CC BY
25
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2GG8, том 51, №8______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ
1. Пусть X - произвольное банахово пространство и S - единичный шар в нем; M -некоторое центрально-симметричное множество в X; Ln а X - п -мерное подпространство;
Ln а X - подпространство коразмерности п; Л: X —> Ln - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства X в Ln; Л1: X —»Ln - непрерывный оператор линейного проектирования X на подпространство Ln. Через En(f,Ln)x обозначим наилучшее приближение функции / є X элементами подпространства Ln в метрике пространства X; а через (f,A(f,Ln))x - уклонение функции / єі от Л (f,Ln) в X .
Для множества Ш cz X полагаем
def
=sup г(/д,)г:/еШі ,
£(m,A,L„)x =sup <?(/,Л(/,і,)):/єЯ .
В 1936 г. А.Н.Колмогоров [1] ввел понятие n -поперечника компакта
d„(m,X) = inf E(m,L„)x :LnczX
и вычислил n -поперечник эллипсоида в гильбертовом пространстве. Позже в семидесятых годах В.М.Тихомиров ввел в рассмотрение линейный Лп, бернштейновский Ъп, гельфандов-
ский dn и проекционный ппп -поперечники
Яп(Ш,2Q = inf inf £(m,KLn):AX^Ln :J„cI ,
^(9Jt,X)-sup sup e>0\£Sc\Ln+1 c9Jt :/лсІ ,
dn(m,X) = inf sup{||/||x :/e®TnZ”}: J” cl ,
яп(Ш,Х) = inf inf{^(£DT,A±,ZJ:A±^<=Z„}:^ cl
и установил взаимосвязь между ними [2]
dn(M,X)
ЬП(Ш,Х) < (1)
В настоящее время известен ряд окончательных результатов, связанных с вычислением точных значений n -поперечников некоторых классов аналитических в круге функций и построением наилучших линейных методов приближения данных классов в пространствах Харди Н , 1<р<оо и Бергмана В , 1<р<сс (см., например, [3-10]).
В предлагаемой статье получены новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в единичном круге функций алгебраическими комплексными полиномами и усредненными значениями модулей непрерывности высших порядков граничных значений производных в пространство Харди Н , 1< р< 2. Используя найденные
неравенства, вычислены точные значения всех вышеперечисленных n -поперечников для некоторых классов функций, принадлежащих пространству #2.
Напомним, что аналитическая в круге | z |< 1 функция / (z) принадлежит пространству Харди Н , 1 <р<оо, если
||/||p=lim Mp(f,p):p^\-0 <со,\<р<со,
где
а в случае р = со
\\f\l = sup |/0)|: \z\ < 1 <00.
Хорошо известно, что для f{z)^H , 1< р<сс почти всюду на окружности \z\ = l существуют угловые граничные значения f(t):= f {еа )e.L , 1 < р< со.
Обозначим через f^\z) - дг f{pelt)/dtr производную г-го порядка аналитической функции f (z) по аргументу t комплексного переменного z = реи. Очевидно, что
/’>(*)•*?>,^>(г) = уГ’м "V*2.
ot а
Под Я^Д <р< со понимаем класс аналитических в круге функций, для которых < р < со. Для произвольной функции f (z) е определим модуль непрерывности m -го порядка производной rz) равенством
def
и я„
2n
2 я
n k=0
* 1 1/р '
йбе : |г/| < Ґ
/
характеризующийся скоростью убывания к нулю граничных значений производных ()(e,t).
В частности, для произвольной f (z) є H^l запишем
Л 1/2
СО,,
(2)
Если Рп - множество алгебраических комплексных полиномов степени < п, то равенством
Еп(Лр := Е(/,^п-1)нр = ^ \\/-рЛНр '■ Рп-1О) е Рп-\ определим наилучшее приближение функции _/(г) еНр, 1 <р<со множеством ^_1.
Сопоставим функции /(г) = ^ скгк, г = рей, 0 < р < 1 посредством произвольной тре-
£=0
угольной матрицы комплексных чисел К = {\п} последовательность полиномов
п
^л,„С/>) = •
к=0
Величина
^(/>Л).г=|/(г)-Гд.„(/, _
характеризует скорость приближения функций /(г) полиномами УАп(/,г) или, что то же самое, линейным методом Л в пространстве Н , 1< р< со.
Наилучшим линейным методом приближения (./, г) на классе называется треугольная матрица Л* = {/^ й}, такая, что
^(,Л*)я„ =тГ 8ир^„(/,Л)Яп =8ир^;(/,Л*)я„Д^,Р^со-
/еОТ
-р л
Всюду в дальнейшем предполагаем, что для /(z) еНpa,fa (z) ^ const.
