CC BY
13Решетнеескцие чтения. 2015
References
1. Lyav A. Matematicheskaya teoriya uprugosti [Mathematical theory of elasticity]. ONTI. M.-L., 1935. 674 p.
2. Kiryakov P. P., Senashov S. I., Yakhno A. N. Prilozhenie simmetrii i zakonov sokhraneniya k resheniyu differentsial'nykh uravnenii [Application of symmetries and conservation laws to solving differential equations]. Novosibirsk : SORAN Publ., 2001. 190 p.
3. Senashov S. I. [Lie groups and classification of elastic materials] // Doklady RAN. 1994. Vol. 335, no. 6, рр. 712-715 (In Russ.).
4. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. [Elastoplastic Bending of Beam] // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2014, no. 7(2), рp. 203-208.
5. Senashov S. I., Yakhno A. N. [Some symmetry group aspects of a perfect plane plasticity system] // J. Phys. A: Math. Theor., no. 46 (2013) 355202.
6. Senashov S. I., Yakhno A. N. Conservation Laws (2012) // Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity SIGMA, no. 8, 071, рp. 16, URL: http://dx.doi.org/10.3842/SIGMA.2012.071. Special Issue "Geometrical Methods in Mathematical Physics".
7. Senashov S. I., Yakhno A. N. [Group analysis of solutions of 2-dimensional differential equations. Lie Groups: New research.] Nova science publishers, New York, 2009, рp. 123-138.
8. Senashov S. I., Yakhno A. N. [Deformation of characteristic curves of the plane ideal plasticity equations by point symmetries] Nonlinear analysis 71 (2009), pp. 1274-1284.
9. Senashov S. I., Gomonova O. V., Yakhno A. N. [Matematicheskie voprosy dvumernykh uravneniy ideal'noy plastichnosti]. SibGAU. Krasnoyarsk, 2012, рp. 137 (In Russ.).
10. Senashov S. I., Filyushina E. V. [Conservation laws of plane elasticity theory]. Vestnik SibGAU, 2014. Vol. 1(53), рp. 79-81 (In Russ.).
11. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. [Construction of elastic-plastic boundaries using conservation laws] // Vestnik SibGAU, 2015. Vol. 16, no. 2, рp. 343-360 (In Russ.).
12. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. [On the elastic-plastic torsion bar] // Vestnik SibGAU, 2013. Vol. 3(49), рp. 100-103 (In Russ.).
© CeHamoB C. H., OHaromaHa E. B., 2015
УДК 539.37
АНАЛИЗ КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ В СТРУКТУРНО НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛАХ С ПОМОЩЬЮ ДИСКРЕТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ*
Е. П. Ченцов
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]
На основе дискретной математической модели анализируются резонансные частоты поперечно-вращательных колебаний в блочном материале с податливыми упругими прослойками. Разработанная модель позволяет описывать деформационные процессы в структурно неоднородных материалах, используемых в аэрокосмической отрасли.
Ключевые слова: дискретная модель, блочный материал, резонансные частоты.
OSCILLATORY PROCESSES ANALYSIS IN STRUCTURALLY INHOMOGENEOUS MATERIALS USING DISCRETE MODELING
E. P. Chentsov
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]
Based on the discrete mathematical models resonant frequencies of transverse-rotational oscillations in blocky material with elastic interlayers are analyzed. The developed model is used to describe deformation processes of structurally inhomogeneous materials in aerospace branch.
Keywords: discrete model, blocky material, resonant frequencies.
*
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-01-00130).
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Введение. Исследование деформационных процессов (в частности, колебательных) в структурно неоднородных блочных, слоистых, композитных и пористых материалах представляет большой практический интерес в аэрокосмической отрасли [1-3]. Особое место занимает явление резонанса, способное привести к разрушению материала при определенной частоте и характере колебания. Данное исследование направлено на изучение вращательно-поперечных колебаний в дискретных цепочках, моделирующих микроструктуру материала.
Постановка задачи. Рассмотрим линейный случай. Пусть имеется дискретная цепочка из п материальных точек массы т, соединенных между собой пружинами жесткости к. Расстояние между центрами масс блоков равно к, а общая длина цепочки I = (п + 1)к. На элементы цепочки действуют поперечные силы Qj и вращательные моменты Я3, в результате чего элементы поворачиваются на малые углы ф, и получают в поперечном направлении малые перемещения ю, (рис. 1).
Введем два дополнительных элемента с индексами 3 = о и , = п + 1и зададим граничные условия в виде
ю: + юо=о; Юп+1 + Юп=о; Ф1 - Фо=о; Фп+1 - Фп=о.
Выбор таких граничных условий обусловлен тем, что для них резонансные частоты легко получить в матричной форме.
Уравнения Лагранжа принимают следующий вид:
и,-1 - 2из + и, +1 Ф з+1 -Ф з-1 ^ ти, = а—-т----а—--— + Qi,
Подстановка в однородные уравнения выражений
и,+1 - и,-1
3ф , = а—----а
3 2к
2к
Ф,-1 + 2Ф, + Ф,+1
,Ф 3-1- 2Ф, +Ф 3+1 0 +Ь —-^--— + Я,.
