CC BY
21
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________2008, том 51, №11____________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Г.А.Юсупов
НАИЛУЧШИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ Ь2 [0,2ж] И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ п -ПОПЕРЕЧНИКОВ
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 17.09.2008 г.)
1. Обозначим через £2 [0,2ж] пространство 2п -периодических функций /(х), у которых норма
Г 1 2^ V7 2
2 IK IIL,
л 2Л
- j |f (х)Г dx
о
< да.
Хорошо известно, что если /(х) е Ь2, то величина ее наилучшего приближения подпространством
a n 1
3n-1 = |Tn-1 (x) : Tn-1 (t) =a + Z (ak COs kT + Pk sin kT) j
- тригонометрических полиномов порядка < n -1 в метрике пространства L2 равна
En (f )2 =inf Л f - T„a\\2 : T,_l( x) є З„-1} =
J да і172
HIf-s,-1(f)IL=ЕP[ , (1)
[ k=n J
2 def 2 2
где Sn_j (f; x) - частичная сумма порядка n -1 ряда Фурье функции f (x), а pk = ak + bk.
Символом I2(r = 0,1,2,...;I?2 = I2) обозначим множество функций f(x)єL2, у которых производные (r -1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные r -го порядка принадлежат пространству L2.
Модулем непрерывности m -го порядка функции f (x) є L2 называют величину
def
а
def
(f; t)2 = sup [ ІА(f ;^ v)L :| v |< t},
где
; x, v) =
l=0
8G3
- разность т -го порядка функции /(х) с шагом у.
Применяя равенство Парсеваля, после простых вычислений получаем
2r 2
к2 \ск
к=1
а2 (f(r); t)2 = 2m sup \ £ к2 \ск | (1 - cos ku)m : \u\ < t . (2)
Справедлива следующая
Теорема 1. Для любых натуральных m, n, r(r < n) и всех положительных h,p таких, что 0 < ph <n,1/r < q < 2, r > 1, 0 < у < rp -1 справедливо равенство
2mnrE (/V 1
sup -------------------------77- =----------------------т-. (3)
f (t)GLr2 fh- \q fh Г „.\mq Л q
nt
, Iі
.0 J V 0
I j ®m (f(r), t) sin" Ptdt I j| sin —I sin" Ptdt
Существует функция /0 (х) е Е2, для которой в равенстве (3) достигается знак равенства.
Доказательство. Прежде чем доказать теорему 1, мы докажем, что для функции
н
pk) = krq j (1 - cos kt)mql2 • sin" Ptdt
0
при сделанных в теореме предположениях относительно параметров ц,Р,у, Н выполняется экстремальное равенство
шт{р(к): к > п} = (р(п) =
П П f . \ "*Ч
■nrq J (1 - cos иt)mqlksin" Ptdt = 2mql2 nrq If sin ^ j sin" Ptdt. (4)
В самом деле, вычислив производную от функции p(k) и преобразовав её путем интегрирования по частям, будем иметь
h hi
р (к) = rqkrq-11 (1 - cos kt)mq/2siny ptdt + к2 j"—(1 - cos kt)mq/2siny ptdt = о 0O
h hi
= rqkq(1 - cos kt)mq/2siny ptdt + k72 J—(1 - cos kt )mq/2t siny 2tdt =
о 0 dt
rqkrq 1 j (1 - cos kt)mql2 sin" Ptdt + krq 1{h sin" Ph(1 - cos kh)
mql 2
h
- j (1 - cos kt )mql 2 ^ sin" Pt + "P sin" 1 Pt cos Pt J dt} ■■
h
■■ krq- \h sin" Ph(1 - cos kh)mql + j (1 - cos kt)mql2[(rq -1) sin" Pt -
h
-"Pt cos Pt]dt} = krq-\h sin" Ph(1 - cos kh)mqn + j(1 - cos kt)
mq 2
х sin" 1 Pt • Pt
sin" Pt (rq -1)——---" cos Pt
dt} > 0.
