CC BY
30
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2008, том 51, №10______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Г.А.Юсупов, М.М.Миркалонова О ТОЧНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ и-ПОПЕРЕЧНИКОВ НА КЛАССАХ ФУНКЦИЙ, ЗАДАВАЕМЫХ МОДУЛЯМИ НЕПРЕРЫВНОСТИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 28.07.2008 г.)
1. В работе изучаются аппроксимативные свойства аналитических в единичном круге функций
/ (2)=2 с^к ,2 = ре ,0 < р < 1
к=0
в метрике пространства Харди Нр ,1 < р < да, с конечной нормой
(2л Л 1р
йт 1^ №<ре"^Ч <да
нр р^-1-0 2ж
0
Известно, что норма функций пространства Нр ,1 < р <да реализуется на угловых граничных значениях, которые мы в дальнейшем обозначим /(*) = /(ви) = Нт /(рва). В слу-
рй1-0
чае р = да будем предполагать, что /(7) является непрерывной в замкнутом круге | 7 |< 1. Обозначим через /(г) (2), г е N производную г -го порядка аналитической функции /(7) по аргументу * комплексного переменного 2 = р • вхр(И), то есть
/Ш(2)*=<Ш = /й •& = /»>(2) • 2!,/(г)(2) = /-"(2)}‘‘),г > 2.
Обычную производную г -го порядка обозначим /(г)(2) = ёг/ 1й2г.
Под Нгра понимаем класс аналитических в круге 121< 1 функций, для которых /г}(2) е Нр, а Нгр есть аналогичный класс функций с производными /(г)(2) е Нр. Структурные свойства функции /(2) е Нгра характеризуем скоростью стремления к нулю модуля непрерывности т -го порядка
®т (/а ) ; *) р = || Ат (/а Г) ;•, и)||^ : \и\ < *1 =
да
= sup
( л 2л
-Ц
2л 1
Z (-1)ксту "V(x+k" >)
к=0
ч1/р
dx
: и < t
производной /(г ’(в1 ), задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усредненной величины тт (/(г’; /) . Аналогичным образом, охарактеризуем структурные свойства функ-
ции f (z) е Иг посредством модуля непрерывности тт (f(r); t)
В частности, используя равенство Парсеваля, для произвольной функции /(г) е Иг2а П Щ получаем
®l(far) ; t)2 = 2<” SUP |Z к2Г\Ск\ С1 - C0S ки)т :l и l< th
(f{r);t)2 = 2m suP \ Z ^k;lck| С1 - cos(k - r)u)m :| и |<
(i),
Ik=r+1
где akr = k(k -1)... (k - r +1) := k!{(k - r)!} 1, k > r.
Пусть Pn означает подпространство алгебраических комплексных полиномов степени < n. Наилучшее приближение функции f (z) е Ир, р > 1 множеством Рп_х обозначим
En (f )Ир = inf {||f - .Pn-ilир : Pn-1(Z) е^П-1
Сформулируем основную теорему, в которой устанавливаются экстремальные равенства между наилучшими приближениями функций f (z) е е Игра П Игр ,1 < р < 2 и усредненными модулями непрерывности m -го порядка граничных значений производных fr)(z) Ф const и f(r)(z) Ф const.
Теорема 1. Для любой функции f (z) е Ирра П Ирр ,1 < р < 2 при всех m, n, r е N, соответственно, для 0 < и < Л2n и 0 < л/2(n - r), n > r имеют место равенства
2mnrEn (f)p
sup
f еИра
‘ f^f); 2t )2 h +
-1
sin — J dt 2и
и
f (sin nt )m
1 +
2 "I
1 л 1-1 • 't 1 ,
1 — sin — J dt
^ 2 m 2и J
(2)
и
0
Бир -
/еИ' и
2та Е (/)
п' п\^ ' р
К( /,г); 2і )г
1 +
^ п V 2(п - ')и
-1
БІЙ
п-
2и
Л-
| (БІп(п - ')-)
1+
( п V 2(п - ' )и
-1
БІЙ П-\ &ї\ , П > '.
2и
(3)
Верхняя грань в соотношениях (2) и (3) реализует функция /„(г) == гп е Пнр,1 < р < 2.
