CC BY
39
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _______________________________2009, том 52, №8__________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ В Ь2 И ЗНАЧЕНИЕ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ
1. Пусть £2 := [0,2л] — пространство измеримых по Лебегу 2л -периодических
функций, у которых норма
' 2л ^ 17 2
- | |/(х)|Л |
<
Л о ....
і52ЧГ є Ы, 1$2} = Ь2) - множество всех функций /(х), у которых (г -1) -я производная /(г-1)(х) абсолютно непрерывна и /(г)(х) є£2. Определим модуль непрерывности т-го порядка функции / (х) соотношением
где
т и С т ^
*т/(х)=£ (-1) , /(х+**)•
V к
к=0
Структурные свойства функции / е Е2 охарактеризуем скоростью стремления к нулю модуля непрерывности производной /(2х), задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усредненной величины (От (/(2), ?)2.
Пусть - подпространство тригонометрических полиномов порядка п -1. Если
а п 1 ао
Яп (/, х) = + 2 Рк С0*(кх + Фк )
2 к=1
— частная сумма порядка п -1 ряда Фурье функции
а ш
/(х) ~ тт+2 Рк с°8(кх+ф )
2 к=1
и 2 (I, х) = I (х) - £и (/, х), то величина наилучшего приближения / (х) элементами подпространства в смысле сходимости в пространстве Ь2 равна
і w
E ( f ) = inf У f - Г„ч|| : Г„_, ( х) EfH І = І |ги ( f )|| =]^Й
її/2
(1)
При решении экстремальных задач теории приближения дифференцируемых периодических функций тригонометрическими полиномами в пространстве L2, связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина
E„(f)-Ж' (f ' ’, t/„) f є Ç, t > 0,
рассматривались различные экстремальные характеристики, приводящие к уточнению оценок сверху постоянных ж . Для компактного изложения некоторых результатов, полученных ранее, введем следующее обозначение
Zm,n,r,p (h) = SUP \
2mnrEn (f )
f ( х) є Lr2, f( r ) (х) Ф const
j ю’„ (f( r ), t ) dt
чї/p
(2)
где т, п, 2 е N,1/2 < р < 2,0 < к < Лп.
Величины вида (2) при различных значениях указанных параметров изучались в работах [1-14]. В частности, Л.В.Тайков [3] доказал, что
Х\,п,г,2 (h) = {n/(nh - sin nh)| , 0 < nh <Л2. С.Б.Вакарчук [11], обобщая результаты Л.В.Тайкова [3], доказал, что
Zm,„,r,2/m (h) = {n/(nh - sin nh)|m/2, m є N, 0 < nh < ^2.
Целью данного сообщения является распространение результатов работы С.Б.Вакарчука [11] на более общий случай и вычисление точных значений различных п -поперечников.
Теорема 1. Для произвольных т, п, г є М, Иг < р < 2, 0 < к < Лп справедливо равенство
Xt
m,n,r, p
-i/p
Доказательство. Воспользуемся неравенством ([15],стр.32)
h л p/ 2 >1/p (œ( h \2/p ^
HÊlfi(t)|2 dt > ^IJlf(t)|pdt
^ 0 V k= n J j I к=n о
, 0 < p < 2
и, имея в виду, что для произвольной I(х) е Е2 имеет место соотношение
получаем
\ (f(); t) = 2" sup i £ k2 pp(1 - cosku)" :| u |< t L,
k=1
p/ 2 V/p
(f<r); t)dt > И 2" £ k2rpl(l - cos fe)" dt
>
> 2'
"/2
го I h I
X Pp I krp I (1 - cos kt)"p/2dt J
2/РЛ
1/2
=n I 0
(4)
Функция (p(y) = yrp | (1 - cos yt)"p/2dt возрастает по y > 0, поскольку при rp > 1, ее
0
производная
р (y) = yrp-1 i h(1 - cos hy)"pl2 + (rp -1) J (1 - cos yt)"p/2dt J > 0.
Таким образом, min{p(k) : k > и} = p(n) = nrp | (1 - cos nt)"p/2dt.
