О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами и точных значениях поперечников функциональных классов в L2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2011, том 54, №2_______________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, С.Б.Вакарчук*

О НАИЛУЧШЕМ ПРИБЛИЖЕНИИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ И ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ ПОПЕРЕЧНИКОВ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ КЛАССОВ В Ь2

Институт математики Академии наук Республики Таджикистан, Днепропетровский университет экономики и права, Украина

Пусть Ф - непрерывная на [0,оо) возрастающая функция, для которой Ф(0) = 0. Для классов дифференцируемых периодических функций

»£!(Ф) = {/е 4Г>:|(А -тІҐ'Г>\tyit < Ф(И)\ 0</г<2л"| в Ь2 вычислены точные значения

различных п-поперечников при определенных ограничениях на Ф.

Ключевые слова: наилучшее приближение - модуль непрерывности - экстремальная характеристика - п-поперечник.

1. Пусть Ь2 = Ь2(\0,2л-]) - пространство измеримых по Лебегу вещественных 2л-периодических функций f, имеющих конечную норму

Г л ^ ^1/2

"'mi

\ь2

-1 Z./J

- \\m\2dx

ТГ J

Vя" о

< оо.

Символом Тп_х обозначим подпространство всевозможных тригонометрических полиномов порядка, не превосходящего п — 1. Известно [1], что для произвольной / е /,2, имеющей разложение в ряд Фурье

f(x) —- + ^ ak cos hc + bk sin кх ,

2 k=1

величина ее наилучшего полиномиального приближения элементами подпространства Тп_г равна

£„(/) = inf \f=

,1/2 2 I

{к=п

Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected].

где р1 '.— а2 +Ьк; Л'н , (/) - частная сумма порядка п-1 ряда Фурье функции /. Под модулем непрерывности т -го (да е N) порядка функции / е Л2 понимаем величину

®»(/»0 = 8ир ||А"(/)||:|/г|</ ,

где

к-0

ґт^

\к;

/(х + кК)

есть конечная разность т -го порядка функции / <е Л2 в точке X с шагом /г.

Под Г2 (геЖ+;/у°=^2) понимаем множество 2л--периодических функций / е /,2, у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные г -го порядка принадлежат пространству Ь2.

При решении экстремальных задач теории аппроксимации в пространстве Ь2, связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкина

Е„_,(Г)<Хпгшт(Г\11пу,1> 0,

где / е Г-2, т <Е М, геЖ+, / <0) = /, рассматривались различные экстремальные характеристики, способствовавшие уточнению оценок сверху констант X (см., например, [3-7] и приведнную там литературу). В частности, Н.И.Черных в работе [1] отмечал, что поскольку функционал

2

^ и J

меньше джексоновского функционала со^/,п / п) (У # сопя!) то, по-видимому, он более естественен для характеристики величин наилучших полиномиальных приближений Еп_х (/) периодических функций в Ь2. Исходя из сказанного, например, в [4] была рассмотрена следующая экстремальная характеристика

пгЕ„_х{Л

хп,пМ'= 8иР

Мг) (н

(1)

J Ьі-,2 і*

|^/я!(/(г),Г)£Й

40 ,

и показано, что при 0 < И < л / (2и); и, да є N и г є Z+ справедливы равенства

' Л /7

-------“-------

2{пі - ьіппі) ]

При этом полученная в [4] точная оценка величины (1) в определенном смысле обобщила один из результатов Л.В.Тайкова (см. теорему 1 из [2]) на случай произвольного модуля непрерывности т -го (да = 2,3,...) порядка.

В качестве модификации (1) рассмотрим следующую экстремальную характеристику

7 (И) := Бир-----------П ^----------------г; к > 0.

/Ст,п,Л ' г ь(г) /к ^тП

/^,Л ^Н-ї)со2тт(/<г\іуіі

Теорема 1. Пусть ш,яєМ; rєZ+. Тогда для любых чисел И, удовлетворяющих условию 0 <к<л I п, справедливы соотношения

У {И) = к~т\\-

/I тм.г 4 '

-у \ -т/2

Ґ2$т(пк/2)Л пИ

2. Через Ьп(Ш1,1.2), с!"(Ш1,1.2), с!п(Ш1,1.2), 5п(Ш1,Л2) и Пп(Ш,Ь2) обозначим соответственно бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный п -поперечники некоторого центрально-симметричного компакта ЭД! в пространстве Ь2. Указанные п-поперечники связаны в £2 следующими соотношениями [3, 4, 7]

Ъп{Ж,Ь2) < а\Ш,Ь2) < с1п{Ж,Ь2) = 5п{Ш,Ь2) = П„(Ши2)-Также полагаем Еп(УЛ) := эир[/'-„(./): / є ЭД1}.

