Об условиях на границе расчетной области в методе конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

дой симметрии X1, X2, X3 можно построить закон сохранения для этого уравнения.

На подалгебрах aX1 + X2, aX2 + X3, в силу критерия инвариантности, можно построить инвариантные решения. Эти решения имеют следующий вид:

1. Решение на подалгебре aX1 + X2 найдено в виде: w = alnх + f(X), X = xy .

2. Решение на подалгебре aX2 + X3, найдено в виде

wa+1 = х2 f (y1+a /x1-a) .

Библиографические ссылки

1. Предельное состояние деформированных тел и конструкций / Д. Д. Ивлев [и др.]. М. : Физматлит, 2008.

O. N. Cherepanova Sibirean Feoeral Univercity, Krasnoyarsk, Russia

S. I. Senashov

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Krasnoyarsk, Russia

ON NEW SOLUTIONS OF EQUATION OF TORSION ROD IN THE COMPONENTS

OF VELOCITY VECTORS

The group properties of the equation of torsion rod are studied. Some new solutions for this equation are build.

© Черепанова О. Н., Сенатов С. И., 2012

Подставляя уравнение (3) в (1) и (2), получим уравнение кручения

(wy - По я )2 ^ + (^ + По у )2 ^ -

- 2(^ -Пох)(^ +ПоУ)^ = °.

Рассмотрим некоторые свойства уравнения (4):

1. Уравнение (4) выводится из вариационного принципа.

2. Уравнение допускает алгебру Ли точечных симметрий:

д д д д д

л, = —, X2 = хдх - у—, X3 = 2w--+ х--+ у— .

дw ду дw дх ду

3. Поскольку уравнение (4) выводится из вариационного принципа, то в силу теоремы Нетер для каж-

УДК 519.6

В. В. Шайдуров, Г. И. Щепановская, М. В. Якубович

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ОБ УСЛОВИЯХ НА ГРАНИЦЕ РАСЧЕТНОЙ ОБЛАСТИ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Предлагается алгоритм численного решения двумерных уравнений Навье-Стокса для вязкого теплопроводного газа. Дискретизация уравнений по пространству реализуется методом конечных элементов. Особое внимание уделяется численному моделированию условий на границе расчетной области. Проводятся тестовые расчеты.

Дискретизация уравнений осуществляется методом конечных элементов с кусочно-билинейными базисными функциями и применением простых квадратурных формул [1; 2]. Для этого в качестве области определения берется единичный квадрат О с границей Г , состоящей из четырех сегментов:

Г = {(х, y) Г2 = {(х, у) Г3 = {(х, у) Г4 = {(х, у)

х = 1.0, у е(0.0, 1.0)}; хе(0.0,1.0], у = 0.0}; х = 0.0, у е [0.0,1.0]}; х е(0.0, 1.0], у = 1.0}.

В целях упрощения изложения берется равномерная квадратная сетка по пространству с координатами

х^ = ¡И, уу = ]И, I = 0,1,...,п +1, у = -1,0,1,...,п +1, с

шагом И = 1 / п, целиком укладывающимся по горизонтали и вертикали квадрата О .

Множество узлов этой сетки обозначается через Яи = И; = (X,Уу): = °,1,...,п, у = 0,1,...,п}, и вводится сеточная область ПИ = БИ пП. После стандартного применения метода конечных элементов (Бубно-ва-Галеркина) и интегрирования некоторых слагаемых по частям, получаются системы интегральных уравнений.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00224).

" ■ И 2,/г 5

0.01 \{\ 6

Решетневские чтения

Распределение погрешности е в норме Ь2 от времени

В качестве примера приведем систему для уравнения энергии:

-

У

т РгЯе

^ 2

ф/, 1 -т

дек 5ф/,,

дх дх

РгЯе

* 1 2

чдУ 0

ф/, 1 -т

де* ф ду ду

" d П-

г\ у де к у де *

-1!-т—ф, idу--т—ф, 4х

■ДРгЯе дх ;'] ' РгЯе ду '] у

ф Р \ди дv ,П "

(1)

где р - плотность; и и V - проекции вектора скорости на оси х и у ; е - внутренняя энергия; т - вязкость; Р - давление [1; 2]. В методе конечных элементов подстановка граничных условий осуществляется либо на уровне формулировки задачи, либо уже после введения элементов. Граничные условия Дирихле подставляются обычно после того, как сформирована система алгебраических или обыкновенных дифференциальных уравнений. Для узла, в котором ставится граничное условие Дирихле, уравнение не требуется. Граничные условия Неймана обычно подставляются на уровне формулировки задачи. Условия второго рода включаются во взвешенную невязку метода конечных элементов, в которой возникает поверхностный интеграл после интегрирования по частям всех или некоторых ее слагаемых. В уравнение (1) граничные условия Неймана подставляются в поверхностный интеграл. Кроме того, в данной работе численно моделируется применение «исчезающей вязкости» около и на границе вычислительной области путем умножения динамической вязкости на срезающую функцию.

