О точных решениях с функциональным произволом неоднородного волнового уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

УДК 517.956+534.2

О ТОЧНЫХ РЕШЕНИЯХ С ФУНКЦИОНАЛЬНЫМ ПРОИЗВОЛОМ НЕОДНОРОДНОГО

ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Ю. В. Шанько

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]

В аэрокосмической науке и технике имеет большое значение исследование моделей акустики. В работе рассмотрено неоднородное волновое уравнение. Изучаются точные решение с функциональным произволом этого уравнения.

Ключевые слова: неоднородное волновое уравнение, точные решения.

EXACT SOLUTIONS WITH FUNCTIONAL ARBITRARINESS OF INHOMOGENEOUS WAVE EQUATION

Yu. V. Shan'ko

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]

Investigation of acoustic models has a great importance in aerospace science and technology. The paper considers the inhomogeneous wave equation. The exact solutions with the functional arbitrariness of this equation are studied.

Keywords: inhomogeneous wave equation, exact solutions.

Модели акустики имеют важное значение при исследовании движения летательных аппаратов. В работе рассматривается двумерное уравнение распространения звука в неподвижной неоднородной среде [1]:

Pc

(1)

здесь давление р зависит от времени t и декартовых координат х и у.

Функции р = р(х, у) > 0 - плотность и с = с(х, у) > 0 - скорость звука являются заданными. Ищутся точные решения уравнения (1), которые можно представить в виде линейной комбинации произвольной гладкой функции одного переменного и ее производных до порядка п. Примеры таких решений для п = 0 рассмотрены в [2; 3].

При построении таких решений для п > 0 полезна техника сплетающих соотношений дифференциальных операторов [4]. Для уравнения (1) возможно построение бесконечных серий указанных выше классов решений [5; 6].

В докладе исследуются условия на функции р и с, при которых уравнение (1) имеет решения представи-мые в виде линейной комбинации произвольной функции и ее производных вплоть до любого порядка п. Приводятся примеры таких решений.

Библиографические ссылки

1. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М. : Наука, 1989.

2. Шанько Ю. В. Обобщенные функционально-инвариантные решения двумерного неоднородного волнового уравнения // Сиб. журн. индустр. матем. 2013. Т. 16, № 1. С. 126-137.

3. Шанько Ю. В. Обобщенные функционально -инвариантные решения двумерного волнового уравнения неоднородной акустики // Решетневские чтения : материалы XVI Междунар. науч. конф. Ч. 2 / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. С. 553.

4. Ganzha E. I. Intertwining Laplace transformations of linear partial differential equations // ArXiv preprint. 2013. arXiv:1306.1113.

5. Шанько Ю. В. Сплетающие соотношения для двух последовательностей дифференциальных операторов и точные решения одного класса уравнений в частных производных // Алгебра и логика: теория и приложения : тез. докл. Междунар. конф. Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2016. С. 83-84.

6. Шанько Ю. В. Сплетающие соотношения дифференциальных операторов и точные решения неоднородного волнового уравнения // Решетневские чтения : материалы XX Юбилейной междунар. науч. конф. Ч. 2 / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2016. С. 152-153.

References

1. Brehovskih L. M., Godin O. A. Akustika sloistyh sred [Acoustics of layered media]. M. : Nauka, 1989 (In Russ.)

2. Shan'ko Yu. V. Obobshhennye funkcional'no-invariantnye reshenija dvumernogo neodnorodnogo vol-

PewemHeecKye umeHun. 2017

novogo uravnenija [Generalized functionally invariant solutions of the two-dimensional inhomogeneous wave equation] // Sib. Journ. Industr. Math. Vol. 16, № 1. P. 126-137. (In Russ.)

3. Shan'ko Yu. V. Obobshhennye funkcional'no-invariantnye reshenija dvumernogo volnovogo uravnenija neodnorodnoj akustiki [Generalized Functionally Invariant Solutions of 2D Inhomogeneous Acoustic Wave Equation] // Materialy XVI Mezhdunar. nauch. konf. "Re-shetnevskie chteniya" [Materials XVI Intern. Scientific. Conf "Reshetnev reading"]. Krasnoyarsk, 2012. P. 533. (In Russ.)

4. Ganzha E. I. Intertwining Laplace transformations of linear partial differential equations // ArXiv preprint. 2013. arXiv:1306.1113.

5. Shan'ko Yu. V. Spletajushhie sootnoshenija dlja dvuh posledovatel 'nostej differencial 'nyh operatorov i

tochnye reshenija odnogo klassa uravnenij v chastnyh proizvodnyh [Intertwining relations for the two sequences of differential operators and exact solutions of a class of partial differential equations] // Algebra i logika: teorija i prilozhenija : tez. dokl. Mezhdunar. konf. [Materials Intern. Scientific. Conf " Algebra and Logic: Theory and Applications"]. Krasnoyarsk, 2016. P. 83-84. (In Russ.)

6. Shan'ko Yu. V. Spletayushchie sootnosheniya differentsial 'nykh operatorov i tochnye resheniya neodnorodnogo volnovogo uravneniya [Intertwining Relations of Differential Operators and Exact Solutions of Inhomogeneous Wave Equation] // Materialy XX Mezhdunar. nauch. konf. "Reshetnevskie chteniya" [Materials XX Intern. Scientific. Conf "Reshetnev reading"]. Krasnoyarsk, 2016. P. 152-153. (In Russ.)

© marnKO ro. B., 2017