В работе Н.Айнуллоева и Л.В.Тайкова [4] доказано, что для любых п, г g N и //eZt, //>!,!< р<со справедливо экстремальное равенство
SUP
мй '
J ®1 (far>V20^ • [! + (м2 -1)sin/mt\ dt
]_
2'
(3)
Чуть позже Н.Айнуллоев [5] доказал, что если в равенстве (3) модуль непрерывности
о\{ f{u'\2l) р заменить на 0)2(/У \2t)р то также справедливо равенство
с(г)
sup
7ll 2 fin
J ®2(far)> ■2t)P ■ [! + O2 -!)sinnnt\ dt
я-2
(4)
Вопрос о построении наилучшего линейного метода приближения для классов функций, изучавшихся в работах [4,5], рассматривал С.Б.Вакарчук [6,7]. Он показал, что в соотношениях (3) и (4) величину Еп(/)р можно заменить на £п(/,А*)р и привел явный вид наилучших линейных методов Л* -{^пУк=0 для указанных в [4,5] классов функций. Возникает естественный вопрос, для каких значениях р в равенствах (3) и (4) модули непрерывности первого и второго порядка можно заменить на модули непрерывности т -го порядка?
Имеет место следующая
Теорема 1. Для любых т, п, г е /У, 1/г < q < 2, г > 1 и произвольного /ле. Е+,ц>\ справедливо равенство
2». £(/)
sup
f ж! 2 fin
J К(far)>20г • [1 + O2 -!)sin fmi\dt
\ 7d 2 fi
-щ
J (sin t)mq ■ [1 + (fi2 -1) sin jUt\ dt
(5)
Равенство в (5) достигается на функции f0(z) = zn еЯ^’, 1 < р <2.
Доказательство. Введем обозначение (рп(fi,t) = 1 + (// -I)sin fint и воспользуемся упрощенным вариантом неравенства Минковского ([11],стр.32)
лч/2 у/? ( , V”
,h>0,0<q<2,
h (
k>n
VO
с учетом равенства (2) получаем
0
0
о
о
Ґ я! 2//и
>1/д
V о
>
>
л/2//и
| 2™ ^ к2г • |2 • (1 - соб 2ки)"
О I к—п
д/2
\Уд
■<Рп№Уй
>
> тп ■
.. ( тт/2цп
ЕКГ’ кЧГ’ 1 (1-со$2кі)т9,2-(рп(р,і)Ж
' V о
ч2/?\1/2
Докажем, что функция натурального аргумента
и
(р(к) = кдг • |(1-со%2Ы)т'2 -<рп(ц,0Л
(6)
при любых значениях параметров указанных в формулировке теоремы, для к>п является монотонно возрастающей, а потому
ТІЇ2ЦП
шіп{<р{к) \ к > п} = <р{п) = пчг ■ | (\-о,о$,2пі)тП -(рп{ц,і)Ж
тії 2 цп
■ пдг ■ | (1-с,о$>2М)тП ■\\ + (ц2 -\)$>т
(7)
В самом деле, пользуясь равенством
— (1 - СО8 2кі)тдП = - ■—(1 - С08 2Ш)тП сік к (к
и выполнив интегрирование по частям при щ > 1, получаем
ТІЇ 2 ЦП
Ф
\к) = дг-кчг-} ■ | (1-соъ2М)тП -(рп(р,1)Л +
тії 2 цп
+кчг-1- [ —{\-со$2кі)пчП-і-(рп{/л,і)Ж =
* Лі
л
= к
дг-1 ^ тґц 2 п
, жк
1 — СОБ-----
^ ЦП)
\mql2 д/2 цп
+ | [(г?-\)(рп{ц,0О]■(1-со^2Ш)тч'2Л
0
0
0
0
0
_ . ,1 ' 2 п
с ^Л”472 жПИп
1 — cos —
V J
I (l-cos2At)
mq/ 2 .
x (rq -1) + (//2 -1) • cos /unt ■ (rq - l)tg/unt - junt dt > 0.
Этим соотношение (7) доказано. Учитывая это обстоятельство и тот факт, что для 1 < р < 2 согласно неравенству Гельдера En(f)2 >En(f) , продолжим неравенство (6)
f ж12цп
>2
ті 2
Л tq
nqr ■
V 0
J (1-е os2nt)mqn ■ <pn(ju,t) dt • ХЫ [ -
11/2
{k=n
( 7t!2 ЦП
>2 m-nr
\i /q
J {sinnt)mq -^\ + {/u2 -l)smfint^dt
V о
■En(f)p,l<P<2,
откуда сразу получаем
2"-/Г1'* •£„(/),
Г jd2fin
j < (/ir)»202 • [l + O2 -1) sin цпі\ dt
Г я/2//
-l/g
< j J (sin ґ)”4 • |^1 + (//2 -1) sin jUt~^ dt
(8)
Знак равенства в (8) для /0(г) = г" е < р <2 проверяется непосредственным вы-
числением, чем и завершаем доказательство теоремы 1.
