CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2012, том 55, №4_________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов
О ПОПЕРЕЧНИКАХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ КЛАССОВ СВЁРТОК В Ь2
Институт математики АН Республики Таджикистан
В статье найдены точные значения поперечников для некоторых периодических классов свёрток в гильбертовом пространстве Ь2.
Ключевые слова: наилучшее полиномиальное приближение - точные константы в неравенстве типа Джексона - модуль гладкости т-го порядка.
1. Обозначим через [0,2 л] пространство измеримых в смысле Лебега 2л -
периодических действительных функций / (х) с конечной нормой
1/2
В данном сообщении мы изучаем некоторые вопросы наилучшей полиномиальной аппроксимации периодических функций /(х) е Х2, представимых в виде свёртки
2 Ж
/(x) = (К * <p)(x) = — I" К(x -1)p(t)dt 2 ж і
(1)
где K(t) є L , ^(t) є L2 - 2ж -периодические функции с рядами Фурье
і 2ж
К(t) ~ 2 afillt,a =— f К(t)e~'ltdt, l = 0, ±1, ±2, ±3,... ;=-І 2ж і
(2)
і 2ж
<p(t) ~ 2 Ъ1е'и,Ъ = ^ j p(t)e~Mdt, l = 0,±1,±2,±3,...
l=-» 2j A
(3)
Для (р(1) е Ь2 через Ат (<р\ И) обозначим £2 - норма разности т -го порядка с шагом И
К (¥,h) =
С m''
і =0
V k У
dx
1/2
и определим модуль непрерывности m -го порядка функции (p(t) є L2 равенством
®m О; 5) = sup{A m(^; h) ^ h |< 5}.
Лдрес ¿ля корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063,Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: [email protected]
Множество всевозможных тригонометрических полиномов порядка не выше п обозначим
т. = {Тп: Т(I) = £ ске'“}•
| к|<п
Величина
Е. (/) = Е( /, Гп_х) = Ы{| / - Т„_ Л: ) е Т.-}
означает наилучшее приближение функции /(х) е £2 подпространством Тп_ 1 • Из разложения (2) и (3) непосредственно следует, что
+0
а
к=-0
/(г) - 2 аАе'к' • (4)
ї1/2 |2 I
Хорошо известно, что наилучшее приближение функции / (х) подпространством Тп1 реализуется частной суммой
п-1
^і(. 1; х) = 2 аАек
к=-п+1
ряда Фурье (4). При этом
Еп(/) = ||/-Я-іСОІ = 121 аА і | •
[ і к | >п ]
При исследовании задач теории аппроксимации в £2, связанных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона
Е.(/) <хп-гю„ Г/('),], /(х) е £, ‘ > 0,
рассматривались различные аппроксимационные характеристики, приводящие к уточнению оценок сверху констант % (см.напр. [1-10]).
В данном сообщении при изучении аппроксимативных свойств свёртки (1) рассматривается экстремальная характеристика следующего вида
■>т
хт,„,Р,у(И)й/ = Бир / , 2 |ап 1 Еп(1\і/я, (5)
ф-ф еотіфе^ 1 (*И
1Тк \1/ р’
1|о (оРр (ф; і)біпг пійі І
где т, п е М, у > 0, 0 < р < 2, 0 < И < л / п, ап — коэффициент Фурье функции К(і), определённый равенством (2).
Теорема 1. Для произвольной функции К($) е £2, коэффициенты Фурье которой удовлетворяют условию | а И 0, | а I кУр >| ак+1 | (к + 1)1/р, к > 1, 0 < р < 2 при любых ш, п е N и произвольных у > 0, 0 < к < я / п, справедливо равенство
Х
т,п, ру
(И) = 11 БІЙ 1 БІЙ7 піЛі І
-1/р
(6)
Существует функция / (х) є £2, представимая в виде свёртки (1), для которой достигается верхняя грань в (5), реализующая равенство (6).
Доказательство. Очевидно, что для функции (р(і) є £2 с рядом Фурье (3) справедливо неравенство
N,1/2
а
,(о і) >Д„ (о і) > 2" 21К |2(1 - соб щ
|к|>п
Воспользуемся неравенством (см., например, [12], стр.104)
(и ( И/2 И Ии
/2/(')|2 л > ЕІ/шогк
Имеем:
0 У к >п
1/2
|к|>п у о
, 0 < р < 2.
