Наилучшие полиномиальные приближения в пространстве Харди и поперечники некоторых классов аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №5

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

О.Ш.Шабозов НАИЛУЧШИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ Нр,\<р<2 И ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Илоловым 26.08.2006 г.)

1. Обозначим через Н ,\< р < со - пространство Харди аналитических в единичном

круге функций

с конечной нормой [ 1 ]

/О) = ^скг\г = рё\0 < р < 1

(1)

к=0

- ІШ1 {М (/, р): р -> 1 - 0} < 00,

,1 < р < 00.

При этом ее норма реализуется на угловых граничных значениях. Через

/('г\г) Ы < 1,г є N обозначим обычную производную г-го порядка аналитической функции

/(г) попеременным г,/<г\г) = йГ//йЬг . Под Нгр, 1 < р < со, г € N понимаем класс аналитических в круге |г| <1 функций, для которых /(г) (г) е /7/;,!</?< к. Структурные свойства функции /(г) е Нгр характеризуем скоростью стремления к нулю модуля непрерывности даго порядка, определяемого равенством

-~0)т(/(г);і)н =вир ||Лт(/(г),-,г/)|| :У</

с(г)

(Г)

где

к=О

ҐтЛ

\кУ

у(г) ^еЦх+1и)^ _

разность т-го порядка производной /(г\г) по аргументу г с шагом И.

В частности, используя специфику гильбертова пространства Н2, имеем:

т

Ю1 (f(r) > 02 = 2" SUP al |ск Г (! — cos(^ - r)uT : Н < 4,

где ab :=£!{(£-г)!} \к>г. Пусть

п

'Pn=\Pn{z)-Pn{Z) = YJC*zk

У к=0 ]

подпространство комплексного полиномов степени не более п. Наилучшее приближение функции /(г) <е Н множеством Тп_г обозначим

2. В работе С.Б.Вакарчука и А.Н.Щитова [2] для множества Л'2[0,2п\ 2я -периодических функций /(х) є L2 [0,2я], у которых производные (г -1) -го порядка абсолютно непрерывны, а производные r-го порядка f0)(x) є Л2[0,2л-], введена новая экстремальная характеристика, которая в отличие от известных характеристик содержит модуль непрерывности m-го порядка не только под знаком интеграла, но также и вне интеграла. Введение такой характеристики позволило авторам обобщить известные асимптотические неравенства, содержащие наилучшее приближение и модуль непрерывности первого порядка, полученные Л.В.Тайковым [3] на аналогичные неравенства, содержащие модули непрерывности m-го порядка.

В данном сообщении экстремальная характеристика, введенная в [2], изучается для множеств аналитических функций Нгр <^Нр,\< р< 2. Всюду в дальнейшем предполагаем,

что для произвольной f(z)e.Hr,\<p<2 модуль непрерывности (om{f{'\i)2 -ф 0, т.е.

f(r>(z) Ф const.

Для 0 <t <я/(п-г),г <п введем экстремальную характеристику

В частности, из разложения (1) и равенства Парсеваля следует, что

и в силу неравенства Гельдера

E„(f)p<En(f)2,\<p<2.

(2)

Мп.г,ш, Д0= вир-

е2А/) Р

Теорема 1. Пусть г, п, т е Н, г < п и \< р<2. Тогда для любых чисел I, удовлетворяющих условию 0 </< я/ (п -г),г <п, имеют место равенства

_____,(0 =

1

а„Л(п-гУ]

2т

(3)

(0 = 0 < * < гг/(и - г)} = Мтр(я/(п - г)) = а^7г~2т. Доказательство. В работе [4] доказано, что для /{г)&Нг2 справедливо неравенство

(Л -1К Г <**(* -Ф<2-' а;;"£;-2/" (/), (/">;»)

к

Проинтегрировав (4) по и в пределах от 0 до т, приходим к неравенству

гЕШ <£|с

<к-г)т , £„2-2"(/)2 I

к-г

2а,

2/т

(4)

(5)

Вновь интегрируя обе части неравенства (5) по г в пределах от 0 до получим

2

£2(/)д <¿|с,|г 1 ™(к /У + Е- "({)2 ЦшТ(/г,-,и)^т<

к=п № Г)

пг 0 0

1 со 7^2-2//« /- г

<--------£|^|2(1-со8(£-г» + п и)2

(п-г)2 Ып

2а,

2/т

¡(1-туо1:‘(/"\т)гс1т (6)

Оценив сумму в правой части (6), согласно неравенству (4), будем иметь

и), +(п-г)2 ¡(1-т)(С(/";т)2с1т

Е"{1)г~ 2а1:’(п-г)1

(О

Из неравенства (7) с учетом (2) вытекает соотношение

ЕК1) р

<

1

со

V Г (п-г)2тета2пг

2/"(/(г),02+(п-г)2 \{1-т)юТи(г\т)2ёт

(7)

