CC BY
20
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________2009, том 52, №9______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.С.Саидусайнов
НАИЛУЧШЕЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ И ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 17.06.2009 г.)
Вопросы наилучших приближений аналитических функций в весовом пространстве Бергмана рассматривались в работах [1-9]. В указанных работах также вычислены точные значения различных п -поперечников некоторых классов аналитических функций. Здесь мы продолжим указанную тематику и вычислим значения целого ряда п -поперечников для классов функций, задаваемых обобщенными модулями непрерывности, рассмотренных в работах [10,11].
Говорят [2], что аналитическая в единичном круге функция
f (z) = 2 ckzk ’z = Pe'e’ 0 ~P< 1 0-в~ 2ж
k=0
принадлежит пространству £ 1 - q < о, если
( 1 in Y7q
= -1 f (Ре'в^4 dpdO <°, (1)
"r V2n оо j
где у(р) - неотрицательная измеримая весовая функция, da - элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега.
Производную r -го порядка функции f (z) определим равенством
dr f “ def
f (r) (z) = тт=2 akrckzk -r, Vkr = k (k -1)—(k -r+0, k > r-dz k=r
Пусть
Pn =iPn(z) : Pn(z) = ±а^,ak e С]
k=0
- подпространство алгебраических полиномов комплексного переменного степени не более п. Величину
Еп (/)в„ г =п {|| / - Рп-Ав ■ Рп-г (ю е р„-1
о
назовем наилучшим приближением элемента / е В подпространством Рп_х в банаховом пространстве В г . Для функции /(7) в пространстве В2 г величина ее наилучшего приближения элементами подпространства Рп_^ равна
. 1/2
E (f )в„ = -¡1 Iе* Г } р“ *7(р) dp\
(2)
Для функции /(7) е В2/, через сот (/,&)Вг обозначим модуль непрерывности т -го порядка, определяемый равенством
®m (f “к. = suPi A1f \Р
: \h\ < *j,
где
а-j ре'“)=х (-і)-‘ей р
3=0
' (“+jh )
(3)
- конечная разность т -го порядка функции /(ре1 ) по аргументу в с шагом к > 0. Через В(г)у обозначим множество функций /(г) є В2, У которых г -ые производные /(г) (г) є В2/. При решении некоторых задач теории приближения вместо модуля непрерывности т -го порядка функции /(г) є В2 иногда удобнее использовать следующую эквивалентную характеристику (см. например [10,11]):
N * * 11/2
«.(f,*)* = ттJ-\\A’mf (р'“% dh■■■dh„ ,t > Q
(4)
о о
ГДе h = (К , h2 hm )Л-Ь = А\ °-° AL •
В работе [10] доказано, что со(/,Ї) х (/,Г) ,0 <р <го. С.Б.Вакарчук и
В.И.Забутная [11] для периодических дифференцируемых функций ввели в рассмотрение следующую экстремальную характеристику
def nr-1/2 E ( f)
s„,rm (t) = sup *1 —-------------------------17J: f Є Lr2,f * com*
't/n у
Jnm (f,r ’, u) du
и доказали, что
2,7
m
-1/2
,(t) = -¡2’ j 11-
sin u
u
(6)
Здесь мы по аналогии с (5) для аналитических функций /(г) є В(г)у, вводим в рассмотрение экстремальную характеристику следующего вида
ní! ЧА (f)
Kr ’ (t) = SUP ------------"n’r o/ 2 : f G BS . f * COnSt
t/"
jn ’ (zrfr), u) du
(7)
и докажем, что для величины (7) справедлив результат (6).
Теорема 1. Пусть т, п, г єМ. Тогда для любых чисел 0 < г <п/ 2 справедливы равенства
К,.’ (t) = j2" j[l
t Ґ • \m
sin u 1
-1/2
u )
Доказательство. Применяя равенство Парсеваля к разности (3) после простых вычислений, получим
2 го ’ 1
&’f (реш )|[ = 2’ 21 С,|2 П (1 - cos j p2k *V(p) dp.
(8)
k=0 j=1
Подставляя равенство (8) в (4), учитывая (2) и тот факт, что
max ||sin и|/и : и > ит| = sin(nr)/(nr) при 0 < т<л! 2 [12], будем иметь
mí ■ 1 \т1
i2 L sin kz
n2’(f,r)j > 2’I21 1 --jz I jp2k"r(p) dp
>
k=n
г|2^г- ^ Е-]С 1 ^.