Доказательство. Не уменьшая общности, докажем равенство (3), поскольку доказательство равенства (2) основано на аналогичных соображениях. В самом деле, учитывая равенство (1) и воспользуясь неравенством
\1/ 2 (
||ЕШ-)1! &>£і|іЛ(-)|а
1/2
к > п у о
, И > 0,
будем иметь
и I
\ш„ (/'); 2-), і 1+
Ґ Л2
п
2(п - ' )и
-1
БІП-
п-
2и
>Л- >
>
|(2т ^а1\ск Г(1 - С08 2(к - ')-)
х і
0 к =п
1 +
п
2(п - ')и
-1
БІП-
п-
2и
[):/2 Л- >
>(2т ^ (акг К11 (1 - С08 2(к - ')-)т/ 2 х і1 +
к=п
п
2(п - ' )и
-1
БІП-
п-
2и
Л-)2)1/2 =
да и I
: 2т/2{/ |/ (Ї (1 - С08 2(к -г)-)т/ 2 х і1
п
2(п - ' )и
-1
БІП-
п-
2и
Л- )2}
2->1/2
(4)
Средствами дифференциального исчисления легко установим, что функция натурального аргумента
У(к) = акг | (1 - С08 2(к - ')-)т/2 - і1 +
Ґ
п
V
2(п - ')и
-1
БІП-
п-
2и
>Л-
0
т
0
2
и
т
и
0
0
и
0
при к > п > г является строго возрастающей, поскольку для х > к всегда у (х) > 0, а потому имеем т/п{у(к): к > п| = у(п). Учитывая это обстоятельство и тот факт, что для 1 < р < 2 согласно неравенству Г ельдера
Е(/)р <Е(/)2 =Е|
11/2
'к\ [ ’
(5)
продолжим неравенство (4)
> 2т/2 апг | (1 - соб 2(п - г)Х)т/2 х < 1 +
ж
2(п - г)и
-1
. жХ
бш— 2и
11/2
[ к =п
и I
= 2"апг |(§т(п - г >)т •*!1
ж
2(п - г)и
-1
бш-
жХ
2и
( • Еп (/)
2’
откуда с учетом (5) для всех 1 < р < 2 получим неравенство
2та Е (/)
пг п\Л ' р
и
(/(г); 21 )2
1 +
2
ж
2(п - г)и
-1
<
жt
2и
<
| (эт(п - г)Х )т •< 1 +
ж
2(п - г)и
-1
бш-
жХ
2и
(6)
Точность неравенства (6) для функции / (г) = хп е Иг ,1 < Р < 2 проверяется непосредственным вычислением, чем и завершаем доказательство теоремы 1. Из теоремы 1 в качестве следствие получаем
Т еорема 2. Для любых т, п, г е N,1 < р < 2 и произвольного це 7+, ц > 1 справедливо равенство
2тпг-1Еп (/) р
| ®т (/а ) ; 2Х)2 [1 + (ц2 - 1) ЦПХ
ёХ
С ж 2ц
| (эт X)т • 1 + (ц2-1) эт цХ
ёХ!
(7)
Если же п > г, то также верно равенство
и
0
0
0
0
8иР Л2ц(п-г) /єНР
2тат (п - г)-1 Еп(/),
| ®т (/(г);2/)2 [1+(г2 -1)8Іп г(п - г)/
й/
С Л 2ц
| (бІПІ)“ • 1 + (Г-і)БІП ц
йі!
(8)
Верхнюю грань в соотношениях (7) и (8) реализует функция /0 (г) = гп. Следствие 1. В условиях теоремы 2 справедливо равенство
8иР л/п
/ є Н'РА
2тпг-1 Еп (/) р 2та„ (п - г)-1 Еп (/) р_ (2т -1)!!
= Бир
л/ (п-г)
|®т(/Г; 2і)гЛ /'Н I <0т(/<’): 2і)2л 2Г
Л \ ’
т +1 і
(9)
где Г(и) - гамма-функция Эйлера.
Отметим, что из равенств (7), (8) и (9) вытекают некоторые результаты работ [1] и [2] соответственно при т = 1, т = 2 и ^ = 1.
2. В этом пункте мы вычислим точные значения п -поперечников для некоторых классов функций в пространстве #2, обобщающих аналогичные классы функций, изучавшиеся в [1] и [2].
Пусть Ф(Х), X > 0 есть произвольная возрастающая непрерывная функция, такая, что Ф(0) = 0. Используя Ф(Х) в качестве мажоранты, для 0 < и < < я/2 введем следующие классы функций
С :=ж; (г,Ф,м) =
/(г) Є Н2,а ■ I ®т(/а )> 2І)2 • 1 + (Г -1) БІП Л
2и
й/ < Ф(и)!
К ~ К (г.Ф.ц) =
/(і) є Н : I (/" >, 2/)2 -1 + (/г -1) біп Л
2и
где т, п е N и /ие ,^> 1 - произвольное фиксированное число.
Пусть ^ (М, X), Ьп (М, X), ^п (М, X),\ (М, X),^и (М, X) соответственно колмогоров-ский, бернштейновский, гельфандовский, линейный и проекционный п -поперечники выпук-
0
0
0
лого центрально-симметричного множества М в банаховом пространстве X (см.напр., [3],
[4]).
Известно [4], что
Ъп(M,Нр) < <Лр(M,Нр) < —(M,Нр).
Положим
(sin x). = {sin x, еслиО < x < —2; 1, еслих > —2}.
