Наилучшее полиномиальное приближение аналитических функций в весовом пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2008, том 51, №5_____________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов НАИЛУЧШЕЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА

1. В настоящее время в задаче вычисления точных значений поперечников классов аналитических функций в различных функциональных пространствах достигнут значительный прогресс (см., например, [1-9] и библиографию к ним). Однако в подавляющем большинстве эти результаты получены в пространстве Харди Н , 1 <q< оо.

В данном сообщении решаются аналогичные задачи для некоторых классов аналитических функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана. Полученные результаты продолжают и развивают в этом направлении исследования Л.В.Тайкова [2,3,5] и С.Б.Вакарчука [6,7].

Говорят, что функция

где у \г\ - неотрицательная измеримая весовая функция, сіст- элемент площади и интеграл

понимается в смысле Лебега.

Переходя к полярной системе координат, норму (1) запишем в виде

Уд

со

принадлежит весовому пространству Бергмана Вдг, \ <с/< оо, если

(1)

< да,

где

ЧеРез Вд^0 < Л < 1 обозначим пространство аналитических в круге р| < Я функции /(г) <е Вдг, для которых

І/МІ... =|/ & I.<со-

Множество алгебраических полиномов комплексного переменного степени не выше п обозначим Рп. Величину

Еп (Лв„ =Ы {||/ - Рп-1 \Вч у ■ Рп-1 О) е ^-1 }

назовем наилучшим приближением функции /(г) множеством Рп_х в пространстве В .

Пусть т-целое положительное число. Полагаем /<т\г) = ёт//ёгт и обозначим через В^ - класс аналитических в круге |г| < 1 функций /(г) е Вс/;/, которые удовлетворяют неравенству 1<^<°о. В случае т = 0, q = cc положим

В(^г := Д»,г = ¡шругм |/(г)|: \г\ < 1 < 1.

Теорема 1. Для произвольного полинома рп(г) е /^,,, \<q<<x> справедливо неравен-

ство

Ьтр{п т)

. > (2)

где 0<7?< 1, апт =п-(п — Т)---(п — т + Т),п>т. Оценка (2) точна в том смысле, что существует полином дп{г)^Вду, для которого (2) обрагцается в равенство.

п

Доказательство. Пусть рп{£) = ^ акгк е . Поскольку

к

к=0

п к=т

то непосредственной проверкой убедимся в том, что при любом К <Е [0,1) справедливо соотношение

п

Креи т-р(”) Ире" =^ак так Яр ' е'к'

к,т к

к=т

— /л ре” ■ем’-"ККт в-! сів, (3)

2 п 0

В

где

п-т

Кк (т) = К" ■ а п + 2 V ап кш • Кп~к с об Ы > 0.

К,т V У п,т п—к,т

к=1

Неотрицательность функции ККт(т) проверяется двойным преобразованием Абеля. Далее, воспользовавшись равенством (3), имеем

^ 1 2 ж

-ЦрИр)— /*" ■е-*1Н)-К^ в-1 с/в 2л- 0 0 2л- 0

Применяя интегральное неравенство Минковского, получим

б/ рё!

<

( 1 2л- у/? / . 2л-

Г | \рУ(.Р)\Рп{РеЮ)\аРа0 ■ — \\Кг,ш(})\Ж

о 0

Ч2л_ о

= КП'ап,т-\Р«\\В >

II ,х±-)д<у

откуда и вытекает неравенство (2).

Покажем, что полином цп (г) - аг", <2<еС в неравенстве (2) реализует знак равенства. В самом деле, имеем

/ ! \УЧ

1^(г)1к, НИИ,, = ЖИ19?, =Н'1 \рпч+1у(р^р

= Яп-апт- ШИ =Яп.апт- Шг)\\ .

п,т | | || ||^ п,т || -/«V ■/\\в

Теорема 1 доказана. Отметим, что соотношение (2) в определенном смысле можно рассматривать как комплекснозначное аналога неравенства С.Н.Бернштейна.