Используя соотношение [2] Еп (/ )в , <ап\ Еп (гг /{г ))^ которое имеет место для произвольного / е В(Г)г, запишем
Интегрируя по z обе части (9) в пределах от 0 до t/n, 0 < t < П2, получим
’
’
t/n Ґ \” t/n
2^2,- гL sinnr
гЛи)»,2” • К 1 -| dz<\fi”(z'f ">,r)2 dr.
Произведя замену переменной пг = и в интеграле, расположенном в левой части полученного неравенства, приводим его к виду
V ” t/n
2” •/[ 1 - ^ I du < {fi”(z'f''>,u)2 du. (10)
Неравенство (10) запишем в следующем виде
0,2-! 2-Jll - = ) *\ • (11)
n l/2^nrEn( f >. I ri . sin и
-1/2
I t/ • \” I
I „.ГГ srn U Ï . I
/" г/и ^
l/n - ( z’j <-1, «), du
В силу определения величины m(t) из (11) получим оценку сверху
Г 1 -1/2
К„(t)*W f 1 -=ТЦ • (12)
При получении оценки снизу для Л^пт г(?) рассмотрим в В^у функцию / (7) = 2п , для которой, как нетрудно убедиться,
Е(/.)„,, =ЦР2"'г(р)¿р\ ,
и
/ n-(zrf0r,u)2 du = «Xrjp2”+V(p)dp. 2-/I 1 - — ) du
о о о V u y
Тогда из определения величины (7) следует, что
1/2
E ( . > I LÎ I
n,r n\J 0 '
ЫО , n ^ ' 0>M 2 =I2”I|1 - ^ I du ( . (13)
I {fi”(z'fo('>,u) du
Сопоставляя оценки (13) и (12), завершаем доказательство теоремы 1.
Пусть М - выпуклое центрально-симметричное множество из В2 , Ви ^ В2 -
п -мерное подпространство, В1 ^ В2 - подпространство коразмерности п, 5 - единичный
шар в В2 , Л: В2 ^ Lw - непрерывный линейный оператор, Л1: В2у ^ LB - непрерывный оператор ортогонального проектирования. Величины
bn (M, B2,r) = SUP {SUP { > 0{ ^{+1 С M j : { С ^2,/ } ,
dn (M, B2,r ) = ІПҐ {SUP {iIlf {II / -(А:(РЄіп j : f Є M j : Ln С { } ,
5n (Ml, B2,r ) = inf {inf {SUP {If - { : f Є ^ j : ЛВ2,г C { } : }n С } } ,
^n (Mi, B2,r ) = inf {inf {SUP {||f - Лf I : f Є {j : Л{ C Ln } : Ln С B2,r } ,
¿п (М, В2 = , {вир {І/||: { є М п {}: т с {
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, проекционным, гельфандовским п-поперечниками множества М в пространстве В2 . Известно [13], что
Ъп (•) < ¿п (•) < ^ (•) = 3> (•) = ^п (•)• (14)
Пусть Ф(ґ)(0 < г < да) есть произвольная непрерывная возрастающая функция такая,
>( г )
2,/ 5
что Ф(0) = 0. Через Щ (Ф), где г е N , обозначим класс аналитических функций /(7) е В(г)
удовлетворяющих условию
jn’ (zrf(r), u)2 du < Ф2 (t), 0 < t < го.
0
__ . , sin и
Обозначим через t* величину аргумента и(0 < и < да) функции----------, при котором она
и
достигает своего наименьшего значения. Очевидно, что t* есть наименьший из положительных корней уравнения и - и = 0(4,49 < t, < 4, 51) . Далее, полагаем
En (W,' (Ф)^ = {£„ (f )bíy : f £ W' (Ф)},
(, sin и i def I sin и 1 sin 4 I
I 1------= 1---------, если 0 < и < t.; 1---, если и > t. к
V и X [ и t, J
В этих обозначениях справедлива следующая
Теорема 2. Пусть при некотором n е Ж мажорирующая функция Ф^) удовлетворяет ограничению
nt Ґ
Sin u
Ф2(*) ' 'v u
Jl 1 - ^ du
> ^(0 < г <да). (15)
Ф2 (Л 2п) л/ 2 - 5/(л/ 2)
г
где 5/(г) = |х 1 біп хёх - интегральный синус. Тогда для этого п и всех г є М выполнены
0
равенства
г,{Ф'ІФХВ,;^£„(»7(Ф))» = —• , •фГл! (16)
^ 4 ’/ апг ^л- 25/(л/2) ^ 2п)
Здесь /п - любой из следующих п -поперечников: колмогоровский йп (•), бернштейновский Ъп (•), линейный 5п (•), гельфандовский йп (•), проекционный лп (•). Множество мажорант,
удовлетворяющих ограничению (15), не пусто.
