CC BY
39
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________2011, том 54, №10____________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, К.К.Пахлавонов*
ТОЧНЫЕ КОНСТАНТЫ В НЕРАВЕНСТВАХ ТИПА ДЖЕКСОНА-СТЕЧКИНА И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В Ь2
Институт математики АН Республики Таджикистан,
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
Пусть Ф - непрерывная на [0,оо) возрастающая функция, для которой Ф(0) = 0. Для классов дифференцируемых периодических функций
^(Ф) = ]/^4Г): ){h-t)apm{f(r)-t)dt<0{hy, 0<h<2n\, Hr < р <2
в Ь2 вычислены точные значения различных п-поперечников при определённых ограничениях на Ф.
Ключевые слова: наилучшее приближение - модуль непрерывности - экстремальная характеристика - п-поперечник.
1. Пусть N - множество натуральных чисел; Ъ+ '.= N и ¡0}; К+ - множество положительных чисел; Ь2 = Л2[0,2п\ - пространство измеримых по Лебегу вещественных 2п -периодических функций у, имеющих конечную норму
f Л ^ \т
< оо.
Л 2л
-\\f(X)fck
о У
Символом Тп1 обозначим подпространство всевозможных тригонометрических полиномов порядка, не превосходящего п—\. Известно [1], что для произвольной / е Л2, имеющей разложение в ряд Фурье
f(x)—- + ^ akcoskx + bksmkx ,
2 k=i
величина её наилучшего полиномиального приближения элементами подпространства Тп_х равна
£-,(/) = inf If-тЛ-т.-^гп-, =
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: shabozov@mail.ru
{к=п
где А2:= 4+Ь2к; Б,ил - частная сумма порядка п — 1 ряда Фурье функции /. Под модулем непрерывности т -го (т е N ) порядка функции / е /,2 понимаем величину
com(f,t) = sup АГ(/)
где
К"(.м=£(-іу
l-k
k=0
ґтл
Кк j
f(x + kh)
- конечная разность т -го порядка функции / е к2 в точке X с шагом к.
Под (геЖ+;40) е4) понимаем множество 1л -периодических функций / е Л2, у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка принадлежат пространству Ь2.
При решении экстремальных задач теории аппроксимации в пространстве Ь2, связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина
£■„.,(/) /»);'> о,
где / е 1,2\ ягеК, г еЖ+, / ] = /, рассматривались различные экстремальные характеристики, способствовавшие уточнению оценок сверху констант % (см., например, [1-12]). В частности,
Н.И.Черных в работе [1] отмечал, что поскольку функционал
— | col (/, t) sin ntdt
меньше джексоновского функционала (QX{J,71 //7) ( / ф const), то, по-видимому, он более естественен для характеристики величин наилучших полиномиальных приближений En_x(f) периодических функций в Ь2. Исходя из сказанного, в [9] была рассмотрена следующая экстремальная характеристика
X,
т,п,г,р
(,h) := sup
nrEn_x{f)
f єЦ - і -f^ccnst jajP(У1»5t)dt
и показано, что при m,n,r є~М, \ / г <р< 2, 0 < І1<7Г / п справедливы равенства
(О ( h
\l/p
(1)
Хп
-1/р
sin-
2
dt
Полученная в [9] точная оценка величины (1) является обобщением одного результата С.Б.Вакарчука [8]. В качестве модификации (1) рассмотрим следующую экстремальную характеристику
у (h):= sup
/I m,n,r,p4 y 1
nrEn_x (/)
\Vp
h> 0.
Теорема 1. Пусть т,п,г є М; \ / г <р < 2. Тогда для любых чисел к, удовлетворяющих условию 0 <к<п/п, справедливы соотношения
Х„
,(*)= J(A-0
/ \ тр
.nt sin —
v 2 у
dt
(2)
Доказательство. Воспользуемся неравенством ([13], стр.32)
J 00
Jli/.wf
0
dt
и имея ввиду, что для произвольной / е ¿2 имеет место соотношение
>
,2/А1/2
V
со.
2 (f(r);0 = 2" sup Л £2>2(1 — cosku)m :| w |< ґ
¿=1
получаем
п
Лір
>
>2
тя/2
СО "
2 р2 кгр |(/г - 0(1 - cos kt)mp'2 dt
*=Я о
1/2
Функция <^(>0 = |(/г - /)(1 - cos yt)mpl2 dt возрастает по j > 0,
о
rp>\ г е N, её производная <р (>*) > 0 при у > п и
h
тт{ср(у) : у>п} = q>{n) - пгр |(// - /)(1 - cos nt)mpl2dt.
