CC BY
20
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2008, том 51, №3_____________
М.Р.Лангаршоев, М.С.Саидусайнов*
ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 14.02.2008)
Среди экстремальных задач теории приближения наиболее важными являются задачи вычисления точных значений поперечников классов функций. Указанные задачи для различных классов аналитических в круге функций, принадлежащих пространству Харди Нд,\ ^ ^ ^ со, решены^ например, в работах ^1—Здесь 1У1ы вычислила значение поперечников для классов аналитических в круге функций, у которых старшая производная по аргументу ограничена в весовом пространстве Бергмана Вр , 1 < р < оо.
1.Напомним, что аналитическая в круге | г |<1 функция
где у \г\ — неотрицательная измеримая весовая функция, сі а - элемент площади и интеграл
понимается в смысле Лебега.
Очевидно, что норму (1) можно записать в более удобном виде
Символом Вр к \<р<со, 0<7?<1 обозначим пространство аналитических в круге |г|<7? функций /(¿)е.Вр , для которых
ОО
принадлежит пространству Бергмана Вру, 1 <р < со, если
< со,
(1)
где
Обозначим
К =\pn(Z) ■ Pn(Z) = Іак2к’ак Є С \
Ы0
множество алгебраических полиномов комплексного переменного степени не выше п. Наилучшим приближением функции /(г) множеством Рп_х в пространстве Вру,1< р<со назовем величину
Еп f в„ = №~РЛвР'Г ■
Пусть /и —целое положительное число. Через /(™)(2) = дт/{реа)1д1т обозначим производную т-то порядка аналитической функции /(г) по аргументу t и через обозна-
чим класс аналитических в круге |^|<1 функций /{¿)&Врг, 1</?<со, для которых
<1.
и в„
Теорема 1. Для произвольного полинома рп(г)єВрг,1<р<‘Х>, у которого
P(nl iz)^BpyR, \ < р<сс, 0 < i? < 1, справедливо неравенство
II (in'! II - т-ч И
■П
р<~> <Л".»".||Л||в . (2)
lWp,yJt р v
Неравенство (2) точно в том смысле, что существует рп (г) є Н/і „, для которого оно обращается в равенство.
п
Доказательство. Пусть рп(г) = ^ акгк,ак є С - произвольный полином из множества
Р„. Поскольку p{^iz) = Y. (ik)m -akzk, то непосредственной проверкой убедимся, что для
к=1
любого 0 < R < 1 справедливо соотношение
п
д“ <Rpe") = 2 т” ■ a, (Rpf ■ е*' =
к=1
ітгт/ 2 2,т Г п е Г ^ k i(kt-(n-k)6)
о L*=o
где
QR,.m(0)de, (3)
0,„ (») = «“• п- + 2 (и - *)' ■ Л"-‘ ■ С08 кв > О
¿=1
при всех £? е [0,2л-],О < Л < 1 и неотрицательность функции 0,Кпт{&) проверяется двойным преобразованием Абеля, причем
л 1.71
п-пт.
(4)
Далее, применяя обобщенное интегральное неравенство Минковского (см.напр.[9], с.395), из равенства (3) с учетом соотношения (4) получим
1 1 шл/2 2л-
Тп\\рлр)-^\
к ¡(к1-(п-к)9)
к=О
% * ^
ч1/р
<
<
( 1 2л- Л17^ ( 1 2я
— \\ру(р)\р„(реи)\РЛрЖ ■ — ||бЛли(6')|^
о о
= Кп-пт-
п Ив ’
откуда и вытекает неравенство (2). Покажем, что полином рп{£) — агп,а еС в неравенстве (2) реализует знак равенства. В самом деле, имеем
п 1 | п
аг = К* • 2
1 1
14 \р",лг(р)Лр
\1 !р
/>£’(*) , = <ФГ г
— \a\-n
=«'•»"•1 МюЦ ,
чем и завершаем доказательство теоремы 1.
Неравенство (2) в некотором смысле является обобщением известного неравенства С.Н.Бернштейна для алгебраических комплексных полиномов в весовом пространстве
Вру, 1< р< оо. В случае ^ |г| =1 из неравенства (2) следует результат С.Б.Вакарчука [6] для
обычного пространства Бергмана.
Теорема 2. Для произвольной функции /(г)^Вр к, 1 < р < оо, 0<7?<1, у которой
/аМ)(г) ей , \< р< со, имеет место точное неравенство
п-1
£
О
п
ВР,7
(5)
Знак равенства в (5) реализует функция /0 (г) = г”.
