ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ 2π-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ L2 И ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2011, том 54, №1______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, С.Б.Вакарчук*, В.И.Забутная **

ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА ДЛЯ 2л-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ Ь2 И ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ

Институт математики АН Республики Таджикистан,

Днепропетровский университет экономики и права, Украина, Днепропетровский национальный университет, Украина

Для оценки наилучших приближений 2л -периодических функций из Ь2 использована усредненная характеристика гладкости

•( / >t) ■=! } 1 - J| Ml

It о 0

>1 1/2

VJJ.t) :=i I - I ||Дт/£ dhi-ЛІ ,

где ? > 0; h := (h,^,•••,^); Дт :=^1 0 °"'° ’ рассмотренная ранее авторами, и для нее по-

лучены неравенства типа Джексона. Также для классов дифференцируемых функций, определенных при помощи величины &т, вычислены точные значения различных п-поперечников.

Ключевые слова: наилучшее приближение - усредненная характеристика гладкости функции - экстремальная характеристика - периодическая функция - п-поперечники.

1. Пусть N - множество натуральных чисел; Z+ := N и {0}; К+ - множество положительных чисел вещественной оси; Е2, г е N - множество 2л -периодических функций / е Ь2, у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка /(г) принадлежат пространству £2; 1 (/) - наилучшее приближение функции / е £2 тригонометрическими

полиномами порядка п — 1 в пространстве £2; (От (/, ?) - модуль непрерывности т -го порядка функции / е Ь2, где

(/, t) ■= SUP Дт/1 = SUP

\h\<t L \h\<t

m

j=0

2 (—1)m—j . /(x + jh)

j)

. (i)

Для оценки наилучших приближений 2л -периодических функций из Ь2, наряду с (1), используют усредненную характеристику гладкости (см., например, [1, 2])

m

Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]

Г і ' ' 117 2

Я (/.') Ч -т І - IIМЕ.'И - Л,Л ■

(2)

где і > 0; ^ := ,•••,^); Ат :=Л1 0А і °...° АІ . Напомним, что в ходе исследования важных

вопросов конструктивной теории функций в метрическом пространстве Ьр (0 < р < 1) усредненная

характеристика гладкости функции, подобная (2), рассматривалась К.В.Руновским [3] и Э.А.Стороженко, В.Г.Кротовым, П.Освальдом [4].

Среди экстремальных задач теории аппроксимации функций одной из наиболее важных является задача вычисления точных констант в неравенствах типа Джексона

Еп-і— < X •и~——г),т/п); г є Ж+, г > 0,

где ит - некоторая характеристика гладкости функции / є Е2 (£° = £2) , например, сот или От; X - некоторая константа. В случае ит = сот эту задачу в разное время исследовали Н.И.Черных [5], Л.В.Тайков [6], А.А.Лигун [7] и другие [8-10], а в случае ит = Ят - С.Б.Вакарчук [1]. Исследуя вопросы наилучшего приближения периодических функций тригонометрическими полиномами в £2,

Н.И.Черных отметил [5, с.515-516], что для характеристики величины £и_ Д /) в силу ряда соображений, по-видимому, более естественным является не джексоновский функционал сох (/, л / и), а

л/и

, 1/2

функционал Фи (/) :=|(и / 2) | а>1(/, ї)бІп пїйї| . Учитывая эти соображения, А.А.Лигун [7] рас-

смотрел следующую экстремальную характеристику (всюду далее отношение 0 / 0 полагаем равным нулю):

Кт,п,г И) := 8ир

еИ-1 (/)

I ®1(/(г), * )М №

: / є Е2, / Ф соті

где т, и є М; г є Ъ+; 0 < к < л / и; м(ї) > 0 - суммируемая на [0, к] функция. Он показал, что

{В,(М)!-1 < ,(М.И) < {иІ<п,(М)}-1.

Здесь

к

Вгкт (м) := 2тк2г | (1 - 008 кі)т М)^; к > и.