о
Поэтому из (3) вытекает, что
(3)
поскольку при
о
о
о
о
Отсюда получаем
у/р (h г Г тр \
>2тпг [(А-0 sin — dt
Jv ' ^0 v 2 у У
\/р
Е„М)-
ЕпМ)<
-Мр,
ґ h ґ . nt ^ sin — mp ^
1 £ S і (N VI Uh-t) dt
і ' I 2 j У
\1/р
(4)
Из (4) сразу следует, что
X
-і/р
sin-
2
dt
(5)
Чтобы установить равенство (2), достаточно рассмотреть функцию f0(х) = cosпх е Л2, воспользоваться определением величины ^ г (И) и легко проверяемыми соотношениями
E„-i(fa) = 1,ю„(/о”;0 = 2"иг
В самом деле, имеем
2тпгЕпМо)
Ґ \М
f . піл sin—
v 2
0<nt <n.
X (h
/L m,n,r,p 4 '
h f \mp
nt
-Vp
h Л1 'P
= J(A-0
sin —
v 2 j
dt
(6)
Утверждение теоремы 1 следует из сопоставления (5) и (6).
2. Через Ьп(Ш,Л2), dn(9Л,L2), dn(9Уt,L2), 5п(Ш'1,Л2) и Пн(ЭДТ,Л2) обозначим соответственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный п -поперечники некоторого центрально-симметричного компакта ЭД1 в пространстве Ь2. Указанные п-поперечники связаны в Ь2 следующими соотношениями [9,12]
bn(m,L2) < dn(m,L2) < dn(m,L2) = sn(m,L2)=п„(ши2).
(7)
Положим
где ЭДТ e¿2, и вводим обозначение
(sin ¿X = { sin t, если 0 < t < я / 2; 1, если t > я / 2 }.
о
и
о
Пусть Ф(t),0<t <оо - есть непрерывная неубывающая положительная функция такая, что Ф(0) = 0. Для произвольных т, /7, г е Н, \ / г < р < 2 и О <И <2л введём в рассмотрение следующие классы функций
ЧІ//7
/е4'>: /(А-ІКС/ПОА
<Ф(/г)
Имеют место следующие теоремы и следствия из них.
Теорема 2. Пусть га,/г,геК, и для величины к > 0 выполнено условие 0 <пк< л. Тогда справедливы равенства
= (А)) = 2-«-' }(А-0
БШ —
V 2У
тр
-Ир
СІІ
где уп (•) - любой из перечисленных выше п -поперечников.
Доказательство. Используя соотношение (4) и определения класса запишем оценку
сверху рассматриваемых п -поперечников
<2""и"Г] |(Л-0
Ґ ¿\тр . ы
БШ —
V 2У
I -Ур
СІІ
(8)
С целью получения оценки снизу бернштейновского п -поперечника, используя неравенство
х \ т
Ш
вт —
V 2 у*
Т
Г и ’
(9)
доказанное в [3], легко доказать, что (2/7 +1) -мерный шар тригонометрических полиномов
^й+1 =
Г„(.ї):||Г„|<2-",Г' |(А—<)
і Р
Л
принадлежит классу И^^(/г). Но тогда, согласно теореме о поперечнике шара В.М.Тихомирова [12]
и определения бернштейновского поперечника, запишем оценку снизу рассматриваемых п -поперечников
А
о
П
О
0
О
о
Г2,Ж'Ф),Ь2)^ тЖ'^1г)^Ж%К),12)>
Га /
4)>2-"»-' |(Л-0
V-л—*2 ; -1 /р
О
. Ш
вт — 2
б//
(10)
Сравнивая неравенства (8) и (10) завершаем доказательство теоремы 2.
Следствие 1. В условиях теоремы 2, при р = 2/т, гаеК справедливы равенства
гъЖиьш=гЖ;^),^)=
^2 . пк^2 — вт — пИ 2
-т/2
(11)
Равенства (11) недавно другим путем доказаны в [11].
Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 для любого не N имеет место равенство-
*ир{| а„(/) 1,1 (.„(/) |: / є (Є’(Л)> = 2-’«- /(*-<)
А / , \
.ПІ
1-1 !р
БШ —
V 2 у
Л
где а„{/) и Ьп(/) соответственно косинус-и синус-коэффициенты Фурье функции /.
Теорема 3. Пусть \ I г < р <2 и мажоранта Ф для произвольного к є [0,2л-] удовлетворяет условию
Vі
Фр(п1п) ¿1.2 .
Ґ п!2
(віп 07 ^СОвО'*’*#
V 0 ,
(12)
Тогда для любых чисел т,п& N справедливы равенства
г2,ж;і^ (ф). 4)=«:,и с»), 4)=
\-1/р
Ф(тт / и),
(13)
где /„(■) - любой из п-поперечников Ьп(-), с!"(•), £/„(•), <5И(-), Пи(-). Множество мажорант Ф, удовлетворяющих условию (12), не пусто.
