О наилучшем полиномиальном приближении в пространстве Харди Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2007, том 50, №9-10___________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

О.А.Джурахонов

О НАИЛУЧШЕМ ПОЛИНОМИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 23.11.2007 г.)

1. Обозначим через Hq,\<q<co пространство Харди аналитических в единичном круге функций

/О) = ^скгк’2 = Ре^0< Р ^1

(1)

к=0

с конечной нормой [ 1 ]

= Ііт М (/,/?): /? —> 1 -0 <00,

Мчи>Р) = \т- ||/ |?<#} ,1<^<°о.

Известно [2], что норма функций е /7 / реализуется на угловых граничных значениях. Через /(г\2) обозначим обычную производную г -го порядка аналитической функции /(г) по переменной г , то есть /(г)(г) == йГ / Д/гг . Под Щ,\ <q< со, г е N понимаем класс аналитических в круге |г|<1 функций, у которых /<г)(г) <е Н ч, \ <с/ < да. Структурные свойства функции /(г) <е //' характеризуем скоростью стремления к нулю модуля непрерывности т -го порядка, определяемое равенством

ат / ;* /',* н = 8иР Ат(/' ,-,м) : м <* ,

q о Я

где

к=0

(г) і(х+ки)

Г е

разность т -го порядка производной /(г)(2) по аргументу г с шагом И. В частности, используя специфику гильбертова пространства Н2, имеем:

/(г)>* 2:=а>1 /(г\і н =2”8ир £ а1\ск\ 1-сое к-г и :\и\<і

1к=г+1

-1

где а ,:=£! к-г ! ,к>г.

т

Пусть

Н=\Рп(?)-Рп(?) = ^Ск^

к—О

- подпространство алгебраических комплексных полиномов степени не более п. Наилучшее приближение функции f (z) е Hq множеством Рп_j обозначим

Еп / q-=E ^ -mf I/~Р„-\Нч -Рп-^Рп-, ■

В частности, из разложения (1) и равенства Парсеваля следует, что

г ч 1/2

00

Е, / 2 = Xkf •

[ к=п }

и в силу неравенства Гельдера имеем

Е„ / <Еп / n,l<q<2.

п J q п J 2 1

Всюду в дальнейшем предполагаем, что для произвольной f z еHrq,\<q<2, модуль непрерывности (Ут f(r\t 2^0, то есть /(г) z Ф const.

Для 0 <h<7r/ п — г ,г <п введем экстремальную характеристику

L.

df

h = sup ■

лт+— „ „

2 pa E f

nr n J

Vo

. n 1 . 2n

sin—t л— sin—t h 2 h

\v

\\/p ■

(2)

dt

Теорема 1. Пусть г,п,тє М,г <п и \<q,p<2. Тогда для любых чисел к, удовлетворяющих условию 0<к<тг/ п — г ,г<п, имеют место равенства

L h =

n,r,m,p,v

I

n — r t

sin-

mp

. n 1.2 n

sin—t Л— sin—t h 2 h

\v

dt

-Up

(3)

Верхняя грань в (2), реализующая равенство (3), достигается для функции /о г =гйеЯ;,1<</<2.

Следствие 1. При выполнении всех условий теоремы 1 справедливо равенство

L.

( я 1 -р mp+v+1 -р 3v+\ Iі 2 1 2

[п-г) п-r Г ^ + 2v + l

-і /Р

где Г(//) - гамма-функция Эйлера.

ч

2

О

Напомним необходимые понятия и определения для формулировки дальнейших результатов.

Пусть S = {д е Н2 : ||д||я <1} - единичный шар в Н2, Ш - выпуклое центральносимметричное подмножество из Н2\Ьп с~Н2 - //-мерное подпространство; I" а Н2 - подпространство коразмерности п\ А: Н2 —» Ln - непрерывный линейный оператор, переводящий элементы пространства Н2 в Ьп; Ах : Н2 —»Ln - непрерывный оператор линейного проектирования Н2 на подпространство Ln. Величины

Ьп(Ш; Н2) — sup sup s>0;sSnLn+1 :1л+1сЯ2 , d, m;H, — inf sup inf \f-d['.geL, :f еШ ,

S„ m-,H, — inf inf sup Ц/ - Д/-Ц: / e SOT : AH2 с Ln :L„cH

dn Ш;Н2 = inf sup ll/ll: / eni" :Ln <^H2 ,

Пи Шl;H2 = inf inf sup /-A1/ : f єШ :A±H2^Ln :Ln^H2

- называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским, проекционным п -поперечниками.

В пространстве #2 между перечисленными п -поперечниками выполняются соотношения [3-5]

Ъп Ш;Н2 <dn Ш;Н2 <dn Ш;Н2 = д'п Ш;Н2 =П„ Ш;Н2 . (4)

Для произвольных т,п,г є М,\< р<2,у>0 и 0 <{п- г)к <7Г, г <п определим класс функций

sin—t л—sin—t h 2 h

■F := F{n,r,m,p,v,h) = |/(z) eH2 : J<(/w;0

Тогда имеет место следующее утверждение.

