Точные значения поперечников некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2008, том 51, №7_____________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Умеди Гулходжа ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ

1. В пространстве Харди Н ,1<р<оо вопросы вычисления точных значений поперечников некоторых классов аналитических в единичном круге функций рассматривались, например, в работах [1-10]. В данном сообщении найдены точные значения различных поперечников классов функций, задаваемых модулями непрерывности высших порядков граничных значений производной г -го порядка в пространстве #2. Введенные здесь классы функций в определенном смысле являются обобщением классов функций, ранее изучавшихся Л.В.Тайковым и Н. Айнуллоевым [4]. Статья является продолжением нашей работы [11].

Напомним, что аналитическая в круге Ы < 1 функция

аналитических в единичном круге функций / (г), для которых /<г) (г) е Н'р, \< р<<х>. Структурные свойства функции /(г) е Нгр характеризуем скоростью убывания к нулю мо-

принадлежит пространству Харди Н , 1 <р< оо, если

||/||Нр = Ит Мр (/; р) : р -> 1 — 0 < со,

При этом ее норма реализуется на угловых граничных значениях / ви .

Всюду далее обозначим /(г)(г) = сГ //йгг, г > 1 и под Нгр, 1 <р< со понимаем класс

дуля непрерывности т -го порядка граничных значений производной /(г\2)

о

задавая эту скорость посредством мажоранты некоторой усредненной величины со /(,), / .

р

В частности, используя специфику гильбертова пространства #2, имеем:

/(Г)^ 2 =2" Бир] £ сс1]ск^ ■ 1 — соб к-г и т :|м|<Д,

и=г+1 )

где акг =к(к-\)...(к-г + \),к>г.

Пусть Рп есть подпространство алгебраических комплексных полиномов степени < п . Наилучшее приближение функции /(г)еНр,1<р<со множеством Рп_х обозначим

Пусть Ф(7),(7 > 0) есть произвольная возрастающая непрерывная функция такая, что Ф(0) = 0. Используя Ф(7) в качестве мажоранты, определим следующий класс аналитических функций

могоровский, бернштейновский, гельфандовский, линейный и проекционный поперечники выпуклого центрально-симметричного компакта М в банаховом пространстве X (см. на-

Вышеперечисленные поперечники монотонны по п и между ними выполняются соотношения

Нам для дальнейшего понадобится следующий результат.

Теорема А[11]. Для любой функции /{г) є Нг ,\ <р < 2, при всех т,п,г є N, для 0 <и<7г/ 2 (п — г),п> г имеет место равенство

К,=К,(г,Ф,и)

где гп,г<еМ и //е^,//>1- произвольное фиксированное число.

Под б/п (Ш1, X),Ьп (Ш1, X), с!" (Ш1, X), Лп (Ш, X), яп (Ш1, X) понимаем соответственно кол-

пример, [1,5,7,9,10]).

(1)

2 2т-аІ-Е2п(Лр

8ир ------------- г п

/ (і)фсоші/енр |^2 у(г)?2ї ^ 1+ л/2(п — г)и 2-І віп{яї/2и) сії

0

= | |8Іп2я!(и-г)ґ- \ + ^{лІ2{п-г)и)2 — 1 8Іп(тгґ/2г/) с&| . (2)

Верхнюю грань в (2) реализует функция /0(г) - гп є Нгр, 1 < р <2.

Теорема А позволяет получить точную оценку наилучшего приближения класса Жт подпространством Рп1 - рп ;(г) заданной размерности п, то есть

Е 1¥т,Р^ Н2 =§ир\Еп(ЛНі :/еЖт( =

= 2”“ • ос~1 • Ф {л/2ц{п-г) ^ п>г, (3)

где

(л/2ц(п-г') Л

| ып2т(п-гУ-\\ + (]12 -\)ып]и(п-г)^ж\ .

Верхнюю грань в равенстве (3) реализует функция

№ = 2-т-а;1-Ф (л/2^(и-г)

Обозначим

(втх), = бпи, если 0<х<я/2; 1 если х>л/2 .

Теорема 1. Пусть при заданном // > 1 и произвольных 0 <у <п/2,

и = тт12/и(п — г),ш,/7,г е /У,и >г мажоранта Ф(л') удовлетворяет ограничению

V

Ф2(м)-| $іп(7Гі/2/лі 2т\\ + (р2 -\)?,т{лИ2ю)^Л

<

<

и

Ф2(г>)-| $>т(яіІ2и[л 2”[і + (//-1)8т(я^/2г/)^£Й. (4)

Тогда имеет место равенство

8п №т{г,Ф,/л),Н2 =2-т-а;1-Ф тт/2/л{п-г) ^ п>г, (5)

0

О

Здесь З(-) есть любой из вышеперечисленных поперечников с/п(-),Ьп(-), й?"(-)Ди(-) или В частности, при /л-1 из (5) следует, что

г л 1/2 I---- / N

2 т\ уп — г

71

я- 2т-(2т-\)\\\ апг \2(п-г)

Доказательство. Полагая в соотношении (2) и = 7гі2/и(п — г),п> г с учетом определения класса 1¥т(г,Ф,/л) и равенства (4) получим оценку сверху для проекционного поперечника

УУт{г,Ф,/л),Н2 <Тт-а^-Ф пИ/ліп-г) •Уц>и_г,и>л (6)

Приступая к оценке снизу бернштейновского поперечника, введем в рассмотрение (п +1) - мерную сферу полиномов

С-„+1 = \Рп Є Р„,: IIРп |Ц = Г" • °С ■ Ф ^2ц{п - Г) •

и докажем, что сгй+1 є 1¥т(г,Ф,/і) .

