CC BY
28
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2009, том 52, №2__________________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, М.С.Саидусайнов О ПОПЕРЕЧНИКАХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ В КРУГЕ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
1. Вычислению точных значений п -поперечников классов аналитических в круге функций в различных банаховых пространствах функций посвящен целый ряд работ (см.,например, [1]-[11]). Первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских поперечников в пространствах Харди, принадлежат В.М.Тихомирову [1] и Л.В.Тайкову [2,3]. В дальнейшем указанные исследования нашли развитие в работах [4-11].
Целью настоящей работы является получение новых результатов, связанных с вычислением точных значений различных п -поперечников классов аналитических в круге радиуса К > 1 функций и построение наилучших линейных методов приближения рассматриваемых классов в весовом пространстве Бергмана.
Предварительно введем некоторые определения и обозначения. Пусть
с14
={г еС:\г\<Я} - круг радиуса 7?>1 в комплексной плоскости С, а А(ик) — множество аналитических в IIк функций. Для произвольной функции / е А(11к) при 0 <р<К полагаем
г1-'] \/(ре'')\ГЛ
если 1 < р < со,
Л/р
^ -у 2 7Г
Mp(J,p) = j \2п U ,
max |/(pe!i)|: t e [0,2;r] , если p = oо,
где интеграл понимается в смысле Лебега. Символом Н 1<p<co,R>\ обозначим банахово пространство Харди, состоящее из функций / е A(UR), для которых конечна норма
ч = 1*т Мр{/,р).
*рЯ р—>К-о у
При этом норма реализуется на угловых граничных значениях функций /еНрК, то
есть
II/
f л 2 п
Z,/£
- J\f(Re")\rdi
\Vp
, 1<^<С0,
ess sup \f(Relt) : t e [0,2л-] , p = °o.
Ле/ (к/ .. .. с!е/.. ,, с1е/
В случае Я = 1 полагаем и = их, Нр=Нр1 и ||/|^ = \/\Нрх • Через Ьр = Ьр(11),
1 < р < со обозначим банахово пространство комплекснозначных в II функций /, имеющих конечную норму
г 1 Л1/Р 1 12Я- ^
— Ц1/(г)ГаЬсф - — |
У
V^'77" о о
где интеграл понимается в смысле Лебега.
Пусть у |г| - некоторая неотрицательная измеримая в £/ функция. Через
def
Ь = Ь (11,у), \<р<со обозначим множество комплекснозначных в £/ функций /, для
которых /І 7' • / є L (!/ ) и
= Г
i/p
. Под В -В (U,^), 1 <<оо понимаем банахо-
во пространство функций / е А(1Г) таких, что f е Lp . При этом
J py(pWPp(f,p)dp
Л/р
2. Пусть X - произвольное банахово пространство; £ - единичный шар в нем; Ш — некоторое выпуклое центрально-симметричное подмножество в X; Ьп<^ X — п -мерное линейное подпространство; Е сХ— подпространство коразмерности и; А:Х ->Ьп- линейный непрерывный оператор, отображающий X в . Приближение фиксированного множества Ш с X фиксированным подпространством Ьп этого же пространства X определяется величиной
E(^Ln)x =SUP inf {||/- <Р\\Х ■ <Р е к}: / е ш
Величина
^(fflU„)/=inf sup ||/-A(/)||V ;AIci, (1)
характеризует наилучшее линейное приближение множества M элементами подпространства Ln а X. Линейный оператор А‘(А'Х а 1.п), если он существует, реализующий в (1) точную нижнюю грань, то есть такой, что
S(m,L„)x=sup ||/-ЛЧ/)|г;/еШ! ,
является наилучшим для M линейным методом приближения.
Величины
L
L
B
о
dn(m,X) =inf E(M,Ln)x :Z„cI, (2)
dn m,X — inf sup ||/||x:/e9JtfU” :I"cI , bn Ш,Х = sup sup s>0: sSf]Ln+1 аЖ :Ln+1 c=X ,
M,X =inf £ m,Ln x:Ln^X
называют соответственно колмогоровским, гельфандовским, бернштейновским и линейным и-поперечниками (см.,например, [4; глава II];, £1-4).
Если существует подпространство Z* cz X, diml-n — п, на котором нижняя грань в (2) достигается, то есть
dn(m,x)=E(m,rn)x,
то Л* называют экстремальным подпространством для dn(Tl, X), Экстремальное подпространство Л* является наилучшим аппаратом приближения множества Ш среди всех подпространств {Ljcl.