Для анализа влияния различных граничных условий на точность решения были проведены расчеты с тестовыми функциями:

ст(г,х, у) = е(г,х, у) = х(1 - х) + у (1 - у) + г +1, и (г, х, у) = V (г, х, у) = х (1 - х) + у (1 - у) + г. Расчеты выполнялись на сетках с к = 0,01 и к = 0,005. Шаг по времени т = 0,0001, г/т = 10,

Яе = 2х 103, М = 2, Рг = 0,7, у = 1,4, © = 0,8.

На рисунке кривые под номерами 1, 2 соответствуют тестовым расчетам при к = 0,01, к = 0,005 и условиям Дирихле на Г для всех искомых функций. Кривые 3, 4 □ расчеты при тех же к соответственно и следующих граничных условиях:

стк„=ст(г,ху), и1 ^ =и(г,ху), нгпе =v(1,ху),

где Ги =Г2 ^Г3 ^

:|гз = е(г,х,у), £

= 0

где г =г2и^ ^

дп

= 0, и = (и, v, е)Т .

Кривые 5, 6 □ условия аналогичны условиям для кривых 3, 4 с подстановкой «исчезающей вязкости». В заключение отметим, что полученные системы уравнений удовлетворяют законам сохранения массы и полной энергии на дискретном уровне, обеспечивая устойчивость дискретного решения по времени, что и видно из графиков на рис. 1.

Библиографические ссылки

1. Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В. Применение метода траекторий и метода конечных элементов в моделировании движения вяз -кого теплопроводного газа // Вычислительные методы и программирование. 2011. Т. 12. С. 275-281.

2. Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В. Математическое и численное моделирова -ние течений вязкого теплопроводного газа // Решет-невские чтения : материалы XIV междунар. науч. конф. / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2011. С 521

У

V. V. Shaydurov, G. I. Shchepanovskaya, M. V. Yakubovich Institute of Computational Modeling, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

ABOUT THE CONDITIONS ON BOUNDARY OF DOMAIN IN THE FINITE ELEMENT METHOD

An algorithm for numerical solution of the two-dimensional Navier-Stokes equations of viscous heat-conductive gas is suggested. Digitalization of equations Ьу space Ьу the finite element method is realized. A special attention for numerical modeling of the conditions on boundaгу of domain is attended. The test calculations are performed.

© Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В., 2012

УДК 517.956+534.2

Ю. В. Шанько

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ АКУСТИКИ

Проводится определение обобщенных функционально-инвариантных (ОФИ) решений для дифференциального уравнения распространения звука в двумерной неподвижной неоднородной среде. Исследованы условия на функции плотности и скорости звука, при которых такие решения существуют. Предложена методика построения точных ОФИ-решений.

Рассмотрим двумерное уравнение распространения звука в неподвижной неоднородной среде [1]:

Pc

< py ^

(1)

и скорость звука

р Л

где плотность р = р(х, у) > 0 с = с(х, у) > 0 - заданные функции.

Будем искать функции q = q(t, х, у), V3 = V 3($, х, у), у = 1, ..., N такие, что

p = £ vJ Yj (q)

(2)

будет решением уравнения (1) при всех (достаточно гладких) функциях Чу. Решения, удовлетворяющие этому условию, будем называть обобщенными функционально-инвариантными (ОФИ) решениями класса N.

Для уравнения (1) выписаны необходимые условия существования ОФИ-решений. Эти условия представляют собой переопределенную систему диффе-

ренциальных уравнений на функции q и V3, которые зависят от трех независимых переменных t, х, и у. С помощью замен переменных полученную систему удается переписать таким образом, что одна из независимых переменных перестает входить в явном виде в уравнения. Тем самым анализ переопределенной системы на совместность значительно облегчается.

Доказано, что уравнение (1) может обладать только ОФИ-решениями классов 1 и 2. Далее в работе рассматриваются только ОФИ-решения класса 2. Выписаны соотношения на функции с и р, при выполнении которых такие решения существуют. Показано, как в этом случае можно строить соответствующие точные решения исходного уравнения (1).

Библиографическая ссылка

1. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М. : Наука, 1998.

Yu. V. Shan'ko

Institute of Computational Modelling, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

GENERALIZED FUNCTIONALLY INVARIANT SOLUTIONS OF 2D INHOMOGENEOUS ACOUSTIC WAVE EQUATION

A definition of generalized functionally invariant (GFI) solutions of differential equation for sound propagation in a two-dimensional stationary inhomogeneous medium is given. The conditions on functions of the density and of the speed of sound under which such solutions exist are studied. The method of construction of exact GFI solutions is presented.

© Шанько Ю. В., 2012