CC BY
27
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2013, том 56, №7_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
М.С.Саидусайнов
НАИЛУЧШИЕ ЛИНЕЙНЫЕ МЕТОДЫ В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕРГМАНА И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Таджикский государственный университет коммерции
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 01.04.2013 г.)
В работе получены новые результаты, связанные с вычислением точных значений различных п-поперечников классов аналитических в единичном круге функций и построением наилучших линейных методов приближения рассматриваемых классов в весовом пространстве Бергмана.
Ключевые слова: интеграл Лебега - линейный оператор - наилучшее приближение - п-поперечники -наилучший линейный метод.
1. В настоящее время достигнут значительный прогресс в задаче вычисления точных значений поперечников классов функций и отыскании наилучших линейных методов в различных функциональных пространствах (см., например, [1-12] и библиографию к ним). Однако в подавляющем большинстве эти результаты получены в пространстве Харди Н, 1 < q <ю .
В данном сообщении аналогичные задачи решены для некоторых классов аналитических функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана. Полученные результаты продолжают и развивают исследования в этом направлении и дополняют результаты работ [9-11]. Говорят, что функция [11]
f (z) = £ ckzk, z = peu, 0 <p< 1
k=0
принадлежит весовому пространству Бергмана B , 1 < q , если
( v'q
-L Цу(|z| )|f(z) |qda
2 л
V I z| <1
(1)
, = sup!1 f( z) 1 ■ |z 1 < 1}<ю,
где y(| z | ) - неотрицательная измеримая весовая функция, da - элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега.
Переходя к полярной системе координат, норму (1) запишем в виде
Bq,r
Адрес для корреспонденции: Саидусайнов Муким Саидусайнович. 734055, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Дехоти, 1/2, Таджикский государственный университет коммерции. E-mail: smuqim@list.ru
| py(p)Ml (f ,p)dp
s1/q
<
где
С л 2л V/q
Mq (Р, f ) =
1 2 Л
¿J! f Р)
2л о
q dt
Через В R, 0 < R < 1 обозначим пространство аналитических в круге | z |< R функций f (z) е В r, для которых
1и1в„/% (Rz)\\в„<»-
Множество алгебраических полиномов комплексного переменного степени не выше n обозначим через Vn . Величину
EJJ) =inf {||/-pJl : /ViO) е
у,/ дУу
назовём наилучшим приближении функции f{z) множеством 'Рп , в пространстве Bq ,.
Пусть m - целое положительное число. Полагаем f(m) = dm f / dzm и обозначим через ВЩ1 - класс аналитических в круге | z |< 1 функций f (z) е В , которые удовлетворяют неравенству zm f(m) < 1, 1 < q < да. В случае m = 0, q = да положим
Bq,r
в\7 := В^ = ^vrai{|f(z)|:|z|< 1}< 1.
2. Пусть X - произвольное банахово пространство; S - единичный шар в X ; M - некоторое выпуклое центрально-симметричное подмножество в X; Ln с X - n -мерное линейное подпространство; Е1 ci X - подпространство коразмерности п; jC(X,Ln) - множество всех линейных ограниченных операторов {Л}, отображающих X в Ln.
Величины
Ъп (Ml, X) = sup{sup{s > 0: sS о Ln+1 с Ml}: Ln+1 с X}, dn (Ml, X) d=finf {sup {inf {f - g||: g е Ln}: f е Ml}: Ln с X}, 5n (Ml, X) = inf {inf {sup {f - Л^||: f е Ml}: ЛX с Ln}: Ln с X}, dn (Mt, X) = inf {sup {f ||: f е Ж о Ln}: Ln с X}
Bqj
Математика
М.С.Саидусайнов
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным и гельфандовским п -поперечниками.
При вычислении указанных аппроксимативных величин весьма важным является указание оптимальных подпространств X (в случае ^ подпространств Е, ^ X), на которых они реализуются. Полагая М = В^д X = В , сформулируем основной результат работы.
Теорема. При любых натуральных п, т, п > т, 0 < Я < 1 и 1 < q < да справедливы равенства
к , \Т)=(»5:;?,«, \г)=< (В;,«, ?=¿п , ^?=
з, п < т
Яп
п(п - !)■ ■ - (п -т + Y)
, и > m, 1 < q < да.
При этом:
1) подпространство Vn = span{Y,z,...,z"} является оптимальным для бернштейновского п — попе-
речнтч ъп [©j^, Bq^
2) L = (У : У е B , f(k)(0) = 0, k = 0,1,..., п — 1} является оптимальным для гельфандовского попеРечника dn [Oaqqi)?^, Bq,)];
= span{Y,z,...,z"^} является оптимальным для Колмогорове кого п — поперечника d {B(m) B
dn [ Bq,r,R , Bq)
4) линейный метод
Л(z, f) = £П=0 ( + «k2) К — Xn=m «m • mR2(n—kW,
является наилучшим линейным методом или оптимальным подпространством для линейного п — поперечника 5п ^В^д, Bq/ j, где - тейлоровские коэффициенты функции f (z) .
Отметим, что сформулированная теорема доказывается по схеме рассуждения, изложенной в работе [13].
Поступило 01.04.2013 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976, 325 с.
2. Pinkus A. и-width in Approximation Theory, Springer-Verlag, Berlin, 1985, 291 pp.
3. Тайков Л.В. - УМН, 1963, т.18, №4, с.183-189.
4. Вакарчук С.Б. - Укр.матем.журн., 1990, т.42. №7, с.873-881.
5. Вакарчук С.Б. - Матем.заметки, 1995, т.57, №1, с.30-39.
6. Вакарчук С.Б. - Матем.заметки, 1999, т.55, №2, с.186-193.
7. Вакарчук С.Б. - Матем.заметки, 2002, т.75, №5, с.665-669.
8. Вакарчук С.Б. - Укр.матем.журн., 2004, т.56, №9, с.1155-1171.
9. Шабозов М.Ш. - ДАН России, 2002, т.383, №2, с.171-174.
10. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2006, т.410, №4, с.461-464.
11. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.
12. Шабозов М.Ш, Лангаршоев М.Р. - Изв. АН РТ. Отд. физ.мат., хим., геол. и техн. н., 2009, №3(136), с.7-15.
13. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. - Мат. сборник, 2010, т.201, №8, с.3-22.
М.С.Саидусайнов
НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИНИ МЕТОДХОИ ХАТТЙ ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН ВА ЦИМАТХОИ АНИЦИ ЦУТРХО БАРОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯХОИ АНАЛИТИКИ
Донишго^и давлатии тицоратии Цум^урии Тоцикистон
Дар макола кимати n -кутрх,ои гуногун барои синфи функсиях,ои дар давраи вохидй аналитикй буда, ёфта шуда, барои синфх,ои зикришуда методх,ои хаттии наздиккунй дар фазои вазндори Бергман сохта шудаанд.
Калима^ои калиди: интеграли Лебег - оператори хатти - наздиккунии беутарин - n-цутр^о -методуои хаттии наздиккуни.
M.S.SBidusaynov
THE BEST LINEAR METHODS OF APPROXIMATION IN THE WEIGHTED BERGMAN SPACE AND EXACT VALUES OF WIDTHS FOR SOME CLASSES OF
ANALYTIC FUNCTIONS
Tajik State University of Commerce
In this paper were obtained a results related to calculation an exact values of different n -widths for analytic classes functions in the unit disk and the best linear method of approximation for considered classes functions in the weighted Bergman space was built.
Key words: Lebegue integral - linear operator - the best approximation - n-widths - the best linear method.
