Моделирование волновых процессов в композитных материалах со слоистой и блочной структурой Текст научной статьи по специальности «Физика»

<Тешетневс^ие чтения. 2016

3. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. [Elastoplastic Bending of Beam] J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2014, 7(2), pp. 203-208.

4. Senashov S. I., Kondrin A. V. [Development of information system for finding the elastic-plastic boundary of the rolling profile rods]. Vestnik SibGAU. 2014. Vyp. 4 (56), p. 119-125. (In Russ.)

5. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. [Construction of elasto-plastic boundaries using conservation laws]. Vestnik SibGAU. 2015. Т. 16. Vyp. 2, pp. 343-359.

© Сенашов С. И., Савостьянова И. Л., 2016

УДК 534-18

МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ СО СЛОИСТОЙ И БЛОЧНОЙ СТРУКТУРОЙ1

Е. П. Ченцов

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]

Волновые процессы исследуются с помощью модели, в которой упругие блоки взаимодействуют друг с другом через податливые прослойки, имеющие сложные реологические свойства. Разработанная модель может использоваться для описания деформационных процессов в композитных материалах, используемых в аэрокосмической отрасли.

Ключевые слова: композитный материал, блочная среда, реология.

MODELING WAVE PROCESSES IN COMPOSITE MATERIALS WITH LAYERED

AND BLOCKY STRUCTURE

E. P. Chentsov

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]

In paper oscillation processes are analyzed using a model, wherein elastic blocks interact with each other via pliant interlayers with difficult rheologicalproperties. In particular, the developed model can be used to describe deformation processes in composite materials, used in airspace industry.

Keywords: composite material, blocky medium, rheology.

Анализ колебательных процессов в пористых, структурно неоднородных средах и композитных материалах представляет большой практический интерес. В аэрокосмической отрасли часто возникает необходимость использования многофазного материала, который состоит из большого количества чередующихся слоев, имеющих различные свойства, или разделенных прослойками блоков. Данная работа посвящена моделированию волновых процессов в подобных композитах.

Рассмотрим случай плоской деформации блочной среды, состоящей из прямоугольных упругих блоков размером hi и h2 и вязкоупругих прослоек с толщиной §i и 52. Стороны блоков параллельны осям х1 и х2. Движение каждого блока в такой среде описывается

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке

РФФИ и правительства Красноярского края в рамках науч-

ного проекта 16-41-240415.

системой уравнений однородной изотропной упругой среды:

рт>1 =аПд +^12,2, ¿11 =рс1Ч\1 + У%2) - 2рс1 У22, Р^ = ¿12,1 + ¿22,2, ¿22 = Рс12(у1,1 + У2,2) - 2РСс ^ «¿12 =РС2(у2,1 + V\,2),

где р - плотность материала блоков; с1 и с2 - скорости продольных и поперечных упругих волн. Система записана относительно компонент тензора напряжений од и проекций вектора скорости VI. Точка над символом означает дифференцирование по времени.

Межблочные прослойки могут обладать различными свойствами, что оказывает существенное влияние на свойства композита. Так, в [1] прослойки являются упругими и описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом продольной и поперечной жесткости. Если прослойка

Механику сплошные сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)

обладает более сложными механическими свойствами, то для моделирования удобно использовать реологический подход [2].

Используем модель Поинтинга-Томсона для описания вязкоупругих прослоек (рис. 1).

Рис. 1. Схема модели Поинтинга-Томсона

Здесь а0, а1 - жесткости верхней и нижней пружины соответственно. Особенностью данной модели является комбинация мгновенной и задержанной уп-ругостей, причем последняя появляется за счет наличия в системе вязкого демпфера с модулем вязкости п. Данная модель используется для описания поперечных волн, поскольку влияние вязкости в продольных волнах пренебрежимо мало. Согласно приведенной реологической схеме, определяющие уравнения записываются в виде

.У + S

a

1 2 а+ +а"

5

s + + S "

л0

- + ^ а1 -

а +а

S + S "

где ^ - упругое напряжение, а знаки "+" и "—" относятся к границам взаимодействующих блоков.

Для описания распространения продольных волн использована модель, имеющая жесткий контакт (рис. 2).

Рис. 2. Схема модели с жестким контактом

Здесь Ь0, Ь1 - жесткости нижней и верхней пружин соответственно. Наличие жесткого контакта в реологической схеме позволяет моделировать прослойку, по-разному сопротивляющуюся растяжению и сжатию [3], а также исключить возможность взаимопроникновения блоков в модели. Определяющие уравнения тогда примут вид

. V+ + V" а+ - а" . V+ - V" Р—~— =-;-, 8 =—;—,

- = Ь0 e + Ь1 я(е),

2

где в - деформация; п(в) - проектор на отрицательную полуось. Увеличение расстояния между контактами в схеме приводит к модели пористой среды, в которой при пороговом напряжении происходит схлопывание

пор. В таком случае последнее определяющее уравнение незначительно модифицируется. Комбинация модели Поинтинга-Томсона и модели с жестким контактом позволяет строить реалистичные модели прослоек в блочных средах.