к2 3
и, = и вш1 81п | 3 - -2|а, ф, = Фр етю 008 | 3 - Ца,
Л5
п +Г
(5 = 1, 2, ..., п),
которые автоматически удовлетворяют граничным условиям, приводит к системе линейных уравнений для амплитуд. Условие равенства нулю определителя системы позволяет получить уравнение для определения собственных частот:
Т 4 п 2 , Л ¿аЬ л а ти ю - Сю +16—-«1п
к4 2
„ 2 а ,3а + тЬ
С = таооь2— + 4-2— 81п"
2 к2
4- = о,
а
Собственные частоты при естественных ограничениях на параметры цепочки всегда действительные и различные для разных 5. Если номер 5 зафиксировать, то при заданной длине цепочки I существуют конечные пределы
11ш г б1п
к^о к
1 2
■ = V, 11ш^1П2а = V,
к^о к
2 2 П 5
V = -
12
Устремляя теперь I к бесконечности, т. е. V ^ о, можно установить, что юо = (а/3)12. Это единственная собственная частота в бесконечной цепочке бесконечной длины, которая связана с вращательным движением элементов.
На рис. 2 изображен матричный портрет для дискретной цепочки из 9 элементов, построенный по технологии, представленной С. К. Годуновым [4]. По размеру пятен на этом рисунке можно судить о практической достижимости частоты юо.
Рис. 1. Схема цепочки при вращательно-поперечных колебаниях
Рис. 2. Спектральный портрет матрицы коэффициентов, I = о,5 м
=
Решетнееские чтения. 2015
Уравнения в пределе для бесконечной цепочки длины l переходят в одномерные дифференциальные уравнения континуума Коссера:
Р0« = a0(uxx -Фх) + q(х,t),
J0CP = a0 (Ux - Ф) + b0Фхх + Г (x, t)
с граничными условиями
u(0) = u(l) = 0; фх(0) = фх(1) = 0.
Коэффициенты уравнений пересчитываются через механические параметры дискретной модели из соображений сохранения суммарного момента инерции и полной массы; собственные частоты континуума вычисляются по формулам, полученным с помощью предельного перехода в формулах для частот собственных колебаний конечной цепочки. Резонансные свойства континуума Коссера на основе моделей пространственного напряженно-деформированного состояния представлены в [5; 6]. В них установлено, что в моментной среде существует резонансная частота, связанная с вращательным движением частиц, не зависящая от размеров области и от типа граничных условий на ее границе.
Выводы. При поперечно-вращательных колебаниях существует группа резонансных частот, зависящих от числа элементов и длины цепочки. Однако наряду с ней существует частота, определяемая исключительно значениями механических параметров модели.
Библиографические ссылки
1. Fish J., Shek K. Finite deformation plasticity for composite structures: computational models and adaptive strategies // Comput. Methods in Appl. Mech. Eng. 1999. Vol. 172, iss. 1-4. P. 145-174.
2. Arenas J. P., Crocker M. J. Recent trends in porous sound-absorbing materials // J. Sound Vib. 2010. № 7 (44). P. 12-18.
3. Крушенко Г. Г. Получение и применение пористых металлических материалов в технике // Вестник СибГАУ. 2012. № 5 (45). С. 182-184.
4. Годунов С. К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск : Науч. кн., 1997. 416 с.
5. Садовская О. В., Садовский В. М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М. : Физматлит, 2008. 368 с.
6. Sadovskaya O. V., Sadovskii V. M. Analysis of rotational motion of material microstructure particles by equations of the Cosserat elasticity theory // Acoust. Phys. 2010. № 6 (56). P. 942-950.
References
1. Fish J., Shek K. Finite deformation plasticity for composite structures: computational models and adaptive strategies // Comput. Methods in Appl. Mech. Eng. 1999. Vol. 172, iss. 1-4, рр. 145-174.
2. Arenas J. P., Crocker M. J. Recent trends in porous sound-absorbing materials // J. Sound Vib., 2010. Vol. 44, no. 7, рp. 12-18.
3. Krushenko G. G. [Production and application of porous metal materials in engineering] // Vestnik SibGAU, 2012. Vol. 45, no. 5, рp. 182-184 (In Russ.).
4. Godunov S. K. Sovremennye aspekty lineynoy algebry [Modern aspects of linear algebra]. Novosibirsk: Nauchnaya kniga, 1997, 416 p. (In Russ.).
5. Sadovskaya O. V., Sadovskii V. M. Matemati-cheskoe modelirovanie v zadachah mehaniki sypuchih sred [Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials]. M. : Fizmatlit, 2008, 368 p. (In Russ.).
6. Sadovskaya O. V., Sadovskii V. M. Analysis of rotational motion of material microstructure particles by equations of the Cosserat elasticity theory // Acoust. Phys, 2010. Vol. 56, no. 6, рp. 942-950.
© Ченцов Е. П., 2015