И
|ар (о; і )віпу пійі
\і/р
>
>
И І
2” п2і К |2 (і - соб кі )т(БІп пі)
1 р/2 Л1/р
2 у/р |
Лі
0 1|к|>п
>
> 2т
А И
1/2
2 і К ір { (1 - соб кі)тр/2 біпу піЛі
|к|>п V п
В работе [10], в частности, доказано, что функция натурального аргумента
И
(р(к) = к| (1 - соб кі)тр 2 біпу піЛі
(7)
(8)
является монотонно возрастающей по к в области Q = {к :| к |> п} , поскольку при указанных в формулировке теоремы ограничениях относительно параметров р, к, у производная (р'(к) > 0, а потому
о
min{p(k) : к є Q} = p(n) = n J(1 - cos nt)mp/2 siny ntdt.
(9)
Таким образом, из (8) и (9) следует, что при к > n справедливо неравенство
I (1 - cos kt)mv!1 sinr ntdt > ПI (1 - cos nt)mp 2 sinr ntdt. (10)
0 к 0
По условию теоремы коэффициенты Фурье {а } ряда (2) удовлетворяют неравенству
| а IПР >| а I 'кУр, к > п, 0 < р < 2, откуда получаем п / к > (| а | /1 а I)Р, а потому из (10) следует, что
J" (1 - cos kt)mp/2 sinr ntdt > — I (1 - cos nt)mp2 sinr ntdt.
p*
Используя последнее неравенство, продолжим (7):
> 2
m/2
( ( ph J 2/p Л
2 |k |>n V I bk Ip —k — J(1 - cos nt)mp/2 sinr ntdt
V n 0 J J
1/2
2m í *( . n^mp
у/p
11/2
—,
sin — I sinr ntdt ' i 2 I —b
n IV 0
Ik I>n
—
h Ґ f\mP
sin ^ J sinr ntdt
N1/p
• En (f),
откуда сразу получаем
2m I —n I-1 En (f) ,| h í . nt
\ mp
-1/p
'h V'p -|í[sin7J sin’’ntdt\
Jwp (p; t )sinr ntdt 0
или что то же
Xm,„,p,r (h) ^ j J(sin Y I sin"ntdt
-1/p
(11)
Этим мы получили оценку сверху для величины (6).
Для получения оценки снизу указанной величины достаточно рассмотреть в £2 функцию ( свёртку)
h
0
m
2
fo(X) = (К*%)(*) = , %(0 = ^,
воспользоваться определением величины (6), а также легко проверяемыми соотношениями
Í \т
En Ш =1 an Oo lt) = 2" í sin nrj ’ 0 < П
В самом деле, имеем
J^m (p0;t )siny ntdt
\1/p
h^ ,\mp
sin J siny W¿d¿ !
-1/p
(12)
Требуемое равенство (6) вытекает из сопоставления оценки сверху (11) и снизу (12), чем и завершаем доказательство теоремы 1.
2. Обозначим через (Ж> Ц ), йп (Ж> Ц), (Ж> Ц) \ (^, Ц) и жп (ЭД, Ц), соответственно,
бернштейновский, гельфандовский, колмогоровский, линейный и проекционный п -поперечники некоторого выпуклого центрально-симметричного компакта N в пространстве Ц (см.напр. [11,12]).
Указанные п -поперечники монотонны по п и в гильбертовом пространстве Ц связаны соотношениями [11,12]:
ъп (N ь2) < dn (N, l2) < dn (N L) = A (N L) = *n (N A).
(13)
Для m, n є N, произвольных 0 < p < 2, y> 0 и 0 < h <n / n в пространстве L2 определим класс функций
F = F(m, n, p, y, h) = J f (x) = (K * p)(x) : I J < (P Ґ) siny n¿d¿
ЧІ/p
< 1
где
Теорема 2. Лри любых m, n є N, 0 < p < 2, y> 0 w 0 < h <n / n справедливы равенства
P2n (F L2) = An-1(F L2) = En (F) = 2^ I an \Zm,n,p,y (h), 0 < p < 2, (14)
En(F) = sup{En(f); f Є F},
рп (•) - любой из перечисленных выше п -поперечников Ьп (•), (•), (•), Аи (•) или жп (•). В частно-
сти, если И = ж / п, то
Ап(^;Ц) = Р2п^;Ц) = Еп(Г) = 2-" I « \Xrnn,п(к!п) =
і/р
Г( =+г+і)
где Г (и) - гамма-функция Эйлера.
Доказательство. Из неравенства (10) для произвольной функции /(х) е Е имеем:
Еп (^) = 8ир{Еп(/): / е ^} <
-1/р
- Г" 1 ап пг) ^ = Г" 1 ап І^п,Р,Г (П)
откуда, учитывая соотношение (12), получаем оценку сверху для всех вышеперечисленных поперечников
Р2п(^; 4) <Р2Л^;Ь2) < Еп(^) < 2—т I ап \*т,я,Р,(И).
