CC BY
18
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________________________2007, том 50, №3_______________________________
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов ПОПЕРЕЧНИКИ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ВЕСОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
1. В последнее время в задаче о точном вычислении значений поперечников различных классов аналитических функций получен ряд окончательных результатов (см. например [1-7] и библиографические комментарии к ним). Однако для аналитических функций, принадлежавших весовому пространству Бергмана, аналогичные проблемы до сих пор остаются нерешенными. Данная работа посвящена получению точных значений поперечников для определенных классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана Вд/, 1 <q <да.
Говорят [5,8], что аналитическая в единичном круге функция
к=0
принадлежит пространству £ 1 < д < да, если
уЛ Йк1
< да .
(1)
где у( Й) - неотрицательная измеримая весовая функция, Ла - элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега. Очевидно, что норму (1) можно написать в виде
С л 1 2л
1/11
Ул о о
21 РУр) м, (/, Р) ЛР
< да
где ради удобства для дальнейшего положено
ґ 2л
м, (/, Р) = — Л /Р )| “Л
В частном случае, когда |й|) = \г\ 1 •( 1 -|й|) (р д) , из (1) получаем пространства В(р, д,у), 0 < р < д < да, 0 < Л < да, тіп(д, Л) > 1, изучавшиеся М.И.Гварадзе [9].
в
В
,,у
Через Ич, 1 < q <да обозначим пространство Харди аналитических в круге |г| < 1 функций ? (г) с конечной нормой
\\f\H =Ит { Mq (?( р), Р^1 - 0} <да 1 < q <да .
Символом И^ 1 <q<да, 0<р< 1 обозначим пространство Харди аналитических в
круге |г| < р функций f (г), для которых
II?(г)11нЯр = 1f рг)11н„ <да.
Пусть г - целое положительное число. Полагаем
и(\г) = ё?/ёгг, ?(г)(г) = дг?(реа)1 ёГ, 2 = рег\ 0<р< 1 и обозначим через Ж{г)Вду ()В г) класс аналитических в круге |г| < 1 функций и(2) е Вд/ которые удовлетворяют неравенству
1И" II в, (1 (I?' II1).
Под Ж(г)И (Ж()И) будем понимать класс функций и(2) е И , для которых
? (г И, <1 (IIг И, <1). Пусть
рп = |Рп(г) :Рп(г) = ( а е С|
- подпространства алгебраических полиномов комплексно переменного степени не более п. Величину
Еп (?)х = Іnf {II? - Рп-11|х : Рп-1 (г) е Рп-1 }
назовем наилучшим приближение элемента ? е X подпространством в банаховом пространстве X. Имеет место следующая
Теорема 1. Пусть г - целое положительное число. Тогда для любого рп(г) е В у,
1 < q < да у которого р(г)(г), г{г)р(г)(г) е В г справедливы соотношения
Р-1 < П • р4 , (2)
ивд,у и ивд,у
ЙРПI <апг ■ ІрІ у (3)
йс/
где апг = п (п - 1)...(п-г +1) = п!^{(п - г)!}-1, п >г
Неравенство (2) и (3) обращаются в равенство для полинома
рп (г)=гП е Вч,г ,1 < q <да.
Из теоремы 1, в частности, при у(| г|) = 1, вытекают результаты работы [4]. Неравенство (2) и (3) в определенном смысле являются аналогами неравенств С.Н.Бернштейна для алгебраических комплексных полиномов степени не более п в банаховом пространстве \г, 1 <q <да.
Следующая теорема устанавливает взаимосвязь разных норм для произвольных полиномов ри (г) е Рп в пространствах И и В г .
Теорема 2. Для любого полинома рп (г) е Вс У 1 < q <да, у которого р(')(г), р( ' ’(г) е Иq, 1 < q < да, справедливы точные неравенства
р(г)
± п,а
р(пГ )
И„
Г 1 Л-1/q
-п' [г |р-У(р) ёр \\рАВ/1
V 0 У
Г 1 Л-1/q
а I2 {р^У^ ёр -|р^
V 0 у q'
(4)
(5)
Знак равенства в соотношениях (4) и (5) достигается для полинома
рп (г)=е Вч,у 1 < q <
да.
