтагии Qm (f, t), m е N муайян карда мешаванд, ёфта шудаанд.
G.A.Yusupov
THE EXACT CONSTANT OF INEQUALITIES LIKE OF JACKSON AND WIDTHS FUNCTION CLASSES OF 4 [0;2^]
In the work exact constant in inequalities like of Jackson were found on the class 2n -periodical г -time of differentiable function of 4, г е N. On basis of finding results of calculated exact value of Bernshtein, Kolmogorov, linear, projection and Gelfand of n-widths function classes defined by smoothness capability of Qm (f, t), m е N.
