CC BY
6УДК 534-18
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ТРЕЩИНОВАТЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ СО СЛОИСТОЙ И БЛОЧНОЙ СТРУКТУРОЙ*
Е. П. Ченцов
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]
Исследуется процесс распространения трещин в материале, состоящем из упругих блоков, разделенных трещиноватыми прослойками. Разработанная модель позволяет описывать процессы деформации в композитных материалах с учетом структурных повреждений.
Ключевые слова: композитный материал, блочная среда, образование трещин, распространение волн.
MODELLING OF WAVES PROPAGATION PROCESS IN FRACTURED COMPOSITE MATERIALS
WITH LAYERED AND BLOCKY STRUCTURE
E. P. Chentsov
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]
A process of cracks propagation in material consisting of elastic blocks, divided by fractured elastic interlayers, is under investigation. Developed model can be applied to describe strain processes in composite materials taking into account structural defects.
Keywords: composite material, blocky medium, cracks formation, waves propagation.
Анализ процесса распространения трещин в многофазных материалах при динамических нагрузках представляет большой практический интерес в аэрокосмической отрасли. Прочностные характеристики композитов, широко используемых при производстве летательных аппаратов, могут значительно изменяться при появлении трещин между слоями или блоками материала [1]. Данная работа посвящена моделированию волновых процессов и распространения трещин в подобных средах.
Рассмотрим деформирование матричного композита, состоящего из прямоугольных упругих блоков размером И1 и Н2 и упругих прослоек с толщиной 51 и 52. Стороны блоков параллельны осям х1 и х2. Движение каждого блока в такой среде описывается системой уравнений однородной изотропной упругой среды:
рт>1 =СТЩ СТП =РС12(УЦ + - 2РС22 Vlл,
РТ>2 =СТШ + 022,2 , 022 = Рс2 (У1,1 + У2,2) - 2РС2
012 =РС22(У2Д + У1,2).
Здесь р - плотность материала блоков, с1 и с2 -скорости продольных и поперечных упругих волн. Система записана относительно компонент тензора напряжений ад и проекций вектора скорости ук. Точка
над символом означает дифференцирование по времени.
Как правило, материал прослоек является более податливым, чем материал блока. В связи с этим предложен подход, в котором появление трещин отрыва и их рост моделируется не в блоках, а в межблочном пространстве. Рассмотрим деформирование такой системы в направлении х1. Если текущее значение деформации ниже некоторого критического значения ес, то прослойка считается упругой и описывается с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений [2]:
у+ + V- °+1 -0-1 0 +1 +0-1 = Рс,2 У+ - V-2 81 ' 2 1 8; '
У+ + У- = 0+2 0-2 +2 + 012 =Рс'2 У+ ~ У-2 81 ' 2 2 81 Здесь знаки "+" и "-" относятся к границам соседних блоков; р', с1', с2' - плотность материала прослойки и скорости распространения продольных и поперечных волн, соответственно. Взаимодействие блоков также может быть представлено с помощью реологической модели (см. рисунок, а).
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (номер проекта 18-31-00100).
Решетневские чтения. 2018
Реологические схемы взаимодействия блоков: a - Sj < sc; b - Sj > sc
б
а
Если деформация достигает критического уровня деформации £1 > ес, возникает трещина, а взаимодействие блоков описывается с помощью реологической схемы с упругой пружиной и жестким контактом (см. рисунок, б). Жесткий контакт является неклассическим реологическим элементом и используется для описания сред, по-разному сопротивляющихся растяжению и сжатию [3]. При растяжении деформация системы растет без роста напряжения. При сжатии контакты замыкаются, и поведение прослойки снова становится упругим. Определяющие уравнения для прослойки указывают на нелинейную природу взаимодействия блоков и записывается в виде
У++уГ _СТ+п -СТ~11 2 5 '
. _ у+Г^Г , О+ГГ^ГГ _р,с12л(£1),
52 где п(еГ) - проектор на неположительную полуось.