Непрерывную возрастающую на полусегменте [0, оо) функцию Ф такую, что Ф(0) = 0, будем называть мажорантой. Множество всех мажорант обозначим символом 91. Через О-!,., где к є М, обозначим множество мажорант Ф є 9Т, для которых на полусегменте (0, л\ выполняется неравенство

/7/ Ф(/,) < 12Ф(12); 0 < /, < 12 < л.

Для произвольных чисел г,даеМ и 0 < И< 2 л введем в рассмотрение следующие классы функций

К'Ф) := |/ є Ер: )ф-і)а;;-(/"’,іуіі < А,

V 0<Л<2*1,

где мажоранта Ф є (У12.

Имеют место следующие теоремы и следствия из них.

о

Теорема 2. Пусть га,п,геК, и для величины к>0 выполнено условие 0 <пк<7Т. Тогда справедливы равенства

Р2,Ж)т,ь2)=рЖ\щ,12)=

(Л))11-

Ґ 2 $т(пк/ 2)^2

-т/2

пк

где /?„(•) - любой из перечисленных выше п-поперечников.

Следствие 1. При выполнении условий теоремы 2 для любого иеМ имеет место равенство

зир{| <,„(/) 1,1 *„(/) |: / є </>(/,)} = п-'Ъ-\ 1 -

^ 2 $іп(пк/ 2)^2

-т/2

пк

где ап{/) и Ьп{/) соответственно косинус-и синус-коэффициенты Фурье функции /. Теорема 3. Пусть мажоранта Ф е 912 удовлетворяет условию

ф(К) 1 \(пК)2-2(\-со$>пК), если 0<Н<тг/п,

Ф(я/п) я —4 I л2-4 + {пк-я)2, если /г>п/п.

Тогда для любых чисел т,иеК и справедливы равенства

(2)

Ргакт-,Ч)=РгЖ:т>Ч)=

=Е.жіт=^

1 ІҐ

т/2

пг ж -4

где р(-) - любой из п-поперечников, перечисленных ранее. Множество мажорант, удовлетворяющих условию (2) не пусто.

Следствие 2. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда для любого п е N имеет место следующее равенство

8ир{| а (/) |,| *„(/) |: / е »ї:>(Ф)} = Л|~4—Л ф

п \п -4

ЛИТЕРАТУРА

1. Н.И.Черных, Матем. заметки, 1967, т.2, №5, с. 513-522.

2. Л.В.Тайков, Матем. заметки, 1976, т.20, №3, с. 433-438.

3. С.Б.Вакарчук, Матем. заметки, 2005, т.78, №5, с. 792-796.

4. С.Б.Вакарчук, Матем. заметки, 2006, т.80, №1, с. 11-18.

5. М.Ш.Шабозов, Матем. заметки, 2010, т.87, №4, с. 616-623.

т/2

Поступило 05.01.2011 г.

6. М. Ш.Шабозов, ГА.Юсупов, ДАН России, 2010, т.435, №2, с. 178-181.

7. В.М.Тихомиров, Некоторые вопросы теории приближений. - М.: МГУ, 1976, 325 с.

М.Ш.Шабозов, С.Б.Вакарчук*

ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ БЕ^ТАРИНИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАВРЙ БО ЁРИИ БИСЁРУЗВАХ,ОИ ТРИГОНОМЕТРЙ ВА ЦИМАТИ АНИЦИ ЦУТР^ОИ СИНФ^ОИ ФУНКСИОНАЛЙ ДАР Ь2

Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон,

*Донишго%и ицтисодй ва %укуци Днепропетровск, Украина

Бигузор Ф - функсияи бефосилаи афзуншаванда дар [0, оо) бошад, ки барояш Ф(0) = 0.

Барои баъзе синфи функсиях,ои дифференсиронидашавандаи даврии

W{^2 (Ф) = j / е 1^2 '• 'm(f<r)',t)dt < Ф(/г); 0</г<2л-[ дар Ь2 кимати апики «-кутрхои

гуногун барои мадудиятхои муайяни Ф хисоб карда шудаанд.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - модули бефосилаги - характеристикаи экстремали -n -цутр^о.

M.Sh.Shabozov, S.B.Vakarchuk*

ON THE BEST APPROXIMATION OF PERIODIC FUNCTIONS BY TRIGONOMETRIC POLYNOMIALS AND EXACT VALUES OF WIDTHS OF FUNCTIONAL CLASSES IN L2

Institute of mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,

*The Dnepropetrovsk University Economics and Law, Ukraine

Let Ф be a continuous increasing function on [0,oo) for which Ф(0) = 0. The exact values of different n -widths of some classes of differentiable periodic functions

W^l (Ф) = |/ є Z(2r) : J(/z - t)cu^m (/(r) \t)dt < Ф(h); 0 < h < 2Я" j are calculated in L2 -space undeer the

definite restriction on Ф.

Key words: the best polynomial approximation - modulus of continuity - the extremal characteristic -n-width.

S9