Подпространство Ln cl, dim Ln = п (если оно существует), для которого
Зп{Ж,Х) = £{Ж,Ьп)х,
называют экстремальным для <5п(Ш,Х). Особый интерес представляет отыскание экстремальных подпространств L„ cz X, dim /,„ = п , таких, что
Е( Ж, Ln )х = £(Ж, Ln )х = dn (Ж, X) = 8п (Ж, X).
Если существует подпространство Ln+1 с: X, dim L„w =п +1, для которого
Ъп Ш, X = sup s > О: eS П Ln+i cz Ш ,
то оно является экстремальным для Ьп Ж,Х . Подпространство L” сХ коразмерности п (если оно существует) такое, что
dn Ш,Х = sup ||/||х:/еШ1ГК ,
называют экстремальным для d" Ж,Х . Напомним, что между перечисленными выше п-поперечниками имеют место следующие соотношения
dn Ж,Х
Ъп Ж,Х < ” <8п Ш,Х . (3)
” dn Ш,Х ” W
3. Символом /<т\г), т е N обозначим производную т -го порядка по переменной г функции /{£) е А(1/к) , то есть /(т>(г) = (}/(т>(г)/<3гт . Для фиксированного т(т = 0,1,2,...) и К > 1 полагаем
к*= /■/("'^нгя. Ц/"’!
<1 .
Всюду в дальнейшем введем обозначение апт = п(п-1) - ■ -(п — т + 1), п>т. С нашей точки зрения, определенный интерес представляет вычисление вышеперечисленных п -поперечников классов ^ > 1, 1 < /? < со, шеМ в пространствах В и Ь . Конкретизируем экстремальные подпространства Сп, I", Ьп+1 и наилучший линейный метод приближения Л*, о которых шла речь в пункте 2. Для этого полагаем
Г =
К
2(и-у) аі,т I |2(»-Л
а.
2п-і ,т
и-1
II 2
' т-1
К-1 (/>г) = Е с, с/>'+Е^
7=0
«-1
а.
2n—j,m
/I |\2(и-у) 2
4”= /еВ„:/<*>(0) = 0,*: = 0,н-1 ;
1„+1 = ^ = 1Л О): Л О) = є С
к—0
В принятых обозначениях имеет место следующая
Теорема 1. Пусть Я>\, 1 < р < да, /иёМ. Тогда имеют место равенства
К(К^г) = ьЖрУ’ЬР,г) =
■-d\w;fi■в^=d\w;fi■L) = dsw;fi■L) =
ыКл-’к,г)=
К”
\pn^’+lr{p)dp
ЧІ !р
п>т, 1 <р <со,
п,т \ 0 у
т-п
, п>т, р = да.
При этом:
н
1=т
п
1) б случае п-поперечников &„(№рК\Ьру)т*дп()¥рК',Ьру) подпространство Еп является экстремальным для класса УУрК в пространстве Ьру\
2) линейный непрерывный оператор Л*_г является наилучшим для класса ЖрЯ линейным методом приближения в пространстве Ьр ;
3) подпространство Ц будет экстремальным для <Лп(\¥рК',Вру);
А) подпространство 11П+1 = РП является экстремальным для Ьп(}¥рК\Вр у).
Доказательству теоремы 1 предпошлем следующее утверждение.
Лемма. Для любого полинома рп(г) е Н/у1 \<р<сс степени п>т, у которой производная р(пт) (г) е Н к, 1 < р < оо при любом 1{>\, справедливо неравенство
4-1 !р
Л”
<
Нп
п\\в . ’
(4)
Неравенство (4) является точным в том смысле, что существует полином qn(z)ePn, для которого (4) обращается в равенство.
Доказательство леммы проводится по схеме, изложенной в [4,стр.252], и потому мы его опускаем.
Доказательство теоремы 1. Для произвольной / еВру, 1< р<<х>, у которой производная /(я)еЯ 1 < р < со при любом п > т и Л > 1, имеет место представление
[4,стр.254]
где
сл(аО = л-
— \/(т\кёвутвок(Р,1-в)ав, о<р<к, o<t<2л,
2л 1
(5)
а„
к=1 и-к+п.
Рп-1 (/»г) = Е С1 + Ё С1 ся^
7=0
а.