Теорема 2. Для произвольной функции /{г)^ВдуК, \ <с/ < да, 0<7?<1, у которой

гт/(”)(г)е5 , 1 < ^ < да, имеет место точное неравенство

я

(4)

Знак равенства в (4) реализует функция /0(г) = г”.

Доказательство. Пусть /(£) = ^ скгк — произвольная аналитическая в круге |г| < 1

к=О

функция. Тогда гт/(т\г) =

ак тск^к ■ Возьмем произвольный

к=т

п-1

рп_г(г) = ^акгк е Рп_х. Почленным интегрированием легко доказать равенство

полином

к=О

/ Яре'1 -дп_г Яре'1 =

Г-е 2 па,.

Ш 2 ж

• | рею "/(я) Р? ~Рп--і ре*

еМ^,п,т в-іЛ,

(5)

где

(Л, „ „ (т) = 1 + 2ог„ „ • V ¿г!. Я* соб

л^К,п,т V / п,т п+к,т

к=1

(6)

=У с,Д‘+й,.а2-^,„Д2-‘

к=0

к=т

ск - тейлоровские коэффициенты функции /(г). Обозначая, ради краткости,

Ре = Ре Г ре -Рп-г ре ,

из равенства (5) имеем

-і 1 2л туп іпґ-2л— ||Мр)- ре* в-! ав

О О ¿Пап,т О

\1/?

б/ рек

(7)

Применяя, как и прежде, интегральное неравенство Минковского к правой части равенства (7), будем иметь

^ 2тг 2тг

т-/т-К Р^" в-! М

(к <

в

я

ч

<

1 ¿.л

^-Г

Ч2л_ О

\

рею Ч йв

V

=м« ъ.р мтзл=м12~г>-р^р .|а,„||:[0.21|.

Теперь, с учетом неравенства (8) из равенства (7) следует, что

\f-4n-il

<

(8)

*я"■<:,■ \мр)м1 ¿'Г"-р,.„р -ца

Л,п,т\\ц0М]

=к’<,-Ь"/{’Л-р,.\в |а

В„„ П~'К'п'т\\ь[0,2х] '

(9)

Выбирая в качестве рп_х(г) полином наилучшего приближения функции гтут>{£) в про странстве Вд , из (9) получаем

II/-4-.il-"г', |а

В„„ 11~Я-п’Ч1цо,2ж]

откуда сразу следует неравенство

Еп{/\,<ВГ<пЕп г"/

т т(т')

■|а

Щ0,2гг]

(10)

Таким образом, из (10) видно, что для доказательства (4) достаточно установить равенство

\&к’"Аь[о,2л]^^ 1|йг,«>иг(0|^^ = 1> (11)

а это с учетом (6) возможно только тогда, когда при любых К е [0,1) и всех t е [0,2п~\ функция ()Кпт(1)>0. Для этого нам потребуется следующая

Лемма [8, с.251]. Пусть Н^) = а0 -2а^ак соъМ, а> 0. Если ь ак 1< 00. и

к=1 к=0

А2ак —ак— 2ак+1 + ак+2 > 0 для всех А: = 0,1,2, • • •, то Н(1) > 0 для всех / е [0,2п\.

Проверим выполнение условия леммы для ряда (6). Очевидно, что при любом п>т и Я е [0,1] имеем

1Ы=2=1

Кк

к=0 к=0

(п + к)(п + к -1) • • • (п + к - т +1)

■ < со.

0

В

Далее, так как

ЛЧ = А2 а~п1+кЯк

= Як А2 а' +2 \-Я -А а' + 1-- Я 2 ■ а' ,

и при любых натуральных п > т выполнены условия

ап1к+2,ш = (п + к + 2 - т)\/(п + к + 2)\> 0,

д ап1к+\,т = т(п +к+ 1-т)\/(п +к+ 2)\>0,

Д2 ап1кт =т(т + \)(п + к-т)\1(п + к + 2)\>0,

то А ап+КтЯ > 0, а это значит, что ()Кпт(1)>0 при любых Я е [ОД] и всех ^ е [0,2л). Следовательно, равенство (11) и вместо с ним неравенство (4) доказаны, чем и завершим доказательство теоремы 2.

