Математическое моделирование движения полярной молекулы во внешнем электрическом поле Текст научной статьи по специальности «Физика»

<Тешетневс^ие чтения. 2016

2. Reyner M. Reologiya [Rheology]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 225 p. (In Russ.)

3. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials. Advanced Structured Materials, vol. 21. Heidelberg; New York; Dordrecht; London; Springer, 2012, 392 p.

4. Godunov S. K. [A difference method for numerical calculation of discontinuous solutions of the equations of

hydrodynamics]. Mat. sb. 1959, vol. 47 (89), no. 3, p. 271-306. (In Russ.)

5. Ivanov G. V., Volchkov Yu. M., Bogul'skiy I. O., Anisimov S. A., Kurguzov V. D. Chislennoe reshenie dinamicheskikh zadach uprugoplasticheskogo deformiro-vaniya tverdykh tel [Numerical Solution of Dynamical Problems of Viscoelastic Deformation of Solids]. Novosibirsk, Sib. Univ. Izdat., 2002, 352 p. (In Russ.)

© Hem;oB E. n., 2016

УДК 519.6

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЯРНОЙ МОЛЕКУЛЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ1

В. В. Шайдуров, В. С. Корниенко

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]

Предложена физико-математическая модель для исследования поведения дипольной частицы во внешнем электрическом поле.

Ключевые слова: диполь, электрическая частица, физико-математическая модель, вычислительный эксперимент.

MATHEMATICAL MODELING OF POLAR MOLECULE MOTION IN AN ELECTRIC FIELD

V. V. Shadurov, V. S. Kornienko

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]

In this paper, we propose physical and mathematical model to research dipole behavior under electric external

Keywords: dipole, electric particle, physical and mathematical model, numerical simulation.

Введение. Работа посвящена численному моделированию поведения молекул, обладающих электрическим дипольным моментом, во внешнем электрическом поле.

Модель движения полярной молекулы во внешнем поле. Молекула воды H2O является типичной электрической дипольной частицей [1]. Уголковая конфигурация молекулы и смещение электронных оболочек от атомов водорода к атому кислорода приводят к возникновению электрического дипольного момента величиной p = 6,2 • м [1]. Избыток

отрицательного заряда около атома кислорода и положительного около атомов водорода приводят к межмолекулярным взаимодействиям, называемых водородными связями [2]. Эти связи объединяют молекулы воды в кластеры разнообразной конфигурации.

В работе [1] путем вычислительного эксперимента выяснены наиболее вероятные наборы кластеров во-

1 Работа поддержана Проектом 14-01-00147 Российского научного фонда.

ды при температурах 200 и 300 К. Нас будут интересовать только кластеры с дипольным моментом.

В итоге мы исследовали с помощью НурегАет ряд кластеров из работы [1], обладающих дипольным моментом. Для них был вычислен дипольный момент, тензор моментов вращения и его главные оси. Часть таких кластеров приведена на рис. 1.

Рис. 1. Некоторые кластеры воды с дипольным моментом

Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

Постановка задачи. Рассмотрим полярную молекулу с массой m, диагональным тензором инерции

JT = diag {х, Jv, Jz ^ и вектором дипольного момента р = {0,0, р)Т , заданными в подвижной системе

координат, привязанной к главным центральным осям тензора инерции.

Для дипольной частицы на момент времени t = t0 в инерциальной декартовой системе координат 0ХУ2 определим следующие величины: г = {гХ, гу, Г ^ -радиус-вектор центра масс дипольной частицы; V = {Х,УУ,Уг) - вектор поступательной скорости

центра масс; ю = {юх,юу,ю2) -вектор угловой скорости относительно центра масс; |р| - модуль вектора дипольного момента; ф, 0, у - углы Эйлера.

Требуется для дипольной частицы определить на момент времени Т > ^ значения следующих величин:

г, V, ю, ф, 0, у .

Уравнения движения. Для описания движения частицы введем инерциальную [3] декартову систему координат 0ХУ2. Движение дипольной частицы представим в виде суперпозиции поступательного и вращательного движений. Для описания вращательного движения полярной молекулы введем локальную подвижную систему координат Охуг , жестко закрепленную с частицей. Тогда вращение молекулы отождествляется с вращением этой подвижной системы координат, описываемой с помощью углов Эйлера

ф, 0, у [3].

Известно [3], что систему дифференциальных уравнений, описывающую поступательное движение дипольной частицы во внешнем электрическом поле, можно представить как

id7/dt = V,

| dV/dt = v(^ p

(1)

Вращательное движение дипольной частицы опишем дифференциальным уравнением моментов, которое в подвижной системе координат Охуг имеет вид [4]

dL dt

- +

й х L

= N.