С целью обобщения результатов [7], М.Ш.Шабозов и Г.А.Юсупов рассмотрели экстремальную характеристику [11]

Zm,n,r,p,s (P. h) := SUP

E„-i (/)

: / є L2. / Ф const

где m, n e N; r e Z+; p, s e R+; 0 < h <nl n; p(t) > 0 — суммируемая на [0, h] функция, и установили для 0 < p < 2 следующие неравенства

{ЛХ (^)}_1 < *W,,,llp ,, h) < {Jnf ДГ, (p)}^ ,

полагая

С h

AX (p) := 2m/2 krp I (1 - COS kt)mp/2 p(t)dt

ЧІ/p

; k > n.

2. Как продолжение указанной тематики, определенный интерес представляет изучение экстремальной характеристики

Tm.„.r. p.s (P. h) := SUP

E„-i (/)

: / є Lr2. / Ф const

I am ( f(r). t)p(t)dt

где т, п е М; г е Ъ+; р, s е Ж+; 0 < к <п/ п; ф - неотрицательная суммируемая на [0, к] функция. Отметим, что ранее величина, подобная Утпг21/2(1, к / п), исследовалась авторами в работе [2]. Теорема 1. Пусть 0 < р2. Тогда справедливы следующие неравенства

{ВХ(P)}-' і p.i,p(P.h) і {mf .(p)J-'.

(3)

где

h mp /2

Sin kt

1/p

Bkkjlp (P) := 2m/2 I| 1 - S—- I qpt)dt\ ; k > n.

Доказательство. Для произвольной функции / е Е2 запишем

ад

/(г)(х) = Е (1к)гск (/)вхр(гкх), где равенство понимается в смысле сходимости в метрике про-

к=-ад

странства £2. Отсюда имеем

ад т

д т/(г)(х) = Е(/к )г П (ехр(*кк) - 1)ск(/ )ехр(к).

к=-ад у=1

Поскольку функции [вхр(1кх)}Ы2 образуют на отрезке [0,2ж] ортогональную систему, то

применяя равенство Парсеваля и учитывая, что | с_к (/) |=| с (/) |= Р* (/) / 2; к е М, где

Рк(/) '•= ак(/)+Ь>1(/); а(/) и Ък(/) - косинус- и синус-коэффициенты Фурье функции / соответственно, получаем

2 ад т

,тг(г41 _ 0т^ ь2гЛ I п —г'по \ ^,21

K/i = 2mZ klr п (l - cos kh. )р1(Л- (4)

k=l .=1

Используя (4), из (2) имеем

ад / • i \m

fi2„(/lr),t) > 2m£ k!rk)|l -k . (5)

k=

V

Воспользовавшись следующим из [12, с.32] упрощенным вариантом неравенства Минковско-

го

/ \р/2 ^ 1/р

/ ад \-г

'I[Sl fk (') I2 J 9(<)dt\ г

О/ Ї 1/2

'л Л2/p .

ІЦі fk (І) lp p(t d

у

k=я V 0

. 0 < p і 2.

и (5), получаем

I 1/p г Л 1/2

2.

“m (/ .t ,,pi ,dt ' " P ' ' ' ■ в ’ у

0 I Ik=n

j a; /), t)p(t)dt І у J jr pf2c/) ( в; (p) )2

> ^n-i(f),inf Щ». (6)

Для функции f (x) := sin nx, принадлежащей классу E2, имеем

Используя определение величины ~¥тпг рв(ф, к) и неравенства (6)-(7), получаем соотношение (3), чем и завершаем доказательство теоремы 1.

Следствие 1. Пусть 0 < к < 3л/ (4п). Тогда имеет место следующее равенство

^т,п,г,рЛ-р (Ф И) = {В^, (ф)}-1 .