Доказательство. В неравенстве (4), полагая И = п / п, запишем оценку сверху для перечисленных выше п -поперечников
г2,Ж1г„ (Ф). 4) ^ (И*и (ф). 4) ^
її 12
\-і/р
<2т+рпг+Л ^(со^)трЖ
V о .
и покажем, что при выполнении условия (12) шар
Ф(л / п)
(14)
о
о
°2и+1
7112
,-Ир
Тп(х)'-\Тп\^2 т+р пг+р\ ^1(соЫ)тр& Ф(л/п)
V О
принадлежит классу ь (Ф). В самом деле, из (9) для любого Тп е с2п+1 имеем
)(к - 0<(Г„<'>;0Л < 2"'н" ||Г„ I' \(к -1)
i ,\mP
.nt sin —
v 2,.
dt <
nhf( nh Л (л,г V1
< \\ -^--t^mt)7dt\ \ Kco.tr dt <3
Фp {л In) < Ф(h),
которое и означает, что <J2n+\ *— h (®)- Но тогда, используя (7),
имеем
Гг. W£U (Ф)> 4 ) 2,,, (Ф), U ) > Ьъ, (съм,12)>
>
I 711 L
2~m+Jnr+4 | t(cost)mpdt
ч-1 /р
Ф {л / п).
(15)
Равенство (13) получается сравнением (14) и (15).
Условию (12) удовлетворяет, например, функция Ф„(/) — Iй где
л/2 Г л 12 Л 1
a = а(т,р) := — J (smt)mp dt\ J t(cost)mpdt l , (1/r <p < 2, m,r e N).
О I, 0 J
Легко вычислить, что 2 < а < 4,5.
Следствие 3. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любого п е N имеет место
следующее равенство
sup{|a„ü)l,l*„ü)|:/^’(M =
. Ат/2 V1'?
т+— -г+—
I t(cost)mp dt
V О
Ф (л / п).
Поступило15.08.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. - Матем. заметки, 1967, т.2, 5, с. 513-522.
2. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1976, т.20, 3, с. 433-438.
3. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1979, т.25, 2, с. 217-223.
4. Лигун А.А. - Матем. заметки, 1978, т.24, 6, с. 785-792.
5. Юдин В.А. - ДАН СССР, 1980, т.251, 1, с. 54-57.
6. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах - Тула: ТулГУ, 1995, 192 с.
7. Бабенко А.Г., Черных Н.И., Шевалдин В.Т. - Матем. заметки, 1999, т.65, 6, с. 928-932.
о
8. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2006, т.80, 1, с. 11-19.
9. Шабозов М.Ш. - Матем. заметки, 2010, т.87, 4, с. 616-623.
10. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - ДАН России, 2010, т.435, 2, с. 178-181.
11. Шабозов М.Ш., Вакарчук С.Б. - ДАН РТ, 2011, т.54, 2, с. 3-7.
12. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с.
13. Hardy G.G., Littlewood J.E., Polya G. Inequality. 2nd ed. Cambridge: Cambridge University Press,
М.Ш.Шабозов, К.К.Пахлавонов*
ДОИМИ^ОИ аник; дар НОБАРОБАРИ^ОИ НАМУДИ ЧЕКСОН-СТЕЧКИН ВА КУТР^ОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^О ДАР Li
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,
Донишго^и давлатии Хоруг ба номи М.Назаршоев*
Бигзор Ф - функсияи бефосилаи дар [0, оо) афзуншаванда, ки барояш Ф(0) = 0 аст, бо-шад. Барои синфи функсиях,ои дифференсиронидашавандаи даврии
дар L2 кимати аник;и п -кутрхои гуногун барои махдудиятхои муайяни Ф хисоб карда шудааст.
Калима^ои калидй: наздиккунии беутарин - модули бефосилагй - характеристикаи экстремали. -n-кутрХ/О.
THE EXACT CONSTANTS IN JACKSON-STECHKIN’S TYPE OF INEQUALITY
Let <D be a continuous increasing function on [0, oo) for which 0(0) = 0. The exact values of different n -widths of classes o differentiable periodic functions
are calculated in L2 -space undeer the definite restriction on O.
Key words: the best polynomial approximation - modulus of continuity - the extremal characteristic -n-width.
1952,346 p.
M.Sh.Shabozov, Q.Q.Pahlavonov*
AND WIDTHS OF CLASSES FUNCTIONS IN L2
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, M.Nazarshoev Khorog State University