(5)
Поскольку для 0 < Рt <ж и 0 < t < Н справедливо неравенство
sin Pt
~PT
- cos Pt > 0,
то из (5) следует, что р (к) > 0, а потому выполнено равенство (4).
Теперь переходим к доказательству теоремы 1. С этой целью, воспользуясь упрощенным неравенством Минковского ([1], стр.32)
f h f да A ql 2 j1lq f да f h
ПЁ1 f (Of dt >jr||| f (t)| 'dt
K 0 v k=n J J ^ k=n V 0 J J
1l 2
, h > 0,0 < q < 2,
с учётом соотношения (2) для 1/2 < q < 2,2 > 1 получаем
Ylq ( h
л ql 2
j а" (f<r); t )sinr Ptdt > 2m ]Г к2r pp (1 - cos kt )ml sin7 Ptdt
1 lq
>
>
h да ql2 1lq
jj 2m ]Г к2r pp (1 - cos kt )m(sin" Pt) q > dt
>
>2
ml2
да I h I
Х T krqpqk j (1 - cos kt )mql2 sin" Ptdt I
2lq\
1l 2
=n I 0
= 2'
ml 2
да I h I
Х pp J nrq j (1 - cos nt)mql2 sin" Ptdt.
27'Л
1l 2
k=n I 0
(б)
h
0
0
0
Используя равенства (4) и (1), из неравенства (6) имеем
1/2
mq
sin7 Ptdt En (f )2 >
J
откуда
• sin7 /3tdt
J
(7)
Простое вычисление показывает, что в неравенстве (7) для функции f (x) = cos nx e L2 достигается знак равенства, чем и завершается доказательство теоремы 1.
2. Пусть S - единичный шар в L2; M - выпуклое центрально-симметричное подмножество из L2 : Лп с L2 - n -мерное подпространство; Лп с L2 - подпространство коразмерности n; £ : L2 ^ Ли - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства L2 в Л; £Х : L - непрерывный оператор линейного проектирования про-
странства L2 на подпространство Л- Величины
называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, линейным, проекционным п -поперечниками. При вычислении поперечников (8) - (12) используем их монотонность по п, а также тот факт, что между указанными п -поперечниками (см. например, [2,3]) выполняются неравенства
Ъп (M, L2) = sup jsup js > 0; sS n Ln+1 е M}: Лn+1 е L2
(8)
dn (M, L) = inf {sup {||f ||: f є MU n Л” j: Л” е {},
(9)
dn (M, L2 ) = inf {sup {inf {IIf - g|| : g єЛп } : f є M} : Лn е L2 } , (10)
An № L2) = inf { {sup{ f - Г/|| : f є {} : Г{2 е Лп } : Лп е L2 { (11)
л. (®і , i2) = inf {inf {sup j|| f - Г f I: f є {}: Г1 { е Л. [:Л. е } j (12)
(10)
ъп (м, 4) < йп (м, 4) < о (м, 4) = л (м, 4)=^„ (м, 4).
Пусть Ф(м) - произвольная непрерывная возрастающая при и > 0 функция такая, что Ф(0) = 0. При любых натуральных ш, п, г всех положительных к, Р, для которых 0 < Рк < ж, 1/г < q <2, г > 1, 0 < у < щ -1 и любом и е (0, ж], определим класс функций
КП (Р,У,Ф)={/ (X) е 4 : | < (/(г); I )™у Р** < Фq (м) |.
При некоторых ограничениях на мажоранте Ф(м) вычислим поперечники (8)-(12) в пространстве 4. С этой целью, следуя [4], введем обозначение
Г п1 Г^/ГГ п1 Т }
I I =^1 I ,если п1 <ж; 1,если п1 >ж!.