(2)

дуль вектора угловой скорости ю = 0,1с 1. Дипольная

частица начинает вращаться в плоскости вращения х = 0, замедляясь в направлении внешнего электрического поля, как это показано на рис. 2.

Здесь и далее символ « » означает, что величина

задана в подвижной системе координат, а Ь - момент

импульса дипольной частицы, N - вращательный момент.

Вычислительный эксперимент. Для вычислительного эксперимента на начальный момент времени примем поступательную скорость равной нулю.

~ext

Внешнее электрическое поле £ , направленное противоположно оси 02, зададим равным внешнему

электрическому полю Земли

= 130 В/м, а мо-

Рис. 2. Изменение направления дипольного момента частицы со временем: вверху - в пространстве, внизу - в проекции на плоскость Т02

Однако если увеличивать внешнее электрическое поле, то частица перестает вращаться, принимая устойчивое положение, совпадающее с направлением внешнего поля.

Для поиска численного решения системы ОДУ использовался метод Мерсона [5] из семейства явных численных методов Рунге-Кутты с контролем точности и устойчивости.

Библиографические ссылки

1. Miyake T. H-bond patterns and structure distributions of water octamer (H2O)8 at finite temperatures // Chemical Physics Letters. 2006. № 424. Рр. 215-220.

2. Feynman R. P., Leighton R. B. The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2. London : Addison-Wesley Publishing Company; M. : Sands. 1964.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 1. Механика. Электродинамика / 3-е изд., перераб. и доп. М. : Наука, 1973. 208 с.

Решетневс^ие чтения. 2016

4. Вяткин А. В. Численная аппроксимация поля в задаче взаимодействия дипольных частиц : дис. ... канд. физ.-мат. наук. ИВМ СО РАН. Красноярск, 2010.

5. Бахвалов Н. С. Численные методы. М. : Наука, 1975.

Reference

1. Miyake T. H-bond patterns and structure distributions of water octamer (H2O)8 at finite temperatures. M. : Aida. / Chemical Physics Letters, 2006. 424. 215-220.

2. Feynman R. P., Leighton R. B. The Feynman Lectures on Physics. Vol. 2. London, Addison-Wesley Publishing Company. M. : Sands. 1964.

3. Landau L. D., Lifshic E. M. Teoreticheskaja fizika [Theoretical physics] in 10 t. T. 1: Mehanics. Electrodynamic. 3rd ed., Rev. and additional. M. : Science, 1973. 208 c.

4. Vjatkin A. V. Chislennaja approksimacija polja v zadache vzaimodejstvija dipol'nyh chastic: dis. kand. fiz.-mat. nauk [Numerical approximation of the field in the problem of the interaction of the dipole particles cand. sci. diss] ICM SB RAS. Krasnojarsk, 2010.

5. Bahvalov N. S. Chislennye metody [Numerical methods]. M. : Nauka [M. : Science], 1975.

© Шайдуров В. В., Корниенко В. С., 2016

УДК 517.956+534.2

СПЛЕТАЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Ю. В. Шанько

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]

В аэрокосмической науке и технике имеет большое значение исследование моделей движения сплошных сред. Рассмотрено неоднородное волновое уравнение. Точные решения этого уравнения построены с помощью техники сплетающих соотношений дифференциальных операторов.

Ключевые слова: неоднородное волновое уравнение, точные решения.

INTERTWINING RELATIONS OF DIFFERENTIAL OPERATORS AND EXACT SOLUTIONS OF INHOMOGENEOUS WAVE EQUATION

Yu. V. Shan'ko

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]

Investigation of models of continuous media has a great importance in aerospace science and technology. The paper considers the inhomogeneous wave equation. The exact solutions of this equation are constructed using the technique of intertwining relations of differential operators.

Keywords: inhomogeneous wave equation, exact solutions.

Исследование моделей сплошной среды имеет большое значение при изучении движения летательных аппаратов. В работе рассматривается двумерное уравнение распространения звука в неподвижной неоднородной среде [1]:

здесь давление р зависит от времени t и декартовых координат х и у. Функции р = р(х, у) > 0 - плотность и с = с(х, у) > 0 - скорость звука считаются заданными.

Будем искать классы точных решений (1), зависящих от произвольной гладкой функции одного переменного. Примеры таких решений рассмотрены в [2; 3].

Сплетающие соотношения дифференциальных операторов изучались в работе [4]. Уравнение (1) является линейным уравнением второго порядка с тремя независимыми переменными. С помощью техники сплетающих соотношений для таких уравнений возможно построение бесконечных серий указанных выше классов решений [5].