Из теоремы 2 вытекает
Следствие 1. При выполнении условий теоремы 2 и у(| г| )^1 имеют место точные неравенства
р(') \\± п,а
-п' В-1и(пЛ +1; Л(1/р-1/q))•Цр,
п1В,
р(') г п
И
= а„
В-“(пЛ +1, Д(1/р-1/q))•(рЛв
(р 'q У)
обращающиеся в равенство для рп (г) = гп е В г, 1 < q < , где ^ (а, () (а > 0, ( > 0) - эйле-
ров интеграл первого рода.
Теорема 3. Для произвольной функции ?(г) е В у 1 < q <да, у которой производные
?(' )(г), гг ? (г)( г) е В 1 < q <да, имеют место точные неравенства
„'Г(')
q'У
Еп(?). <• ес/а'))
Е(/).. <а- • Еп(г'?('))в
(6)
(7)
д
И
д
Знак равенства в соотношениях (7) и (8) реализует функция /0 (2) = хп е В 7,
1 < д < да .
Доказательство. Докажем справедливость неравенства (7), поскольку получение (6) основано на практически аналогичных соображениях.
Пусть 2 = р е' 1, 0 <р < 1. Возьмем произвольный полином
п—1
Рп—1(2) = 2 ак*к , Рп—1 єРп—1
к=0
Учитывая равенство
гг/(г)( *) = 2«к,гск^
к=г
почленным интегрированием легко установим, что
2п
— /[ (ре'")'/(г’(ре") — Рп_ ,(ре")] 0„ (I — ")<" = / р) — 4,—р),
(8)
где
сп,м)=е11
к=1
г—1 п—1
Л „ікі
Чп—1(ре'‘)=2 ск ркекі +2 (ак—«к, гск)-«2Ц ркек •
к=0
к=г
Согласно леммы 2.3 из [10, с.251] при любом ^ е[0,2^]
а поэтому
Из (8) следует, что
ад
К()|=««г+22 «т к,г с°8 к ^0,
к=1
II/—зп—1ІІ
1
п, г
(9)
л 1 2я ■* 2я
—и — |[(рел)'/|г)(рел)-Р„—Дре")] о„ (I—в) *в
у/ д
рКр) лр&
(10)
Применяя к внутренним интегралам по переменным в и I правой части (10) неравенство Юнга
ад
В
Я,У
и .............. 111
\& * < \\ф\\ • ^ -1-= —V1
^ * \\ь,[0,2*] У Г \\ьр[0,2*] II * \\ьр[0,2жу р р' 5
(11)
с учетом (9) будем иметь
л 2* -* 2*
— | — |[(ре'в)'/<' >(ре'в ) - рп_1(ре'")] Опг (I-в) йв
2* О 2* 0
( л 2*
<
1 АЛ
— || (ре‘в)'/(' )(ре'в) - рп-,(ре'8) \йв
V 2* 0
^ С 1 22
-Ц (| )| л
V * 0
у
у
<
<«-
^ | I (ре'в )'/'П(ре'в) - рп-,(ре'в)| “йв 2*
V 0
Благодаря неравенству (12) из равенства (10) получаем
II/
“п-1|| В <аПу
2'/(Г} - Рп-1
(12)
(13)
В неравенстве (13), выбирая в качестве рп_х(г) еРи-1 полином наилучшего приближе-
ния функции гг /(г)(г) е В г, 1 < • <да, имеем
и - “Лв <°С • Еп(•/(Г))вяг >
■■ ?,У ' • •'
откуда сразу следует неравенство (7). Равенство в (6) и (7) для функции Л(2) = ? е Ву 1 < • < да проверяется непосредственным вычислением. Теорема 3 доказана. Следствие 2. При выполнении всех условий теоремы 3 имеют место точные нера-
венства
Еп (/ )« < пг • Еп (/' ))в
(14)
(15)
Еп (/ • Еп (• {Г V
Знак равенства в неравенствах (14) и (15) достигается для функции
/0(г) = гп е В?у• 1 < ? <да.
Теорема 4. Для произвольной функции /(г) = гп е В г, 1 < • < > у которой производ
ные /(г) (г), гг/(г) (г) е Н , 1 < “ < да, имеют место неравенства
у/ ?
Еп (/ )в„< п' ||рп,“ 'У(р)йр -Ц/Г
(16)
• •у
ґ 1 \1/9
Е(/)в„^«;‘ Цр"9*1 -Г(р)ёр '||/,г)||я • (17)
п.