2. Пусть Ф(7), / > 0 есть произвольная возрастающая непрерывная функция такая, что Ф(0) = 0. Для 0 < и < п/2 определим следующий класс аналитических функций
1г:=ш:(г, ф,м,ч)=
1 + (//2 — 1) sin
nt 2 и
Mq '
dt <Ф(и)
где т, г є М, Иг < q < 2, г > 1 и ц'^Z+,ц> 1 - произвольное фиксированное число. Теорема 1 позволяет получить точную оценку наилучшего приближения класса W“ подпространством полиномов Рп_х заданной размерности п:
АС^-1) = 5ир{^(/)2 :/еж;} =
О
О
и
О
= 2~т-Пг-Ф
Г \
я
(9)
где
ж! 2цп
^м„д=\ | {$іппі)т -[і + (//2-\)$т/лпі^Ж
(10)
Верхняя грань в равенстве (9) реализует функция
/1(2) = 2~т-п'-Ф
г \ я
* / * 2П £ IVа
ц,п^ гг т’
поскольку
Положим
т:,Рп_1) = ЕпШ2=Тя-пг. Ф
Ґ \ 7Г
К2 /ип ;
(зіп і)„ = { 8Іп I, если 0 < I < я/2; 1, если I > я/2}.
Теорема 2. Если для заданным //>1 и при любых 0 < V < я/2, и - я/2//и, т, п, г € М, Иг < q < 2, г > 1 мажоранта Ф(л') удовлетворяет ограничению
Ф'
и /
О V
81П-
7й
2/ли
\qrri
У*
1 + (/л2 -1)зіп— 2у
Л <
< Ф‘
(»)•]
и г , \чт
7ГІ
вт-
о V
2 /ли
і /2 і \ •
1 + (// — 1) БШ----
2 и
Л,
то справедливо равенство
дп Ж:(г,Ф,М,Ч),Н2 =2~т-пг-Ф
ґ \ п
•Л
Здесь 8п любой из п-поперечников с1п,Ьп,с1п,Ап или пп. В частности, при // = 1 из (10) следует, что
8яш:<г,фм\нл=2
1 г ^ + 1
4я г
тд+1
1/9
. пГг+Уч • Ф —
где Т{р)~ гамма функция Эйлера.
о
т
2
Исследовав для функции Ф(ї) = ta условие (9), приходим к следующему утвержде-
нию.
Теорема 3. Для того, чтобы неравенство (9) имело место с любым заданным (л > 1, г,т є /У, 1/г < q < 2, г >1, необходимо и достаточно, чтобы число а-а(р) определялось по формуле
1 / \qm-1
nt
[л sin
, Л 1 тп 1\ 2ц
а (и) = — +---------------------—
q 2/.1
•cos
nt
2//
1 + (//2 -1) sin
nt
dt
^ . nt ^ qm
sin —
ч 2/^)
1 + (ju2 -l)sin
7Tt
(11)
dt
В связи с формулой (11) отметим, что из нее при /и -1 и /л —>• оо получаем
Г ^п + 1 -Л 1
«(!) = ^ цт+1------>11т «О) = т + ~.
Таким образом, для всех /и> 1 мы имеем следующие границы значений для числа а = а{р)
4^ Г ^ + 1 1
-------------— < а(/л) <т + — ,т>\, \/г <q <2, г > 1.
У Г q
Институт математики АН Республики Таджикистан
Поступило 18.07.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kolmogorov A.N. - Annalen of Mathem., 1936, 37, p. 1G7-111.
2. Тихомиров В.М. - УМН, 1960, т.15, №3, e.81-12G.
3. Тайков Л.В. - Матем.заметки, 1977, т.22, №2, с.285-295.
4. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. - Матем.заметки, 1986, т.40, №3, с.341-351.
5. Айнуллоев Н. - Геометрические вопросы теории функции и множеств. Калинин, 1986, с.91-Ю1.
6. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2002, т.72, №5, с.665-669.
7. Vakarchuk.S.B. - Прац. Украінський математичний конгресс-2001.Теорія наближень та гармонічний аналіз, секція 10, Кіев, 2002, с.45-55.
8. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - Матем.заметки, 2000, т.68, №5, с.796-8GG.
9. Шабозов М.Ш., Юсупов Г. - ДАН России, 2002, т.382, №6, с.747-749.
1G. Шабозов М.Ш., Умеди Гулходжа. - ДАН России, 2005, т.403, №5, с.610-613.
11. Hardy G., Littlewood G.G., Polya G. Inequality, N-Y., 1952.
2
М.Ш.Шабозов
ЦУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ХАРДИ
Дар мак;ола нобаробарих,ои аник;и байни наздиккунии бех,тарини функсиях,ои аналитикй дар давраи вох,идй бо бисёрузвх,ои алгебравии комплексй ва к;имати миёнаи модули бефосилагии тартиби олии х,осилах,о дар сархдди фазой Харди Н , 1< р< 2 му-
айян карда шудаанд. Нобаробарих,ои ёфташударо истифода бурда, кимати аник;и п- куртхои баъзе синфи функсиях,ои ба фазой Н2 тааллук; дошта, ёфта шудаанд.
M.Sh.Shabozov
THE WIDTHS OF SOME ANALYTICAL FUNCTIONS IN THE SPACE OF HARDY
In article was found the exact inequality between the best approximation of analytical functions in the unit disk with algebraical complex polynomials and the average values of modulus of continuity of high order derivatives in the boundary belonging to the space of Hardy Hp, 1 < p< 2.
Using the founded inequalities were calculated the exact values of n-widths of some classes of functions belonging to the space #2.