0
С учетом последнего соотношения и (1) продолжим неравенство (4)
(h Y^i го 11/2
:2"/2 nr ( |(1 - cos nt)"p/2dt j]Tp2
) I k=
>'
h, ,\"p V/p
. nt
2"nr I 11 sin dt
En (f).
Отсюда получаем
(h ] 1/p( y ]-1/p
E(f)<2-"n-ri|<(f<r’;t)dt III sinn- ] dt
Из (5) сразу следует, что
Xm,„,r,p(h)<jjfsiny] dtj
(5)
(6)
Чтобы установить равенство (3), достаточно рассмотреть функцию f0 (x) = cos nx e L2, воспользоваться определением (2) величины хтпг Р (h), а также легко проверяемыми соотношениями
[ч m
sin у \ , 0 < nt <ж.
В самом деле, имеем
Zm,n,jh)>-7V^^^=^{Í{S^'V. (7)
[/ < f), t) dt
V 0 у
Утверждение теоремы 1 следует из сопоставления (6) и (7).
2. Прежде чем сформулировать остальные результаты, напомним необходимые понятия и определения, используемые в дальнейшем.
Для центрально-симметричного множества M с L2 величины Ъи (M, L2),
d (M,L), (M,L), dn(M,L2), жп(M,L2) называют соответственно бернштейновским, кол-
могоровским, линейным, гельфандовским, проекционным n -поперечниками
(см.например,[9]-[15]). Поскольку L2 является гильбертовым пространством, то справедливы следующие соотношения между перечисленными n -поперечниками [16,17]:
Ъп (M, L2) < dn (M, L2) < dn (M, L2) = ^ (M, L) = ^ (M, L). (8)
Пусть Ф(u) — произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что Ф(0) = 0. Через W(Ф) := W(r,m,р,Ф) обозначим класс функций f (x) e L, которые для любых m, n, r e N, Mr < p <2, 0 < h < jdn удовлетворяют ограничению
[ h ^1/P
|J< (f(r); t )dt <Ф(*).
V 0 У
Поставим целью вычислить вышеуказанные n -поперечники при некоторых ограничениях на мажоранту Ф (u). Введем обозначение
(sintX = {sint,еслиО < t <я/2;\,еслиt > ^2}.
В принятых обозначениях справедлива следующая
Теорема 2. Если для всех /и> 0, m, r e N, 0 < и <ж, 1/r < p < 2 функция Ф(и) удовлетворяет условию
/лп ґ \тр п Ґ чтр
ФР (и) І І БІЙ —І йу <Фр (лм)|[ БІЙ —І й—,
2 :1 2
о ' 2 у* 0 4 2 -
то для любого натурального п справедливы равенства
(9)
П 2
Рр—1(Ж (Ф), —) = р„ (Ж, —) = 2'^ • п_”'І І БІЙ т'гл
ч—1/р
•ФЩ.
где рк (•) - любой из поперечников: колмогоровский ^ (•), бернштейновский Ьк (•), линейный 8к (•), гельфандовский йк (•), проекционный пк (•).
Доказательство. Используя соотношения (6), запишем оценку сверху рассматриваемых п -поперечников, полагая в неравенстве (5) к = п/п :
р2„_, [№(Ф),¿2) < ^п [Ш(Ф), 1г) < 8ир{£„(/): / £ №(Ф)} <
<
І ПП ;
2^тп г| І БІЙтрп-Ж
ч—1/р
•Ф(п)-
-т —- —г+— I
П 2
\—1 /Р
= 2 р • п р І І БІптрїйї
V о у
•Ф[п
(10)
С целью получения оценки снизу бернштейновского п -поперечника класса Ш(Ф) вводим в рассмотрение (2„ +1) -мерную сферу полиномов
П 2
ЧТп(х):||Гп|| = 2—”—' • І | бійтр>йІ
ч—1 /р
'фі! ,
и, как и в работах [9,10], докажем, что <х2и+1 с Ш(Ф). Тогда, согласно теореме В.М.Тихомирова [16], запишем
Р2 —(Ф), ——) > р (— (Ф), ——) > Ъ1п (— (Ф), ——) > ¿2п —2„+1, ¿2) =
\—1/Р
(13)
Сопоставляя неравенства (10) и (13), с учетом (8) получим утверждение теоремы 2. Очевидно, что вычисляя интеграл, утверждение теоремы можно записать в виде
Р2п—1(Ж (Ф), —2) = Р2п (Ж, —2) =
■ f ЬИ т *'И
где Г(и) - гамма-функция Эйлера.