Теорема 2. Справедливы равенства

у F-H -Е J7 -rL(m+2*)oTlL h

/л 1Л2 п Нг (XnrJ-'n,r,m,p,v

где

Еп JF н = sup Еп / 2: / z е JF ,

/„(■) - любой из перечисленных выше п-поперечников, величина Ьпгт (И) определена в (3). Доказательство. Для любой /{г) е У7 из неравенства

Ґ . я 1.2 ж ^ вт — ґ + — вт — і

\\/р

V

И 2 И

сіі

_ ті-----

2 ' а.

А /

п . п-г вт--------ґ

V о

2

при q - 2 имеем

віп у — t со83у — їсії 2/г 2й

£„(.^)2=8ир £„(/),:/(7) <2

Из (4) и (5) следует оценка сверху для проекционного поперечника

П Н7) < Е (Л < 2'("+^) сГ1! (/г).

«V 5 2/ «V /2 иг п,г,т,р,у\ /

Для получения оценок снизу в подпространстве рассмотрим (и +1) -мерную сферу комплексных полиномов

<ГП+1 ■= Рп(г) е Ч ■ \Рп\н2 < 2~<т+Т) ^пг1п,г,т,РЛ^ и покажем его принадлежность классу У7 . Для произвольного полинома рп (г) є <тп+1 имеем

Ир

,\<q<2.

(5)

(6)

со (»(г),ґ)7 < 2™ р а

т\-Г п 5 /2 п,

эт-

\ т

\рп\, П-Г І<7Г.

Возведя в степень р неравенство (7), затем, умножая на

(7)

Ґ . 7Г 1 . 2п Л

эт—і +—эт — і

V к 2 к у

и интегрируя в пределах от 0 до А , имеем

<2 ' -аг_

( ь

\сор

I т

1 о

( к і Г I

пг л

1 о

/2

/ . п 1 . 2п у/

віп—ґ + — вт — ґ V Ъ 2 И ;

\Мр

СІІ

<

вт

(и-г)ґ

2

тр

\\!р

віїї*'----ҐС083и---------їЛ

2к 2к

•ІкИ1’

получаем, что сгй+1 с . Из полученного соотношения (4) и определения бернштейновского поперечника следует оценка снизу

К ЯИ, >Ьп ом,Нг <гК,„,е, * •

Из сопоставления неравенств (6) и (8) следует утверждение теоремы 2.

Следствие 2. При выполнении условий теоремы 2 и к = л/{п - г) справедливы ра-

венства

Г, -Г-,Нг .Е, Г =2-<"'гт -а;! ■(п-г)"г

р тр+у+1 р 3^+1 1 2 1 2

Г ”^ + 2у + 1

-Ир

где /„(■) - любой из поперечников Ьп(-),йГ(-),Пи(-), а Г(-) - гамма-функция Эйлера.

При утверждении теоремы 2 на число И > О мы наложили ограничение вида (п - г)к < л. Рассмотрим теперь случай, когда к <е [0,2л] произвольное, и определим класс функций

^Г{Ф) := ^{т, п, г,р, у, к\ Ф) =

(н (

</(х)еНг2:

ч° ^

.л 1.2 л

эт—і + — бш—і

к 2 к J

ч1//>

Л

< Ф{к)

где Ф(И) - непрерывная монотонно возрастающая функция, Ф(0) = 0.

Положим ((п - г)к - л), = 0, если(и - г)к < л\ 1, если(и - г)к > л .

В этих обозначениях справедлива следующая Теорема 3. Пусть Ф{к) <е С[0,2л\

Х0 =

. п — г

БШ-------------І

ч тр

V 2

и для некоторой /г* е \0,л!(п - г)] достигается нижняя грань

т£

0<к<2ж

Ф(й)

тт(Й.Іг)

| уііуіі + ((п — г)к — л\ | 8ІПУ ^ісо^3у

л/(п-г)

1 /р

= в-

Тогда при выполнении условия теоремы 2 справедливы равенства

Гп(^(ФУ,Н2) = 2(т+").а-п:-д, где уп(-) любой из поперечников Ъп(•),с1п(•),дп(•),с1п(•) и Пп(-).

Институт математики АН Республики Таджикистан

Поступило 23.11.2007 г.

П

0

ЛИТЕРАТУРА

1. Кусис П. Теория пространств H . М.:Мир, 1984, 368 с.

2. Привалов И.И. Граничные свойства аналитических функций. М.: Гостехиздат, 1950, 350 с.

3. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.:Изд.МГУ, 1976, 304 с.

4. Вакарчук С.Б. - Матем. заметки, 2002, т. 75, №5, 665-669 с.

5. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - Матем. заметки, 2000, т. 68, №5, 796-800 с.

О.А.Ч,урахонов

ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ БЕ^ТАРИН БА ВОСИТАИ ПОЛИНОМ^О ДАР ФАЗОИ ХАРДЙ

Дар мак;ола барои синфх,ои функсиях,ои дар давраи вохиди аналитикй, ки ба фазой Хардй таалук; доранд, к;иммати аник;и хдмаи к;утрх,о, ки дар назарияи наздикунии бехтарин маълуманд, ёфта шудааст.

O.A.Jurakhonov

ON THE BEST APPROXIMATION OF POLINOMAL IN THE HARDY SPACE

In this article for a class of functions an unit circle in space Hardy are found a exact value off all diameters in theory of the best approximation.