0

2

2

I

О

О

и так как (8) справедливо для любого /(г)<=Е[гр,\<р<2, то для 0 < 7г/(п-г),1< р <2

имеет место неравенство

1

Мп,г,шМ

<-

2т 4.2т Л,2 '

пг

(п-г) і а]

Для установления равенства (3) достаточно рассмотреть экстремальную функцию /0(г) = гп е.Нгр,1 <р < 2, воспользоваться определением Мпгтр(1) и легко проверяемыми соотношениями

Е„(/о)р —Еп(гп)р —\,\<р<2

(9)

Ч, (/оГ); 02 = 2”2 апг (1 - со<и - /•)/)”' 2,0</< кЦп - г)

(10)

со.

/и \»/0 ? /2

л2а2!т

(11)

Соотношение (9) доказано в [5, лемма 1]. Из равенств (9)-(11) имеем:

е2ЛЛ)р

1

[(и-г)/]2" а,

-=Мп,г,ш,Лі)

2т ^2 п,г,т,р '

пг

Этим теорема 1 полностью доказана.

Следствие. Для любых чисел 0 </< л/ (п - г), 1 < р <2 выполняется неравенство

< Бир

^(/)г

<-

[(и-г)/Г< /.¿;^(/м;02 сх2п\(п-г)2і2 2

1

• н—

(12)

Доказательство. В самом деле, на основании (8) для произвольной функции

/(г) ^Нг, 1 <р<2 имеем

ҐтЕ2п(/\<-

пУ-”2 (п-г)2та2пг ч

1 +

2

2 л™

откуда и следует оценка сверху

е2ЛЛ2 - 1

®»(/(г)»02 <■ и«-г)2^ 2

<

о

т

0

т

1

1

1

т

1

1

Чтобы доказать оценки снизу, заметим, что для экстремальной функции f0 (z) = z"e Нгр при всех значениях 0 <t < л/(п-г) ,г <п из (10) получаем

ч>Ж\>)г = 2 2"a¿ sin!’ < <[(я-г)<]!",

откуда

E„(fo)2 ^______1_______ /14ч

Из (13) и (14) следует неравенство (12). Следствие доказано.

Замечание. Неравенство (12) является обобщением асимптотического неравенства Л.В.Тайкова [3], на случай аналитических функций, принадлежащих множеству Нгр^НрЛ<р<2.

3. Напомним необходимые понятия и определения для формулировки дальнейших результатов.

Пусть S = {g&H2-.\g\Hi < 1} - единичный шар в Н2; Ш - выпуклое центральносимметричное подмножество из Н2\ Ln а Н2 - //-мерное подпространство; I" cz Н2 - подпространство коразмерности п\ А:Н2 —» Ln - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства Н2 в Ьп; Ах : Н2 —» Ln - непрерывный оператор линейного проектирования Н2 на подпространство Ln. Величины

Ъп{Ш\Н2) = sup{sup{¿r > 0;eSr^Ln+l с Ш} : Ln+l с Н2}, dn(m,H2) = mf{sup{mf{||/-flfl: д eLn}: f е Ж}: Ln сЯ2},

8п (Ж; Н2) = inf{inf{ sup{||/ - АГ||: / е Ж}: АН2 с Ьп}: Ьп с= Н2}, dn (Ж, Н2) = mf{isup{||/||: / е Ж n L"}: П с= Н2},

П„(Ш;Н2) = inf{inf{sup{||/- AV|| :/еЩ: AlH2 czLn}\Ln сЯ2} -

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским, проекционным и-поперечниками.

В пространстве Н2 между перечисленными п-поперечниками выполняются соотношения

Ьп(тн2) < <Г(ЩН2) < ап(щн2)=8П{Ш-,Н2)=п„(шг,н2) (15)

Всюду, далее Ф(?) := ^т/л ,т - заданный мажорант, при помощи которого

рассмотрим в Н2 классы функций

( -\2‘

Кф = (/ 6 К- ■ ®Г(/И>0+ - /('- т)со1Г(/'\т)с1т < Ф2*”(0!

V' / О

Теорема 2. Для любых чисел т., п, г е Н, г < п справедливы равенства

гЛК Ф-Н2) = Е.(К.Ф.Я,)И, = ,

где

Еп(К,^ЯЛ) = ^{Ея{ЛНг :/^;ф} -

наилучшее приближение класса W^ф полиномами из 7^, а /(•) - любой из перечисленных выше п-поперечников.