Для численного решения поставленной задачи с заданными начальными данными и граничными условиями разработаны вычислительные алгоритмы, основанные на двуциклическом расщеплении по пространственным элементам. Двуциклическое расщепление подразумевает четыре последовательно выполняемых этапа, на каждом из которых происходит решение одномерных систем. Для уравнений в блоках применяется схема распада разрыва С. К. Годунова с равномерной сеткой и максимально возможным шагом по времени, определяемым критерием Куранта-Фридрихса-Леви. При численной реализации уравнений прослоек предложен вычислительный алгоритм, основанный на подходе Г. В. Иванова [4]. Главной особенностью схемы является возможность предварительного задания искусственной диссипации энергии. Схема для упругих прослоек представлена в [1]; в случае наличия трещины к аппроксимации определяющих уравнений добавляются соотношения на характеристиках системы и замыкающее уравнение на скорости:
+ О+г _ Я +,
г1У- - °-1 _ , У + УГ _ У+Г + У-г.
Здесь 2Г = рсГ - акустический импеданс среды, а инварианты Римана Я+ и £ берутся из приграничных ячеек взаимодействующих блоков на предыду-
щем временном слое. Показано, что для предложенной численной схемы выполняется закон сохранения энергии в дискретном виде.
В целях программной реализации предложенных алгоритмов разработан программный комплекс, позволяющий моделировать волновые процессы в двумерной блочной среде из упругих блоков и трещиноватых упругих прослоек [5]. Программное обеспечение написано на языке Fortran-90 с использованием библиотеки MPI. Параллельная организация расчетов основана на принципе декомпозиции области, где каждый процесс осуществляет вычисления в горизонтальном слое. Полученные результаты указывают на значимое влияние трещин на поведение среды при динамических воздействиях.
Библиографические ссылки
1. Damage in composite laminates: Effects of transverse cracks / C. T. Herakovich, J. Aboudi, S. W. Lee и др. // Mechanics of materials. 1988. Vol. 7 (2). P. 91-107.
2. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Modeling of elastic waves in a blocky medium based on equations of the Cosserat continuum // Wave motion. 2015. Vol. 52. P. 138-150.
3. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials. Advanced Structured Materials, Vol. 21. Heidelberg-New York-Dordrecht-London: Springer, 2012. 392 p.
4. Численное решение динамических задач упру-гопластического деформирования твердых тел / Г. В. Иванов, Ю. М. Волчков, И. О. Богульский и др. Новосибирск : Сиб. универс. изд-во, 2002. 352 с.
5. Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2016615178. Программный комплекс для численного моделирования динамических процессов в многоблочных средах на кластерных системах (2Dyn_Blocks_MPI) / Садовский В. М., Садовская О. В., Ченцов Е. П. Заявка №2016612621. Дата поступления 24 марта 2016. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 17 мая 2016.
References
1. Herakovich C. T., Aboudi J., Lee S. W., Strauss E. A. Damage in composite laminates: Effects of transverse cracks. Mechanics of materials. 1988. Vol. 7 (2). P. 91-107.
2. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Modeling of elastic waves in a blocky medium based on equations of the Cosserat continuum. Wave motion. 2015. Vol. 52. P. 138-150.
3. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials. Advanced Structured Materials, Vol. 21. Heidelberg-New York-Dordrecht-London, Springer, 2012. 392 p.
4. Ivanov G. V., Volchkov Yu. M., Bogul'skiy I. O. et al. Chislennoe reshenie dinamicheskikh zadach uprugoplasticheskogo deformirovaniya tverdykh tel [Numerical Solution of Dynamical Problems of Viscoelastic
Deformation of Solids]. Novosibirsk, Sib. Univ. Izdat., 2002. 352 p. (In Russ.)
5. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V., Chentsov E. P. Certificate of state registration of the computer program no. 2016615178. Programmnyy kompleks dlya chislen-nogo modelirovaniya dinamicheskikh protsessov v mnogoblochnykh sredakh na klasternykh sistemakh [Parallel software for the numerical modelling of dynamic processes in blocky media designed for supercomputers (2Dyn_Blocks_MPI)]. Request no. 201661262. Receipt date 24.03.2016. Registered 17.05.2016. (In Russ.)
© ^e^oB E. n., 2018