/■I |\2(и-у)Л
\г\
В справедливости (5) легко убедиться, разложив подынтегральную функцию /(”'(2' в ряд Тейлора и произведя почленное интегрирование. Применением двойного преобразования
1
и
о
е
]=т
Абеля легко доказать, что для всех ^е[0,2;г) и ре[0,1] функция е ""(}и( р,1)>0 [4,стр.251], причем
Из равенства (5) следует, что
Wf-PnM) IL
(б)
1 2п л 2я
— f \рг(р)~ j)e”"GR(p,t-вуів
2тс 0 0 2л 0
,1 ip
dpdt
Применяя известное неравенство для сверток функции
1-^*^1^[0,2л-] “ 1-^1^[0,2л-] №^[0,271] '
с учетом (6) для произвольного / е }¥™к из (7) получаем
(7)
2п 2 7т
J — \fm\ReieymeGR(p,t-e)de
А Z*JL А
dt <
<
v2;r О
f і 2п
/./і
— ІІ/'-ЧЛе*’)!' de . — J|Gs(p,0|dl
Л-Р
v2;r О
Д”(/УЛ)" -О"!/'"’!' <(й”(^Л)" -а,
Ч» „-1 ^
п.т
(8)
Теперь из неравенства (8) и равенства (7) следует оценка сверху для линейного п -поперечника
s„ <w;’R, i„) < s, (w;R,Brr)< к- • <, • jp-Mp) dP
slip
(9)
Для получения оценки снизу для бернштейновского поперечника вводим в рассмотрение (п +1) -мерный шар полиномов
Р,-\\р,1 jp-"r(p)dp
лі/р
и докажем, что £й+1 а Н1")]. Но это включение сразу вытекает из неравенства (4), согласно которому для любого рп(г)е8п+1 имеем:
о
П
о
\-і/р
Таким образом, согласно известной теореме В.М.Тихомирова [1] о поперечнике шара полу-
Утверждение теоремы 1 вытекает с учетом (3) из сопоставления неравенств (9) и (10). В заключение отметим, что из теоремы 1 в случае у(р) = 1 вытекает результат теоремы 2.4 А.Пинкуса [4,стр.254], а при
получаем результат С.Б.Вакарчука [5].
В случае приближения периодических функций вопросы вычисления точных верхних граней модулей коэффициентов Фурье на различных классах функций рассматривались в разное время многими авторами (см.,например, [12] и приведенную там литературу). Здесь попутно в качестве следствия теоремы 1 аналогичная задача решена для коэффициентов Тей-
Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 имеет место следующее равенство
1. Тихомиров B.M. - УМН, 196G, т.15, 3, с.81-120.
2. Тайков Л^. - УМН, 1963, т.18, 4, с.183-189.
3. Тайков Л^. - Матем.заметки, 1977, т.22, 2, с.285-295.
4. Pinkus A. - «-width in Approximation Theory, 1985, Springer-Verlag, Berlin, 291 pp.
5. Bакарчyк С.Б. - Матем.заметки, 1995, т.57, 1, с.30-39.
6. Bакарчyк С.Б. - Матем.заметки, 1999, т.55, 2, с.186-193.
чаем
(10)
Ир) = (1-р)
, 0<p<q<oo, min(q,Л)> 1, R = l,
со
лора сп (f) разложения
аналитической в круге радиуса 1( > 1 функций
где п>т\ п,т єМ; R> 1, \<р<со.
Институт математики АН Республики Таджикистан,
*
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
Поступило 08.12.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
7. Вакарчук С.Б. - Матем.заметки, 2002, т.75, 5, с.665-669.
8. Вакарчук С.Б. - Укр.матем.журн., 2004, т.56, 9, с.1155-1171.
9. Шабозов М.Ш. - ДАН России, 2002, т.383, 2, с.171-174.
10. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2006, т.10, 4, с.461-464.
11. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, 4, с.466-469.
12. Степанец А.И. - Равномерные приближения тригонометрическими полиномами, Киев: Наукова думка, 1981, 324 с.
М.Ш.Шабозов, М.С.Саидусайнов ЦИМАТИ ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН
Дар мак;ола барои синфи функсияхои дар давра аналитикй, ки нормаи хосилаи тартиби додашудааш дар фазои Хардй аз як хурд аст, кдмати кутрхои гуногун дар фа-зои вазндори Бергман хисоб карда шудааст.
M.SH.Shabozov, M.S.Saidusainov THE WIDTHS OF SOME CLASSES OF ANALYTICAL FUNCTIONS IN A CIRCLE IN THE WEIGHTED BERGMAN SPACES
In this article calculated different widths in the weighted Bergman Space for the classes of functions, analytically in a circle where the given order of derivatives norm are less 1.