Теорема 3. Если для любых m, п, r є N с заданным и> 1 и при любых О < v < Г2, соответственно для и = Г2уп и и = Г2и(п - r), п > r мажоранта Ф(x) удовлетворяет условию
m
Г '
^u)f|sin — ^1 + (и2-1) sin —
f I 2ии), _ V ’ 2v
dt<
Ф^)П^п------ -1 + (и2-1) sin—
1 2w и) V ’
то для любого натурального n имеют место равенства
dt, (lO)
£ (Wa, Н2) = 2 mn-2 Ф—ип) • Jи,n, (11)
3,(W-,Н2) = 2ma;21Ф(Г1и(n-r)) • JMp_r,n > r,
где
| — I
=j f (sin kt)m ^[1 + (и2 -1)sin уШ ] dt I ,
а с>И (•) - любой из n -поперечников dn (•), Ъп (•), dn Q,A„ (•)или— (•).
Доказательство. Докажем, например, равенство (11). Оценку сверху для проекционного п -поперечника получим из равенства (2), полагая в нем и = Г2уп :
Г (wa, Н 2) < E(wa )н, = sup {E. (Лн, : f є^ j< 2--п-2Ф(—/2ип) • J . (12)
С целью получения оценки снизу для бернштейновского n -поперечника введем в рассмотрение (п +1) -мерную сферу полиномов
Mn+1 = \ Pp (z) є К : IIРп||н2 = 2-Я!п2Ф(—ррр Р
U,p
v
и докажем, что Ми+1 ^ .
В работе [5] доказано, что для любого полинома р„ (z) е Рп имеет место неравенство
( р2 • 2t )2 £ 2"»' (sin nt )" -Ц pi . (13)
Неравенство (13) умножим на
1 + (U -1) sin — v ’ 2v
и проинтегрируем по t в пределах
0 < X < V, затем сделаем замену переменной п = л12^ш и используем норму полинома по формуле радиуса сферы Мп+г. В итоге, учитывая условие (10), приходим к неравенству
(РРГ1а , 2t)2 • 1 + (и2 -1)
. nt -1) sin — 2v
dt <
<
Ф(и)| I
sin-
Г 2 uu
1 + (U -l)sin — v ’ 2 v
dt x
x< sin-
Г 2 uu
1 + (U -1) sin — v ’ 2 u
из которого следует включение Ми+1 ^ .
Согласно теореме о поперечнике шара [3] для бернштейновского п -поперечника,
имеем
Ъп (Ж, Я2) > Ьп (Мп+1, Я2) > Г"п-' Ф(л/2^п) • . (14)
Из сопоставления неравенств (14), (12) и (10) получаем утверждение теоремы 3. Выясним значения а = а(^\ для которых условие (10) выполняется для функции
Ф(и ) = иа.
Теорема 4. Для того, чтобы неравенство (10) имело место с любым заданным ц> 1,: е И, необходимо и достаточно, чтобы число а = а(ц) определялось по формуле
nt
t sin
n
a(u) = 1 + m • —• -°-2U
2U.
cos
nt
2U
1 + (U -1)
nt
-1! sin — 2
dt
nt^m
sin
2U,
1 + (U -1)
. nt - 1) sin — 2
dt
Легко подсчитать, что
a(1)=■
(2m -1)!!
2m Г
m +1
■ • V—, lim a(u) = m +1,
v
О
m
О
-1
m-1
О
где Г(м) - гамма-функция Эйлера. Таким образом, для /л> 1 имеем следующие границы значений
I— (2т — 1)!!
Ыл-------г------г- <а(^) < т +1.
2тГ [ т +1
Таджикский национальный университет Поступило 28.07.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1986, т.40 3, с.341-351.
2. Айнуллоев Н. - В кн.: Геометрические вопросы теории функций и множеств. Калинин, 1986, с.91-101.
3. Тихомиров В.М. - УМН, 1960, т.15, 3, с.81-120.
4. А^Лш. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer Verlag, 1985, 291 p.
5. Шабозов М.Ш., Юсупов Г. - ДАН России, 2002, т.382, 6, с.747-749.
Г.А.Юсупов, М.М.Миркалонова ДАР БОРАИ ЦИМАТИ ^АНИЦИ л-ЦУТР^ОИ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОЕ, КИ БА ВОСИТАИ МОДУЛ^ОИ БЕФОСИЛАГИИ ТАРТИБИ ОЛЙ ДАР ФАЗОИ ХАРДЙ ДОДА ШУДААНД
Дар мак;ола нобаробарихои ханик;и байни наздиккунии бехтарини функсияхои аналитикй ва модулхои бефосилагии тартиби олй оварда шуда, к;имати n -кутрхои бернштейнй, колмогоровй, гелфандй, хаттй ва проексионии баъзе функсияхо дар фазои Хардй ёфта шудааст.
G.A.Yusupov, M.M.Mirkalonova ON THE BEST EXACT VALUES OF и-WIDTHS OF CLASS FUNCTIONS, WHICH ARE GIVEN BY MODULUS CONTINUITY OF HIGH ORDER IN THE HARDY SPACE
In article has given the exact unequalities between the best approximation of analytical functions and modulus of continuity of high order. And then founded the Kolmogorov, Bernstein, Gel-fand, linier and projective-widths in the space of Hardy.