Следствие 2. Пусть т, п е М; г е Ъ+; 0 < р < 2; д - неотрицательная функция, суммируемая на отрезке [0, а] , где а < л. Тогда справедливы равенства

2т/2 пгЕ ( /)

{Фтг.р(а,Ч, 1)}-,/р < ^р-------------------п-ЛЛ 1„р <

* Тг I Л I г

/е-^,

/Фс опг .

Jnm (f(r) , 11 n)q(t )<* '

<{in>f Ф m ,r ,p (a,q,X)} P,

где

a

Фт ,r ,p (a,q ,x) := xrp |11 - J q(t d

, mpl2

Лри этом, если функция q такова, что

if Фт ,r ,p(a , q , x) = Фт , r ,p (a q , 1) ,

то справедливо равенство

2ml2 nrE ( f)

sup 7----------------n-lU ) .11 p = (Фт,, p (a, q, 1)}-11 p.

fe-r, I a I p

f *comt I j^m (f(r), 11 n)q(t )dt\

Следствие 3. Если q(t) := trp~1ql(t) и неотрицательная функция q не возрастает на [0, a], где a < л, то имеет место равенство

inf Фт,,p(a, trp-1 qi(t),x) = Фт,,p(a, ^(0,1)

и справедлива формула

2ml2 nrE ( f)

sup -------------------^= (Фm,r,p (a, f’-'q, (t), 1)}-11 p.

feL I a I

f - "Unm (f(r), 11 ri)fp-'q,(t )dt|

Следствие 4. Пусть г е М; 1 / г < р < 2; 0 <у< гр-1; 0 <Р<л\ р, (/) := / И), где

0 < ^ < И; 0 < И <ж / п. Тогда для любых т, п е N справедливы равенства

Доказательство данного следствия базируется на использовании следующей леммы.

Лемма 1. Пусть весовая функция р, заданная на отрезке [0,И], является неотрицательной и непрерывно-дифференцируемой на нем. Если при некоторых г е М; 1 / г < р < 2 и любых ^ е [0, И] выполнено неравенство

(rp -1)p(t) - tp’(t) > О.

то справедливо соотношение

^ в:тР ф)=цт> ф).

n<k<w r r

3. Обозначим через dn(M,L), dn(M,L), Ь(M,L), (M,L) и Пn(M,L2) соответст-

венно колмогоровский, гельфандовский, бернштейновский, линейный и проекционный n -поперечники некоторого выпуклого центрально-симметричного компакта (см.,например, [1-2,6,10] . Данные поперечники связаны соотношениями

ьп (M, 4) < dn (M, 4) < dn (M, 4) = sn (M, Ь2)=Пп (m, 4). (8)

Также полагаем 4-i(M) := sup(4-i( f) : f е M}. Пусть ¥(t), t > 0 - произвольная непрерывная возрастающая функция такая, что ¥(0) = 0. Через W (¥); m, r е N; 0 < p < 2 обозначим класс функций f е Е2 , для которых при любых t е (0 , да) выполнено неравенство

t

In; (f('), r)driT p (І).

О

Следуя работам [1,2], через t„ обозначим величину аргумента x е (0, да) функции sin x / x , при котором она достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t есть наименьший из положительных корней уравнения x = tgx (4 ,49 < t. < 4 ,51). При этом полагаем

(. sin x ^ L sin x 1 sin t. I

I 1------I := < 1------, если 0 < x < 4; 1-------, если x > t„ k

V x [ x t. J

Теорема 2. Пусть n, m е N; 1 / r < p < 2. Если для любых t е (0,да) мажоранта ¥ удовлетворяет условию

, mp / 2 'I 1 t / . ч mp / 2

f ( , sin ПТ \ ,1 sin ПТ \

Я1 - -nr) т К1 - -пг\ *• ®

то справедливы равенства

У2n Wmp (П 4) = Уу-Wp 4) = 4-1^ (¥)) =

{л ■ 1-1/p

— 2~m/2n-Г+1/Р -1П ^™"/9 j

| (1 -^mP-dj ¥(П), ^

где у2п (•) и у2п-\ (•) - любой из перечисленных выше поперечников. При этом множество мажорант, удовлетворяющих условию (9), не пусто.