\о У
Равенство в (16) и (17) реализует функция /0 (г) = гп е В? у 1 < • <да.
Доказательство теоремы 4 повторяет схему доказательства теоремы 3.
2. Обозначим через йп(М, X), Ьп(М, X), йп(М, X) и Лп (М, X) соответственно колмо-горовский, бернштейновский, гельфандовский и линейный и-поперечники выпуклого центрально-симметрического компакта М в банаховом пространстве X (см., например, [1], [3], [6] ). Указанные и-поперечники связаны неравенствами
Ьп (М, X) < йп (М, X) < йп (М, X) <Дп (М, X). (18)
Теорема 5. При любых натуральных п, г, п > г и 1 < ? < да справедливы равенства
у„(ЖГ)В,.ГВ„) = п ', (19)
у, (ж(г) в„, В,у)=«;1, (20)
где уп (•) - любой из вышеперечисленных поперечников.
Доказательство. Не уменьшая общности, докажем равенство (20). Учитывая определение класса Ж(г)В г, из неравенства (15) получим оценку сверху для линейного поперечника
у( Ж-'В", В?у)< зыр{ Е (/)„„ :/е гЧ.у} << (21)
Для получения оценки снизу для бернштейновского поперечника вводим в рассмотрение («+/)-мерный шар полиномов
^ = { 1 (1 еР„: 11 < 1,} и докажем, что £и+1 ^ Ж(г)В г. Но это включение вытекает из неравенства (3), согласно которому для любого рп (г)е £и+1 имеем:
гг р-г 1 < а • р < 1.
п II тэ пг п п
ив“Уу 11 1Ш<?,у
Таким образом, согласно известной теоремы В.М.Тихомирова [1],
Ьп ( Ж<г)В?у, В?,)> Ьп ( В?.) <а-‘г. (22)
Равенство (20) следует из сопоставления неравенств (21), (22) и (18). Аналогично доказывается неравенство (19). Теорема 5 доказана.
В связи с утверждением теоремы 4 естественно возникает задача вычисления точных значений и-поперечников классов К) н, и Ж(г)Ис{ в банаховом пространстве В г . Имеет место следующая
Теорема 6. Для любых натуральных п, г, п > г справедливы равенства
1/,
1. Тихомиров В.М. - Успехи мат. наук, 1960, т.15, №3, с.81-120.
2. Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1967, т.1, №2, с. 155-162.
3. Тайков Л.В. - Мат. заметки, 1977, т.22, №2, с.285-295.
4. Вакарчук С.Б. - Укр. мат. журнал, 1960, т.42, №7, с.873-881.
5. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 1995, т.57, №1, с.30-39.
6. Вакарчук С.Б. - Мат. заметки, 2002, т.75, №5, с.665-669.
7. Шабозов М.Ш. - ДАН России, 2002, т.383, №2, с.171-174.
8. Шабозов М.Ш, Шабозов О.Ш. - ДАН России, 2007, т.412, №4, с.466-469.
9. Гварадзе М.И. - Мат. заметки, 1977, т.21, №2, с.141-150.
10. Pinkus A.N. - Widths in Approximations Theory. Berlin: Springer - Verlag, 1985, 292p.
где уп (•) - любой из вышеперечисленных поперечников.
Следствие 3. В условиях теоремы 6 справедливы равенства
Гn,a і W(r) Hq, B(p, q, r) ) = nr ■B1/А і nA + І, А(1/ p -1 / q) ), r, і W(r) Hq, B(p, q, r)) = а;,1' ■ B1/A і nA +1, A(1 / p -1 / q)) .
Институт математики АН Республики Таджикистан
Поступило 04.01.2007 г.
ЛИТЕРАТУРА
М.Ш.Шабозов
НАЗДИККУНИИ БЕХ,ТАРИН ВА ЦИМАТИ ЦУТР^О ДАР ФАЗОИ ВАЗНИИ БЕРГМАН
Дар фазой вазндори Бергман кимати кугрхо барои баъзе синфхои функсиях,ои дар давраи вохидии аналитикй, ки нормаи х,осилах,ои тартиби додашудаашон мавдуд аст, ёфта шудаанд.
M.Sh.Shabozov
BEST APPOXIMATION AND ESTIMATES IN WEIGHTED BERGMAN SPACES
In the weighted Bergman spaces we find exact estimates for widths of some classes of analytical functions in a unit disk they derivatives of this functions are bounded.