Имеет место следующее утверждение
Т еорема 2. Если для всех и е (0, ж], 0 < к < ж/п, Иг < q < 2, г > 1, 0 < у < гр -1 функция Ф(м) удовлетворяет условию
Ф9 (I)|(sin — J sin7 — Ptdt <Фq (u)|(sin — j sin7 Ptdt, то справедливо равенство
(— j-1/q
S (W,”(P,7,Ф),l2J = 2-m • n-1|sinsin7 Ptdt Ф(—), (13)
V 0 2
где бп (•) - любой из вышеперечисленных поперечников (8)-(12).
Доказательство. Из утверждения теоремы 1 для проекционного поперечника лп (•) получаем оценку сверху
Л.(W,(P,) <sup{,(/): f є (,(P,7^)} <
f h v1/q
< 2~m • n r I J sinmq — sin7 ptdt O(h). (14)
V о 2 )
Оценку снизу для бернштейновского поперечника Ьп (•) получим методом В.М.Тихомирова [4]. С этой целью введем в рассмотрение (n +1) -мерную сферу комплексных полиномов
ч-1/д
5„ 1 = | Тп (х) є Зп_ 1 :1|Г||п = 2-"п г I { зІп- Ц- 8Іп7 Ц,Л Ф(к)
и установим, что ^+! С (Р,7,Ф).
Для этого воспользуемся неравенством [5]
пі
О" Т), ,)2 < 2"пг I 81П-
(15)
к
Возведя в степень q неравенство (15), умножая на БІп7—Р и интегрируя на отрезке
и
(0, и], получим
“ Ь н ( і\т ь
(Т( Г);- )28ІПГ— Р-Ж- < 2"пг П БІП — І 8ІП7 — Р-Ж-
З п .4 9 I и
q
п\І2
г I пі Лт к Фq (к)| I БІП — І БІП7 — Р-Ж
к Ґ \ш'
пі
—
и
■<Ф' (и),
11 БІП — І БІП7 Р-Ж-
откуда вытекает, что £я+1 с (Р,7,Ф). Согласно теореме В.М.Тихомирова ([4], стр.341-
342), имеем
Ь {Ж"’’ (Р, 7, Ф), , Ь Ьп ,1,12) =
: 2-"п гиБІптп-БІп7 Р-Ж Ф(к).
\-1^
(16)
Из сопоставления неравенств (14) и (16) следует (13), чем и завершим доказательство теоремы 2.
Следствие. Если в утверждении теоремы 2 полагать Р = Жк, к = Жп, то при любом 1/г < q < 2, г > 1,0 < 7 < щ -1 справедливо равенство
5п I Ж"* (Р, 7, Ф), 4 =
1 1
ГІ "2' +7 +1
1Лг
т+— г+—
Ф(к),
"
0
0
где Г(-) - гамма-функция Эйлера, а 5п (•) - любой из вышеперечисленных поперечников (8)-(12).
Таджикский национальный университет Поступило 17.09.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hardy G.G., Littlewood G. and Polya G. - Inequality. Cambridge University Press. 2nd ed. 1952, 346 p.
2. Тихомиров В.М. - Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976.
3. Pinkus A. - n -Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1985, 291 p.
4. Тихомиров В.М. - УМН, 1960, т.15, №3, с.81-120.
5. Тайков Л.В. - Математические заметки, 1979, т.25, №2, с.217-223.
Г.А.Юсупов
НАЗДИККУНИИ БЕХ,ТАРИНИ ПОЛИНОМИАЛЙ ДАР ФАЗОИ L2 [0,2^] ВА
ЦИМАТИ ХДНИЦИ и-ЦУТР^О
Дар фазой L2 [0,2п] барои баъзе синфи функсия^ои даврии даврашон 2ж, ки бо
ёрии модули бефосилагии тартиби олй дода шудаанд, кимати х,аник;и n -к;утрх,о х,исоб карда шудааст.
G.A.Yusupov
THE BEST POLYNOMIAL APPROXIMATION IN L2 [0,2^] SPACE AND EXACT VALUE OF n-WIDTHS
In L2 [0,2n] space for some 2n -periodical classes function, which includs modulus continuity higher-order, was found the exact value of n -widths.