С целью получения оценки снизу в подпространстве Ти рассмотрим шар
(15)
В„1 = {Т(х) е Т„: ||Г„| < 2—т\ а, \ х„,„ (*)}
и покажем его принадлежность классу ^.
п
Пусть Тп(х) = ^ скегкх е 02п+г Так как, согласно условиям теоремы 1, а ^ 0. к = -п.....п.
к=— п
п
то функция ^ (с^ / а)еЛ удовлетворяет свёртку
к=—п
2к
Тп (х) = — [ £(х — і)р(і)йі, 2к і
и мы должны доказать, что
п
| ар (р; X) біп^ пійі
\і/р
-1.
Для этого воспользуемся неравенством [12, стр. 104]
(<р; 1)- 2" ( ®іп п
I
к=— п
а
Л
1/2
(16)
Из неравенства (16) непосредственно получаем
п
(ф; і ) біп7 пійі
N1/р
<
2“ И [ \І . пі
1/р
11 біп —1 біп 7 пійі
< 1.
Таким образом, доказано, что &2п+\ ^ ^ • Из доказанного включения, соотношения (13) и определения бернштейновского поперечника следует оценка снизу
р2п(^;Ь2) > Ъ2п(^;Ь2) > Ъ2п(В2п+„Ь2) > 2-“ | « I (П).
(17)
Из сопоставления неравенств (15) и (17) получаем равенство (14), чем и завершаем доказательство теоремы 2.
Под Ж*г)£2 (г є N. Ж(0)£2 = ^) понимаем класс функций /(х) є £2, у которых производные (г — 1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные /(г) (х) є и удовлетворяют ограни-
чению
( г )
< 1.
В [11, стр.36] доказано, что для функции /(х) є Жг)^ справедливо представление
л 2п л 2тт
/(х) =—1 /(і)йі+- Г ©(х—і)/1''(і)йі,
77Г •> 7Г •>
2ж ^
где © (и) - 2п -периодическая функция, определённая равенством
оо$(ки — жг / 2)
© (и) = £■
к=1
кГ
Положим
г) ^ г) (“; п; р; 7; П) = ] /: / є Г(г)Ь2,1 }< (/(г); і) біп7 пійі
\1/р
< 1
Так как для /(х) е ЖгЬ2, | ап |= и г, тоиз условия | а I ]1р >| а+1 I (У + 1)17/ вытекает,что р > 1 / г, и мы приходим к следующему утверждению.
Теорема 3. При любых т, п е М, 1 / г < р < 2, 0 <^< гр — 1 и 0 < к < я / п справедливы равенства
Рг„(^г);¿2)=^2п-1(^г);¿2)=^(^г))=2—тпгХт,п,р.Ш
В частности, если к = я / и, то имеем:
Рг„ (^г); ¿2)=Ли— <г); ¿2)=^и (^г))=2—т и-гх„,п. р.г (я / и)=
—(“+—) — Г+—
= 2 ' р ) п р ^
г( “р+—+1 )г(—+1)
г( “Р + 7 +1)
Отметим, что при у = 0 результат теоремы 3 для колмогоровского поперечника ранее получен в монографии [12, с.102].
Поступило 08.02.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Черных Н.И. - Мат. заметки, 1967, т.2, №5, с.513-522.
2. Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.
3. Тайков Л.В - Мат. заметки, 1979, т.25, №2, с.217-223.
4. Лигун А.А. - Мат. заметки, 1978, т.24, №6, с.785-792.
5. Вакарчук С.Б - Мат. заметки, 2001, т.70, №3, с.334 - 345.
6. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2005, т.78, №5, с. 792-796.
7. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2006, т.80, №1, с. 11-18.
8. Шабозов М.Ш. - Мат. заметки, 2010, т.87, №4, с.616-623.
9. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - Мат. заметки, 2011, т.90, №5, с.764-775.
10. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. - Сиб. мат. ж., 2011, т.52, №6, с.1414-1427.
11. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений - М.: МГУ, 1976, 325 с.
12. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, 1985, 252 с.
М.Ш.Шабозов
ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ^ОИ ДАВРЙ ДАР ФАЗОИ Li
Институти математикаи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Дар мацола барои баъзе синфи функсияуои даврй дар фазой Ь2 цимати анщи цутруо ёфта шуда-анд.
Калима^ои калиди: бисёраъзогии наздиккунии беутарин - доимиуои аниц дар нобаробарии намуди Цексон - модули суфтагии тартиби n -ум.
M.Sh.Shabozov
ON VALUE OF WIDTHS OF SOME PERIODICAL FUNCTIONS IN L2 SPACE
Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan In this paper for some classes of periodical functions were found an exact values of widths in L2
space.
Key words: best polynomial approximation - exact constants in Jackson-type inequalities - modules of continuity of m-th order.