Остановимся на схеме доказательства теоремы 2. Оценки поперечников сверху получаем, исходя из следствия 4 теоремы 1 и соотношения (8). Оценивая бернштейновский 2п -поперечник Ъ2и (№ггтр (^)? 4) снизу, получаем в силу (8) оценки снизу и для остальных поперечников. Сопоставляя все полученные результаты, приходим к равенствам (10). Используя рассуждения, основанные на многократном применении теоремы Ролля (см., например, [1,2]), показываем, что мажорантой, удовлетворяющей условию (9), является, например, функция (X) := /а1 р, где

л

а := л / J (1 - sin t / t)mp/2 dt.

о

ЛИТЕРАТУРА

1. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2005, т.78, №5, с.792-796.

2. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. - East Jour. Approxim, 2008, v.14, №4, pp.411-421.

3. Руновский К.В. - Мат. сборник, 1984, т.185, №8, с.81-102.

4. Стороженко Э.А., Кротов В.Г., Освальд П. - Мат. сборник, 1975, т.98, №140, с.395-415.

5. Черных Н.И. - Мат. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.

6. Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.

7. Лигун А.А. - Мат. заметки, 1978, т.24, №6, с.785-792.

8. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - Изв. АН РТ. Отд. физ.-мат., хим., геол. и тех. наук, 2008, №4(133), с.7-20.

9. Шабозов М.Ш. - Мат. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.

10. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2006, т.80, №1, с.11-19.

11. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - ДАН России, 2010, т.435, №2, с.1-4.

12. Hardy G.G., Littlewood G. and Polya G. Inequalities, Cambridge: Cambridge Univ. Press. 2-nd ed., 1952,346 p.

М.Ш.Шабозов, С.Б.Вакарчук*, В.И.Забутная**

НОБАРОБАРИ^ОИ АНИЦИ НАМУДИ ^ЕКСОН БАРОИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАВРИИ ДАВРАШОН 2л ДАР ФАЗОИ Ь2 ВА ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИОНАЛЙ

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцкистон,

*Донишго%и ицтисодй ва %укуци Днепропетровск, Украина,

**Донишго%и миллии Днепропетровск, Украина

Барои наздиккунии бех,тарини функсиях,ои даврии даврашон 2л аз Ь2 характеристикаи суфтагии миёнакардашудаи

ки дар ин о t > 0; h := (h,h>•••>hm); Am :=A^ o Д^ o...o Д^5 аст, истифода бурда шуда, барояш нобаробариои намуди Ч,ексон ёфта шудааст. Инчунин барои синфи функсиях,ои дифференсиро-нидашуда, ки ба воситаи бузургии Qm муайян карда мешаванд, кимати аники баъзе П -кугрх,ои гуногун х,исоб карда шудааст.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - характеристикаи экстремали - функсияи даврй - П -цутрХ/О.

EXACT INEQUALITIES IN JACKSON TYPE FOR 2rc-PERIODIC FUNCTIONS IN THE SPACE L2 AND WIDTHS OF SOME FUNCTION CLASSES

where t > 0; h := (h,h2,...,hm); Am := A^ o A^ o...o A^, is contemplated earlier by the authors, and the

M.Sh.Shabozov, S.B.Vakarchuk*, V.I.Zabutna**

Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, The Dnepropetrovsk University Economics and Law, Ukraine,

**The Dnepropetrovsk National University, Ukraine

For evaluating the best approximation of 2n -periodic functions in the space L2 is used the average characteristic smoothness

inequality by type Jackson is received for it. Also for class differentiable functions which are defined by the magnitude Qm, calculated the exact value of different n -widths.

Key words: best approximation - extremal characteristic - periodical function - n-widths.