Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространствах Харди Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2014, том 57, №7_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

О.А.Джурахонов, М.М.Миркалонова ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В

ПРОСТРАНСТВАХ ХАРДИ

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 12.05.2014 г.)

В работе найдены точные значения бернштейновских и колмогоровских п -поперечников классов аналитических в круге функций Ф) и г)(Ф), принадлежащих пространству Харди.

Ключевые слова: наилучшие приближения - модуль непрерывности - пространства Харди - мажоранта - п-поперечники.

1. Всюду далее, N - множество натуральных чисел; =N^{0}; Ж - множество положительных чисел. Пусть / (г) - произвольная аналитическая внутри единичного круга функция

ад

f (z) = £ ckzk, z = pett, 0 <p< 1, k=0

принадлежащая пространству Харди H , 1 < p < ж, с конечной нормой

= lim

f 1 2* V'P

— J |f(pett)\pdt

V 2* о

< ж.

При этом норма функции / е Нреализуется на ее угловых граничных значениях /(1) := /(в11). Для произвольной / е Нр полагаем

а(/; 2х)р := вир{|| /(1 + в) - /(1 -в)\\р :\в\< х}.

Через Т>п обозначим множество алгебраических комплексных полиномов степени п и равен-

ством

обозначим наилучшее приближение f £ Н элементами рп , е= Vn

Адрес для корреспонденции: Джурахонов Олимджон Акмалович. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail: [email protected]

Математика

О.А.Джурахонов, М.М.Миркалонова

Производную г -го порядка функции /(г) обозначим /(г)(г) :=-, а производную г -го

порядка функции /(г) по аргументу г = ехр(И) обозначим г) (г). При этом / (г) = / (г)гг и = (г>2, геМ).

Всюду далее полагаем

НР, := {/ ^ Н : I/(*)|р„ = 11 /М1Р < 4 Нд = Н

и для г е N Н%:={/еНр:/?><=Нр}, Н? := {/ е Нр : е Нр}.

В работе [1] Л.В.Тайков доказал, что при любых справедливы неравенства

л/п

1 л/ n

f i ^Г); ^ (1)

E 1W ,

4n 4n 0

л/(n-r)

^(f), < ^ i a(flr);^ (2)

4^n,r 0

которые для /0(z) = az", a e С обращаются в равенство.

Всюду далее Ф(t)(t > 0) - положительная неубывающая выпуклая вниз функция такая, что lim{0(t) : t ^ 0} = Ф(0) = 0. Используя функцию Ф в качестве мажоранты, рассмотрим исходя из (1) и (2) следующие классы функций

ОФ) := | f е H£ : i c(f(r); t)pdt < Ф(к)|, Wr)(Ф) := | f е H,): i c(f(r); t)pdt < Ф(й)|,

где h - произвольное положительное число h e M .

Напомним необходимые определения и обозначения. Пусть X - банахово пространство, S -единичный шар в X, M - некоторое выпуклое центрально-симметричное подмножество в X;

L с X - n -мерное подпространство. Величины

Ъп (Ш, X) = sup {sup {s > 0: sS n Z„+x с Mi}: Ln+1 с X},

d (ЯЛ, X) = inf {sup {inf {||f - p\\x : p е Ln}: f е Ш1}: Ln с X}

называют соответственно бернштейновским и колмогоровским n -поперечниками. Эти n -поперечники удовлетворяют неравенству

Ъп (M, X) < dn (M, X). (3)

Если N - некоторый класс функций, принадлежащий X, то положим

Еп_^)x = supE,(/)x : f е ОТ}.

Введём обозначение

(sint\ := {sint, если 0< t <ж /2; 1, если t >ж/2}. Сформулируем основные результаты данной заметки.

Теорема 1. Пусть п,г & N и мажоранта Ф при любом h е К.+ удовлетворяет условию

Ф(-) nT

—>í (sin t).dt. (4)

Ф (ж / n) J0

Тогда имеют место равенства

К(W, Ф);Н,) = dn (w%m,Hp ) =

Множество мажорант, удовлетворяющих условию (4), не пусто.

Теорема 2. Пусть n,r е N, п > г и мажоранта Ф при любом h е М+ удовлетворяет усло-

вию

Ф(ж/ (n - r)) о Тогда справедливы равенства

Ф(Н) {n-T/2

ф(-)-> j (sin t). dt. (6)

bn №Г\Ф); H J = dn г)(Ф); H J =

Множество мажорант, удовлетворяющих условию (6), не пусто. Обе теоремы доказываются одним и тем же методом, а потому приводим

Доказательство теоремы 1. В самом деле, учитывая определение класса г](Ф), из неравенства (1) для произвольной функции / е ^(Ф) получаем

E-(f)- < М f; ъdt < <8)