Доказательство. В неравенстве (8), полагая t = я/(п — г),г <п для произвольной функции / е ф, имеем

£„(/), < л--«,;1 {ег*(Г\—)2 +(»-гУ х

п — г

л/(п-г)

* \ (—-^(/'КфгГ2 <

о «-'■

< п ’"а'Ф

т -4г-1

= *■ '2 ап1г(п-гу4т/* ; (16)

\n~rj

Из неравенств (15) и (16) следует оценка сверху

УУ1 ___| 2

Гп(КФ’Н2)<Е(Ж^ф,Рп_1)2<х а-Лп-гУт'* (17)

Для получения оценки снизу рассмотрим в подпространстве Р шар

УУ1 4 _| -

= {Рп (*) е Р„ ■ IIРп ||2 ^ П '2 (П - ГУЛт'Ж }

и покажем, что он принадлежит классу Н/’н ф. Для этого нам понадобится неравенство [6]

о

2 (р1г) , 02 ^ 2" а1г С1 - со§<> - ГУХ \р.

2

«112 '

где

(1—соб\={(\-со$>М)т, если 0</<7г/А;; 2”, если />я/А:}.

Согласно определению класса для произвольного полинома рп(г)еТ'п и

О < 7 < я/(и - г) с учетом (16) имеем

Г 7Г\2‘

0>Г.*)+[7] /(»- гХ-ЧаГ’.^Л 52а;;’ ||Д|'" х

т \лг п

(т)1

X ^ 1 — со%{п — г)1+ —I ^-г)(\-со$,(п-г)т)йт ><

г

< \ 1 + 2(1 - со%(п - г)()

Если же Я"/(и - г) < ^ < 2л, то

1

1

' л л {п-г)

%/л1

( Л21

й>,|)+ у ((/-гК-К1,2а?IIр,II;"X

V 1 ) О

О)

2/т/- (г)

т \лг п

(18)

х{2+ — [ | (1-т)(\-со^(п-т)т)<Лт + 2 | (7-г)г/г]}<

я/{п-г)

<2

^ 2 л

1 + ТГ

V ^ У

2;г

л-2-4

(и - г)^ \(п — г>]

г л ^ [п-г)

8/л-

(19)

и дело сводится к тому, что правые части неравенств (18) и (19) не превышали функцию ф2/т (^ _ ^8*г ^ этой целью, полагая и\=^п — г)/л, приходим к необходимости доказатель-

ства неравенств

и**1 >

2 1

1 н—— (1 — сое ли)(\ —-), при 0 < и < 15 л и

2

г О л 2 1 г Л Л

v1+?,

V п )

------Ь -

и и“

2

V1

И/7И 1 < и < 00

справедливость которых доказана в работе [2], откуда и вытекает включение Бп . Ис-

пользуя определение бернштейновского поперечника и неравенство (15), получаем оценки снизу

УУ1 —й_| 2

ГМ:Ф,Н2)>ЬП(Ж:Ф,Н2)>ЬП(8П,Н2)>7Г ^ а~2(п-гу4т/ж (20)

Утверждение теоремы 2 следует из сопоставления неравенств (17) и (20).

Технологический университет Таджикистана Поступило 26.08.2006 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кусис П. Введение в теорию пространств Н . - М.: Мир, 1984, 364 с.

2. Вакарчук С.Б., Щитов А.Н. - Укр.матем.журн., 2004, т.56, №11, с.1458.

3. Тайков Л.В. - Мат.заметки, 1976, т.20, №3, с.433-438.

4. Шабозов М.Ш., Пиров Х.Х. - ДАН России, 2004, т.394, №3, с.317-319.

5. Двейрин М.З., Чебаненко И.В. - Теория отображений и приближения функций. Киев: Наукова Думка, 1983, с.62-73.

6. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - Мат. заметки, 2000, т.68, №5, с.599-604.

О.Ш.Шабозов

НАЗДИККУНИИ БЕХ,ТАРИНИ ПОЛИНОМАЛЙ ДАР ФАЗОИ ХАРДИ Нр,\ < Р < 2 В А КУГРХОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЩОИ АНАЛИТИКИ

Дар макола кимати хдники наздиккунии бех,тарини полиномалй дар фазой Харди ёфта шуда, кутрх,ои баъзе синфх,ои функсиях,ои аналитикй х,исоб карда шудаанд.

O.Sh.Shabozov

BEST POLYNOMIAL APPROXIMATION IN THE HARDY SPACES Hp,\<p<2 AND WIDTHS OF THE SOME CLASSES ANALYTICAL FUNCTIONS

In paper we obtain exact value the best approximation analytical function by polynominals in the Hardy’s space and also we find exact values of different widths.