На первый взгляд условие (9) в формулировке теоремы 2 выглядит не совсем естественным и труднопроверяемым. Однако, на наш взгляд, это не так. Ниже дан анализ упомянутого условия и выяснено, при каком значении числа а степенная функция Ф„ (и) = иа удовлетворяет соотношению (9). С этой целью запишем неравенство (9) в эквивалентной форме
цп Ґ \rnp („ S ч тр Л _
ílsin 21 Л]Д sin2J di^'p • (14)
Используя стандартные методы решения экстремальных задач математического анализа, легко докажем следующее утверждение
Теорема 3. Для того, чтобы неравенство (14) имело место для любого ц> 0, 1 /г < р < 2, г, т є N, необходимо и достаточно, чтобы число а определялось по формуле
а = а(т, р) = п|рsin V ) dvj
Следствие 2. Для любых т, п, г є N, 1 /г < р < 2,
а(т, р) = 2-Л-г[ mt * і)/г^ тр±1'
справедливо равенство
p2n_i(W (иа), Ь2) = А„ (W (иа), Ь2) = 2- та-рп—п где рк (■) - любой из вышеперечисленных к -поперечников.
a—1 -r-a+±
Институт математики Поступило 22.06.2009 г.
АН Республики Таджикистан
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. - Матем. заметки, 1967, т.2, 5, с.513-522.
2. Черных Н.И. - Тр. МИАН, 1967, т.88, с.71-74.
3. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1976, т.20, 3, с.433-438.
4. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1977, т.22, 4, с.535-542.
5. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1979, т.25, 2, с.217-223.
6. Лигун А.А. - Матем. заметки, 1978, т.24, 6, с.785-792.
7. Шалаев В.В. - Укр. матем. журнал, 1991, т.43, 1, с.125-129.
8. Есмаганбетов М.Г. - Матем. заметки, 1999, т.65, 6, с.816-820.
9. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2001, т.70, 3, с.334-345.
10. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2005, т.78, 5, с.792-796.
11. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2006, т.80, 1, с.11-18.
12. Васильев С.Н. - Докл. РАН, 2002, т.385, 1, с.11-14.
13. Вакарчук С.Б., Щитов А.Н. - Укр. матем. журнал, 2004, т.56, 11, с.1458-1466.
14. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - ДАН РТ, 2006, т.49, 2, с.111-116.
15. Hardy G.G., Littlewood., Polya G. - Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed., 1952, 346 p.
16. Тихомиров В.М. - Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976.
17. Pinkus A. - n -Widths in Approximation Theory, Berlin: Springer-Verlag, 1985.
М.Ш.Шабозов
ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ БЕ^ТАРИНИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАВРЙ БА ВОСИТАИ БИСЁРУЗВА^ОИ ТРИГОНОМЕТРЙ ДАР ФАЗОИ L2 ВА ЦИМАТИ ЦУТР^О БАРОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ ГУНОГУН
Дар мак;ола к;имати аник;и n -к;утрх,ои гуногун барои синфи функсиях,ои даврии дифференсиронидашаванда, ки ба воситаи модулх,ои бефосилагии тартиби m -уми х,осилаи f(r)(x) g L>[0,^] муайян шудаанд, ёфта шудааст.
M.Sh.Shabozov
ON THE BEST APPROXIMATION OF PERIODICAL FUNCTIONS WITH TRIGONOMETRICAL POLYNOMIALS AND THE VALUES OF WIDTHS OF SOME CLASSES OF FUNCTIONS IN L2
In article for some classes of differentiable periodical functions which defined by modulus continuity of m -order derivatives f(r\x) g L2 [0,^], was founded the exact values of different n -widths.