Доказательство. Пусть /(£) = ^ скгк — произвольная аналитическая в круге |г| < 1
к=0
функция. Тогда /'(ат\£) = ^ (гк)тск1к . Возьмем произвольный полином
к=1
п-1
рп_г(г) = ^акгк е ^_1. Почленным интегрированием легко доказать равенство
Лкре1()-дп^(кре1() =
к=0
ґ л \т і7гт/2 2л1
\ ^ Г| ¿'(т)
2лпп
\[Л")(ре'в)-р,^ре'в)Уи-‘ІКх:К,.(і-в)<іі,
(6)
где
/СКт (г) = 1 + 2пт • Л (и + к)~т ■ Кк ■ соб Ат,
Аг=1
(7)
и-1 п—1
£=0 £=0
- тейлоровские коэффициенты функции /(г). Применяя, как и в теореме 1, обобщенное интегральное неравенство Минковского к правой части равенства (6), получим
^-4,-1, =
ґ і 1 2ж
— \\ру(р)\К
(-1 Т-е
іжт/2 2 л
«Vі/ ~______І I £(т)
2пп
і/р (л 12п \1р
х^т(1-в)йв\р с!рек <Яп-пт • — имр)|/в(и,) -Л-1 Р<ів \dpde :
-і ¿,71
- |К„(оИ
о о
< Я" -гГт ■
ІЩ0.2Я-]
(8)
Докажем, что
о
в
1К
о
|К,И(0^ = 1-
(9)
Очевидно, чтобы равенство (9) имело место, достаточно доказать, что ряд (7) для всех те[0,2л-) и 0<7?<1 был положительным. В самом деле, согласно лемме
2.2 из [10,с.251], нужно доказать, что для коэффициентов ак -2пт ■(п + к)~т -Як ряда (7) выполняется неравенство А2ак - ак - 2ак+1 + ак+2 > 0, что и означает А'Ит(1) > 0 для всех ^ е [0,2 п~\ и 0<Д<1.В самом деле, имеем
Теперь, выбирая в качестве рп_х(г) полином наилучшего приближения функции /'^т)(г) в пространстве Вр из (10), получаем
Переходя к нижней грани по всем полиномам рп_х (г) е Рп_х, получаем утверждение теоремы 2.
Следствие. В условиях теоремы 2 имеет место точное неравенство
Равенство в неравенстве (11) достигается для функции /0 (г) = гп е Вр 1 < р<со.
2. Напомним определение поперечников центрально-симметричного множества М в линейном нормированном пространстве X:
= К
:* {А2 ((и + к)~т) + 2(1 - К) А [{п + к +1 ут ] + (1 - Я)2 (п + к + 2)~т }
и для любых натуральных чисел п,т (п > т) простые вычисления показывают, что
Ь.{(п + к + \ут)>0, к2[(п + кут)> 0,
откуда следует, что Д2{2пт •(п + т) т -Кк} > 0. Поэтому равенство (9) вытекает из почленного интегрирования ряда (7), и мы из неравенства (8) имеем
(10)
(11)
Ьп Ш,Х =зир Бир е >0\е8глЬп+1 сгЭДТ -Ьп+1 сгХ ,
ёп Ш,Х =іпґ Бир іпґ \/- (р\х \ ер є Ьп :/єЗЯ -ЬпєХ ,
Яп Ш,Х = іпґ ІПҐ Бир ||/ - Л/||х : / є Ш : Л с= £ Х,Ьп Ьп с X ,
ёп т,Х - іпґ эирЦ/Ц: / еЭДТпЛ”}: Л” с=Х ,
пп Ш,Х =іпґ іпґ Бир ||/-А/||х :/єШ Лє/ :ЬпєХ ,
где: £ - единичный шар в пространстве X ; Ьп є X - п - мерное линейное пространство;
£(X,Ьп)~ множество всех линейных ограниченных операторов, отображающих X в Ьп;
£^{Х,Ьп)~ подмножество проекторов из £(Х,Ьп).
Эти величины соответственно называются бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским и проекционными поперечниками. Перечисленные поперечники монотонны по п и для них выполняются неравенства
Теорема 3. Для любых натуральных п,т, п>т и \ < р< со имеет место равенство
где сги0 -любой из вышеперечисленных поперечников.
Доказательство. В силу определения класса £>ртуа из неравенства (11) получим оценку сверху для линейного поперечника
Для получения оценки снизу для бернштейновского поперечника вводим в рассмотрение (п +1) - мерный шар полиномов
и докажем, что £й+1 £>ртуа,Вр у. Это включение вытекает из неравенства (2), согласно которому для любого рп(г) а Бп+1 получаем:
(12)
(13)
(14)
Таким образом, согласно теореме о поперечнике шара [11],
(15)
Равенство (13) следует из сопоставления неравенств (14) и (15), чем и завершаем доказательство теоремы 3.
1. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976,
2. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1967, т.1, №2, с.155-162.
3. Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1977, т.22, №2, с.285-295.
4. Fisher S.D., Micchelli C.A. - Duke Math.J., 1980, v.47, №4, p.789-801.
5. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. - Матем. заметки, 1986, т.40, №3, с.341-351.
6. Вакарчук С.Б. - Укр. матем. журнал, 1990, т.42, №7, с.873-881.
7. Вакарчук С.Б. - Матем.заметки, 1995, т.57, №1, с.30-39.
8. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.
9. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука, 1987, 424 с.
10. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin: Springer-Verlag, 1985.
11. Тихомиров В.М. - Успехи мат.наук, 1960, т.15, №3, с.81-120.
М.Р.Лангаршоев, М.С.Саидусайнов КУТР^ОИ БАЪЗЕ СИНФИ ФУНКСИЯ^О ДАР ФАЗОИ ВАЗНДОРИ БЕРГМАН
Дар макола кимати аники хамаи кутрхои дар назарияи наздиккунии бехтарини функсияхо маълум барои баъзе синфи функсияхои аналитикй дар фазои вазндори Бергман хисоб карда шудааст.
WIDTHS ON SOME FUNCTIONS CLASSES IN WEIGHTED BERGMAN SPACE
In article are calculated the value of all widths for some classes of analytical functions in weighted Bergman space, known in theory of approximation.
Таджикский технический университет им. акад. М.Осими,
*
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
Поступило 14.02.2008 г.
ЛИТЕРАТУРА
M.R.Langarshoev, M.S.Saidusainov