Из неравенства (8) и соотношения (3) получаем оценку сверху

Математика О.А.Джурахонов, М.М.Миркалонова

К (и£,>(Ф);Я, Л, (ОФ);Я,

С целью получения оценки снизу указанных п -поперечников во множество Рп г\ Нр введём в рассмотрение шар

и покажем, что Sn+1 ^ W( Ф). Используем неравенство [2]

c((pnt); t)р < 2nr^sinnt] IpJlp, (10)

которое имеет место для произвольного полинома рп^Т>п. Из неравенства (10), учитывая определение класса ^^(Ф), для любых рп е Sn+1 и h е М+ имеем

А А /■ ^Л nh/2

Jc((pn)(ar); t)pdt < 2n^|pJ|p j[ sinпг) dt = 4nr-^|pJ|p J (sint).dt <

0 0

<Ф

/■ \ nh/2

Ж '

V n У 0

J (sin t) dt < Ф(А).

И таким образом мы доказали, что Sn+1 ^ W ra)( Ф). Согласно определению бернштейновского

n+1 р,а

n -поперечника, имеем оценку снизу

bn {Wp2(Ф);HP) > bn VSn+1;Hp) ф[Ж |. (11)

Сопоставляя оценку сверху (9) и оценку снизу (11), получаем требуемые равенства (5). Докажем, что функция ф (и) = иа, где а = л / 2 удовлетворяет условию (4). Положив ф в (4), получаем

, л a nh/2

nh

— | > J (sin t).dt. (12)

Ж

Обозначая nh = jлж, 0 < j < да, неравенство (12) перепишем в виде

¡ж/2

ла> J (sint).dt.

Вычисляя интеграл в правой части последнего неравенства, имеем

>

/Л

1 - cos-, если 0 <л< 1,

2

1+ Л (/-1), если 1 </<ад.

ж

Полученное неравенство в случае а = ¡3 +1 = — доказано в работе [4], чем и завершаем доказательство теоремы 1. Из теоремы 1 вытекает

Следствие 1. В условиях теорем 1 и 2 справедливы равенства

К (»Р2(ф.); Hp\=dn (W<2(®.); HpJ=Ejyrpr№.) )p=1 лл/2п--(л/2)+1

b„ [ Wг)(Ф,);Я \ = dn [ Wг)(Ф,);Я ) =

En-!(Wp(r )(Ф,) ) =1 лл/2 ("nr )-1 (n - r)-(*/2)+1.

' р 4

Символом Н^ (1 < q < ад, 0 < р < 1) обозначим пространство Харди аналитических в круге \ г \< р функций /(г), для которых

II/(г)||,,р :=1 /(Рг)\\Р <®.

Используя схему рассуждения работы Л.В.Тайкова [1], неравенство рп |ри|| < ||Ри|| , справедливое для произвольного рп £ ^, а также соотношения [4]

Еп_х{Л^р<рппгЕп_х(1</><ад, 0<р<1,

* Р"<Л-1(/(г)), (1 < р < ад, 0 < р < 1, г е ЖД

легко доказать следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть мажоранта Ф(х) при любых и/еМ, п>г и любого соответ-

ственно удовлетворяет условиям (4) и (6). Тогда для всех и/еМ, п>г справедливы равенства

bn W»; hp,p)=dn w»; Hp,f = Моф )p„ ^^fT-rф'

bn [W г)(ф); h, 1 = dn [гм(ф); h, 1 =

л

v и.

n V p V p,f J n V p v /9 p,f

Л

E -.(WГ'(Ф) ) „ = Ф

л

'p,f 4"n,r 12(n - r) у

Поступило 12.05.2014 г.

Математика

О.А.Джурахонов, М.М.Миркалонова

ЛИТЕРАТУРА

1. Тайков Л.В. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций. - Anal. Math., 1976, т.2, 1, с. 77-85.

2. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана. - Известия АН Республики Таджикистан. Отделение физ.-мат., хим., геол. и тех. наук, 2009, 3(136), с. 7-23.

3. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory - Berlin: Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Tokyo, 1985,252 p.

4. Юсупов Г.А. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций -ДАН РТ, 2013, т.56, №11.

О.А.Ч,Урахонов, М.М.Миркалонова

ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ

ДАР ФАЗОИ ХАРДИ

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола кимати кугрх,ои баъзе синфх,ои функсиях,ои дар давраи вохидй аналитикй дар фазои Харди H , 1 < p < да ёфта шудаанд.

Калима^ои калиди: наздиккунии беутарин - модули бефосилаги - функсияуои аналитики - фазои Харди - п-цутрХ/О.

O.A.Jurakhonov, M.M.Mirkalonova n-WIDTHS OF SOME CLASSES OF ANALYTICAL FUNCTIONS IN HARDY

SPACE

Tajik National University In this work the exact value of n -widths of some classes analytical functions in unit disk in space of Hardy H , 1 < p < да was found.

Key words: the best polynomial approximation - modulus of continuity - analytical functions - space Hardy - n-width.