Следствие. В условиях теоремы 2 справедливо точное неравенство

(12)

и знак равенства реализуется для /0(2) = гп. Неравенства (12) вытекает из (4) при

о.

2. Обозначим через Ьп(Ш1,X),с!п(Ш1,X),с]"(Ш1,X),Лп(Ш1,X) и ип{Ш,Х) соответственно бернштейновский, колмогоровский, гельфандовский, линейный и проекционный и—поперечники выпуклого центрально-симметричного компакта Ш в банаховом пространстве X (см., например, [1],[7],[8]). Указанные п— поперечники монотонны по и и связаны неравенствами

с1(М,Х)

ъп{М,х) < ^ М™,Х) * яя№,Х) ■ (13)

Теорема 3. При любых натуральных п,т,п>т, 0<Я<\ и \<с/ < эо справедливы равенства

, . , */ лп

У в(т) В = Я" - а =_______________-__________ (14)

п(п -1) • • • (п - т +1)

где /(■) -любой из вышеперечисленных п—поперечников.

Доказательство. Оценку сверху для проекционного и—поперечника получим из неравенства (12)

*. С!* А, (15)

С целью получения оценки снизу для бернштейновского п— поперечника вводим в рассмотрение (п +1) - мерный шар полиномов

Sn+i=\Pn(z)^n-\Pn\B ^Rn-a,

■И Л,-1

п.т

и докажем, что £й+1 а . Но это включение сразу вытекает из неравенства (2), поскольку при любых 7?е[0,1) для произвольного рп(г) е Бп+1 имеем:

z (m) p(m)

pn

<Rn - а -II» II <R2n< 1.

n,m \\± n\\ß

Таким образом, согласно известной теореме В.М.Тихомирова [1],

к >ъ, = д". (16)

Равенство (14), с учетом (13), следует из сопоставления неравенств (15) и (16). Теорема 3 доказана.

Из доказанной теоремы в качестве следствия получаем результат В.М.Тихомирова [1]:

Г, ЗГІ’-С = п(п-ї)-(п-г+\)-\

B

Институт математики Поступило 06.03.2008 г.

АН Республики Таджикистан

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений, М.: Изд-во МГУ, 1976.

2. Тайков Л.В. - Мат.заметки, 1967, т.1, №2, с. 155-162.

3. Тайков Л.В. - Мат.заметки, 1977, т.22, №2, с.285-295.

4. Fisher S.D., Micchelli C.A. - Duke Math.I. 1980. v.47, №4, p.789-801.

5. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. - Мат.заметки, 1986, т.40, №3, с.341-351.

6. Вакарчук С.Б. - Укр.мат.журнал, 1990, т.42, №7, с.873-881.

7. Вакарчук С.Б. - Матем.заметки, 1995, т.57, №1, с.30-39.

8. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1985, 292 p.

9. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.

М.Ш.Шабозов

НАЗДИККУНИИ БЕХТАРИНИ ФУНКСИЯХОИ АНАЛИТИКИ БА ВОСИТАИ БИСЕРУЗВАХО ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН

Дар фазой вазндори Бергман В ,l<q<cc к;имати аник;и л-кутрхои баъзе синфи

функсияхои аналитикии дар давраи вохидй, ки нормаи тартиби m -уми хосилаи онхо дар ин фазо махдуд аст, ёфта шудаанд.

M.Sh.Shabozov

ON THE BEST APPROXIMATION IN WEIGHTED BERGMAN SPACE AND VALUES OF SOME WIDTHS OF ANALYTICAL FUNCTIONS

In the weighted Bergman spaces Bq ,l<q<co we find exact estimates for widths of some classes of analytical functions in a unit disk whose r - derivatives are bounded.