В работе [9] доказано, что для произвольного полинома рп (г) е Рп имеет место неравенство

Рп}22та1 ■ 8ІпО-г> Т ■ I\Рп(н2 ■ О)

Неравенство (7) умножим на \ + (]и2 - \)•s,m(7тtl2v) и проинтегрируем по ( в пределах О<ґ<у , после чего делаем замену переменной и-г = я/2/я/, заменяя норму полинома по формуле радиуса сферы сгй+1. После выполнения всех указанных преобразований с учетом выполнения условия (4) приходим к неравенству

и

|®»0»г)>20я2 -[1 + 02 -1)8Іп(>Я/2гО]<# <

О

V

22т 'аІг-\Рпїн2 • I (п-г)і 2™ -[і + (//2 -1)$Іп(7ГІ/2у)]сІІ :

О

= Ф

Глт/2//(и-г) 'І ^

п!2ц{п-г) ■< | $,т(п-г)і 2т |^1 + (//-\)$,т/и(п-г)Г^&\ х

х| біп (п-г)ї 2™ - ^ +(/и2 - \)&т(лі 12ю)}^&

О

О

V

-ф2(и)-1 ?,т{яіІ2и/и) І"1 -[і + (//2-1)8т(я^/2г>)]£Йх

х|| 8Іп(7гґ/2/гг/) 2” -[^1 + (//2 -1)8Іп(;гґ/2г/)^£Й | <Ф2(г>),

из которого следует включение <7п+1 а Жт(г,Ф,/і). Согласно известной теоремы

В.М.Тихомирова [1] для бернштейновского поперечника, имеем оценку снизу

Ъп Жт(г,Ф,//),Я2 >Ъп(ап+1,Н2)>2-т-ап:-Ф Ії2/і{п-г) -^п_г. (8)

Сопоставляя неравенства (8) и (6), с учетом соотношения (1), завершаем доказательство тео-

ремы 1.

Приступим к анализу условий теоремы 1. Положим Ф2 (и) = иа и запишем неравенство (4) в эквивалентной форме

| 8Іп(тгґ/2 /ли) 2™ ■'\\ + (/л2-1)8Іп(;тґ/2г/)^£Й

2 (9) | $т{піІ2/ли) 2т-|^1 + (//2-1)8Іп(;гґ/2и)]£Й

/ \ рка

V )

\и)

Сделав замену переменных в левой части неравенства (9) и положив у/и = х , приводим последнее неравенство к виду

1

| sm(лtxl2/i) 2т ■\\ + {/и2-1)8т(я^/2)]бЙ

^-----------------------------------------<ха~\ 0 < х < со. (Ю)

| 8Іп(лі/2/л) 2т •\^1 + {/и2-1)8Іп(л"Ґ/2)^|й?Ґ

Теорема 2. Для того, чтобы неравенство (10) имело место с любым заданным // > 1, необходимо и достаточно, чтобы число а = сс(ц) определялось по формуле

а := сс(/л) -

1

^ 8т(я^/2/л) 2т 1 •со&{^/2/л)-\\ + {/л2-\)$,т{^/2)\&

ТУ17Г ^ *

= 1 + — *-------------------------------------------------------------------------------;-• (П)

| $т(лі/2/л) 2т -[і + (//2 -1)8Іп(л-ґ/2)]й?ґ

Доказательство теоремы 2 повторяет схему рассуждения аналогичного утверждения из работы [4] для случая т = 1, а потому мы его опускаем.

о

0

0

0

Отметим, что предложенная формула (11) есть результат приравнивания производных по х от левой и правой частей неравенства (10) при х = 1. Простые вычисления дают

а(1) = 2т т\- (2т-\)\\ lim а(ц) = 2т + \,т > 1.

Таким образом, для всех /и> 1, получаем

2т -т\- (2т -1)!! ' < а(/и) < 2т +1.

Институт математики Поступило 05.05.2008 г.

АН Республики Таджикистан

ЛИТЕРАТУРА

1. Бабенко К.И. - Изв. АН СССР, 1958, т.22, №5, с.631-640.

2. Тихомиров В.М. - УМН, 1960, т.15, №3, с.81-200.

3. Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1977, т.22, №2, с.285-295

4. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. - Мат.заметки, 1986, т.40, №3, с.341-351.

5. Вакарчук С.Б. - Мат.заметки, 1995, т.57, №1, с.30-39.

6. Вакарчук С.Б. - Мат.заметки, 1999, т.65, №2, с.186-193.

7. Вакарчук С.Б. - Мат.заметки, 2002, т.72, №5, с.665-669.

8. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - Мат.заметки, 2000, т.68, №5, с.599-604.

9. Шабозов М.Ш., Юсупов Г. - ДАН России, 2002, т.382, №6, с.747-749.

10. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. - ДАН России, 2004, т.394, №3, с.317-319.

11. Шабозов М.Ш., Умеди Гулходжа - ДАН России, 2005, т.403, №5, с.610-613.

М.Ш.Шабозов, Умеди Гулхоча ЦИМАТИ ХАНИКИ КУТР^О БАРОИ БАЪЗЕ СИНФ^ОИ ФУНКСИЯ^ОИ АНАЛИТИКИ ДАР ФАЗОИ ХАРДЙ

Дар мак;ола к;имати ханики кутрх,ои колмогоровй, бернштейнй, гелфандй, хаттй ва проексионй барои баъзе синфх,ои аналитикй ёфта шудааст.

M.Sh.Shabozov, Umedi Gulkhodja THE EXACT VALUES OF WIDTHS FOR SOME CLASSES OF ANALYTICAL FUNCTIONS IN THE HARDY SPACES

In article was found the exact values of Kolmogorov, Bernstein, Gelfand, linier and projec-tive-widths for some classes of analytical functions.