Доказательство. Перепишем неравенство (11) в виде
Еп(/>в„<^і2"’|{1 -а"} •{?пт«/<г).и), &}• (17)
Полагая в (17) г = л/2 и т =' с учетом определения класса Щ (Ф) и соотношения (14), получим оценку сверху колмогоровского п -поперечника
dn(щ(Ф),в2;\<епщ(Ф)) <^• . ' ■ф(л').
^ ,7) 4 ^ апг у/л-2&(я/2) ^2п)
Для получения оценок снизу рассмотрим в В2 шар на подпространстве Рп алгебраических комплексного полиномов степени не выше п
$п+] =\рп еК :||Рп\В < —• ^ ^ •Ф["Л']}. (18)
[ п апг пл- 25/(л/2) ^ 2п
п
Для произвольного полинома pn (z) = ^ akzk, принадлежащего шару Sn+l, запишем
k=0
Qi (Рп)>u)2 = 2Z а \akГ •11(1 -c°skv)dv < 2агт jn\akГ f 1 -^inkU1 •
ki u о ^=i k ku k
Полученное неравенство проинтегрируем по и в пределах от 0 до t. Учитывая, что функция
111 1 - Sin V | dv (0 < и < да) является неубывающей и используя ограничение (15), получим и 0 V v /»
(19)
Неравенство (19) означает, что справедливо включение £и+1 ^ (Ф). Тогда, согласно тео-
реме о поперечнике шара В.М.Тихомирова [13] для бернштейновского п -поперечника, получаем оценку снизу
Из сопоставления неравенств (18) и (20) следует (16). В работе [11] показано, что мажоранта
Ф„(0 = 2, где Р= (л-2)/(л-2£/(л/2)), удовлетворяет ограничению (15) при любом
п е Ж . Этим завершается доказательство теоремы 2.
1. Шабозов.МШ. - ДАН РТ, 2007, т.50, 3, с.205-211.
2. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, 4, с.466-469.
3. Шабозов.М Ш., Саидусайнов М.С. - ДАН РТ, 2007, т.50, 1, с.14-19.
4. Шабозов.М Ш., Мамадов Р. - ДАН РТ, 2007, т.50, 5, с.401-408.
5. Лангаршоев М.Р., Саидусайнов М.С. - ДАН РТ, 2007, т.50, 8, с.653-659.
6. Лангаршоев М.Р., Саидусайнов М.С. - ДАН РТ, 2008, т.51, 3, с.165-171.
7. Юсупов Г А. - ДАН РТ, 2008, т.51, 3, с.172-179.
8. Шабозов.М Ш. - ДАН РТ, 2008, т.51, 5, с.323-330.
9. Шабозов.М Ш., Саидусайнов М.С. - ДАН РТ, 2009, т.52, 2, с.85-92.
10. Руновский К.В. - Матем.сборник, 1984, т.185, 8, с.81-102.
11. Vakarchuk S.B., Zabutna V.I. - East Journal on Approximations, 2008, V.14, 4, рр.411-421.
12. Тайков Л.В. - Матем.заметки, 1976, т.20, 3, с.433-438.
13. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976, 324с.
(20)
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
Поступило 17.06.2009 г.
ЛИТЕРАТУРА
М.С.Саидусайнов
НАЗДИККУНИИ БЕХ,ТАРИНИ ФУНКСИЯ^О ВА ЦИМАТИ АНИЦИ БАЪЗЕ ЦУТР^О ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН
Дар фазой вазндори Бергман кимати аники кутрхои гуногун барои синфи функсияхое, ки ба воситаи модулхои бефосилагии умумикардашуда муайян шудаанд, ёфта шудааст.
M.S.Saidusainov
THE BEST POLYNOMIAL APPROXIMATION AND VALUES OF WIDTHS OF SOME CLASSES OF FUNCTIONS IN THE WEIGHTED BERGMAN SPACE
In the weighted Bergman space was founded the exact values of widths for some classes defined by generalized modulus of continuity.