Для численного решения поставленных задач с заданными начальными данными и граничными условиями разработаны вычислительные алгоритмы, основанные на двуциклическом расщеплении по пространственным элементам. Двуциклическое расщепление подразумевает четыре последовательно выполняемых этапа, на каждом из которых происходит решение одномерных систем. Для уравнений в блоках применяется схема распада разрыва Годунова [4] с равномерной сеткой и максимально возможным шагом по времени, определяемым критерием Куранта-Фридрихса-Леви. Для уравнений прослоек применяется неявная схема Иванова [5], которая представляет собой модификацию схемы Годунова. Отличительной особенностью применяемого метода является возможность предварительного задания искусственной диссипации энергии в схеме, обеспечивающей вычислительную устойчивость алгоритма.

Создано параллельное программное обеспечение, позволяющее моделировать распространение волн в двумерной блочной среде из упругих блоков и прослоек с приведенными выше свойствами. Программ-мный комплекс написан на языке Fortran с использованием библиотеки MPI. Для тестирования программного обеспечения проведен ряд вычислительных экспериментов по импульсному возмущению блока на границе области. Показано, что в случае тонких упругих прослоек линии уровня касательного напряжения имеют почти круглые фронты, в то время как при увеличении толщины прослоек фронт становится эллиптическим.

Библиографические ссылки

1. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Modeling of elastic waves in a blocky medium based on equations of the Cosserat continuum // Wave motion. 2015. Vol. 52. P. 138-150.

2. Рейнер M. Реология / под ред. Э. И. Григолюка. М. i Наука, 1965. 225 с.

3. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials // Advanced Structured Materials. Vol. 21. Heidelberg; New York; Dordrecht; London i Springer, 2012. 392 p.

4. Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Матем. сб. 1959. № 47(89). С. 271-306.

5. Численное решение динамических задач упруго-пластического деформирования твердых тел / Г. В. Иванов [и др.]. Новосибирск i Сиб. унив. изд-во, 2002. 352 с.

References

1. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Modeling of elastic waves in a blocky medium based on equations of the Cosserat continuum Wave motion. 2015, vol. 52, pp. 138-150.

Решетневс^ие чтения. 2016

2. Reyner M. Reologiya [Rheology]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 225 p. (In Russ.)

3. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials. Advanced Structured Materials, vol. 21. Heidelberg; New York; Dordrecht; London; Springer, 2012, 392 p.

4. Godunov S. K. [A difference method for numerical calculation of discontinuous solutions of the equations of

hydrodynamics]. Mat. sb. 1959, vol. 47 (89), no. 3, p. 271-306. (In Russ.)

5. Ivanov G. V., Volchkov Yu. M., Bogul'skiy I. O., Anisimov S. A., Kurguzov V. D. Chislennoe reshenie dinamicheskikh zadach uprugoplasticheskogo deformiro-vaniya tverdykh tel [Numerical Solution of Dynamical Problems of Viscoelastic Deformation of Solids]. Novosibirsk, Sib. Univ. Izdat., 2002, 352 p. (In Russ.)

© Hem;oB E. n., 2016

УДК 519.6

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ПОЛЯРНОЙ МОЛЕКУЛЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ1

В. В. Шайдуров, В. С. Корниенко

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]

Предложена физико-математическая модель для исследования поведения дипольной частицы во внешнем электрическом поле.

Ключевые слова: диполь, электрическая частица, физико-математическая модель, вычислительный эксперимент.

MATHEMATICAL MODELING OF POLAR MOLECULE MOTION IN AN ELECTRIC FIELD

V. V. Shadurov, V. S. Kornienko

Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]

In this paper, we propose physical and mathematical model to research dipole behavior under electric external field.

Keywords: dipole, electric particle, physical and mathematical model, numerical simulation.

Введение. Работа посвящена численному моделированию поведения молекул, обладающих электрическим дипольным моментом, во внешнем электрическом поле.

Модель движения полярной молекулы во внешнем поле. Молекула воды H2O является типичной электрической дипольной частицей [1]. Уголковая конфигурация молекулы и смещение электронных оболочек от атомов водорода к атому кислорода приводят к возникновению электрического дипольного момента величиной p = 6,2 • м [1]. Избыток

отрицательного заряда около атома кислорода и положительного около атомов водорода приводят к межмолекулярным взаимодействиям, называемых водородными связями [2]. Эти связи объединяют молекулы воды в кластеры разнообразной конфигурации.

В работе [1] путем вычислительного эксперимента выяснены наиболее вероятные наборы кластеров во-

1 Работа поддержана Проектом 14-01-00147 Российского научного фонда.

ды при температурах 200 и 300 К. Нас будут интересовать только кластеры с дипольным моментом.

В итоге мы исследовали с помощью НурегАет ряд кластеров из работы [1], обладающих дипольным моментом. Для них был вычислен дипольный момент, тензор моментов вращения и его главные оси. Часть таких кластеров приведена на рис. 1.

Рис. 1. Некоторые кластеры воды с дипольным моментом