CC BY
17Решетнеескцие чтения. 2015
6. Садовский В. М., Садовская О. В., Лукьянов А. А. Радиальное расширение сферической и цилиндрической полостей в безграничной пористой среде // Прикладная механика и техническая физика. 2014. Т. 55, № 4. С. 160-173.
References
1. Banhart J., Baumeister J. Deformation characteristics of metal foams // J. Mater. Sci., 1998, vol. 33, no. 6, рр. 1431-1440.
2. Gibson L. J. Mechanical behavior of metallic foams // Annu. Rev. Mater. Sci., 2000, vol. 30, рр. 191-227.
3. Ashby M. F. Plastic deformation of cellular materials // Encyclopedia of Materials: Science and Technology. UK, Pergamon Press, 2001, рр. 7068-7071.
4. Sadovskaya O., Sadovskii V. Mathematical Modeling in Mechanics of Granular Materials. Ser.:
Advanced Structured Materials, Vol. 21. Heidelberg -New York - Dordrecht - London, Springer, 2012, 390 p.
5. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V. Mathematical modeling of a metal foam as an elastic-plastic continuum with changing resistance // AIP Conference Proceedings, 2015, vol. 1648, p. 630005-1-630005-4.
6. Sadovskii V. M., Sadovskaya O. V., Luk'yanov A. A. Radial expansion of cylindrical or spherical cavity in an infinite porous medium // J. Appl. Mech. Tech. Phys., 2014, vol. 55, no. 4, pp. 689-700.
© Садовский В. М., Садовская О. В., 2015
УДК 539.374
УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ ОРТОТРОПНОГО СТЕРЖНЯ*
С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Изучается упруго-пластическое кручение однородного прямолинейного стержня с ортотропной анизотропией. Предполагается, что боковая поверхность стержня свободна от напряжений и находится в пластическом состоянии. Построена бесконечная система законов сохранения, зависящая линейно от компонент тензора напряжений. Законы сохранения позволили свести задачу об определении напряженного состояния во внутренних точках стержня к вычислению интегралов по границе контура сечения. Это дало возможность определить упруго-пластическую границу внутри поперечного сечения, которое ограничено произвольным кусочно-гладким контуром.
Ключевые слова: упруго-пластическое кручение, ортотропный стержень, упруго-пластическая граница, законы сохранения.
ELASTIC-PLASTIC TORSION OF ORTHOTROPIC ROD
S. I. Senashov, E. V. Filyushina
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
The paper studies elastic-plastic torsion of uniform rectilinear rod with orthotropic anisotropy. It is assumed that the lateral surface of the rod is free from stresses and stored in a plastic state. We construct an infinite system of conservation laws, which depends linearly on the components of the stress tensor. The conservation laws allow to reduce the problem of determining the state of stress in the interior of the rod to the calculation of integrals over the boundary contour section. This makes it possible to determine the elastic-plastic boundary within the cross section, which is limited with arbitrary piecewise smooth contour.
Keywords: elastic-plastic torsion rod orthotropic, elastic-plastic boundary conservation laws.
Введение. Ортототропной анизотропией обладают многие конструкционные материалы. Такая анизотропия возникает из-за технологической обработки: прокатки, сварки и т. п. Поэтому изучение поведения ор-тотропных материалов под действием различных нагрузок является актуальной задачей. В предлагаемой
работе изучается упруго-пластическое кручение орто-тропных стержней. Постановка задач и подробный анализ состояния задач об упруго-пластическом
* Работа поддержана Министерством образования и науки РФ № Б-180-14.
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
кручении изотропных стержней подробно изложен в [1; 2]. Методы законов сохранения хорошо зарекомендовали себя при решении краевых задач идеальной пластичности [3; 4]. Законы сохранения позволяют свести задачу об определении напряженного состояния во внутренних точках стержня к вычислению интегралов по границе контура сечения. Это дало возможность определить упруго-пластическую границу внутри поперечного сечения, которое ограничено произвольным кусочно-гладким контуром Г. Эта задача уже решена для изотропных стержней и в этой статье будет решена и для ортотропных. Отсылаем читателя к статьям, в которых можно ознакомиться с другими результатами по использованию симметрий и законов сохранения в МДТТ [5-13].
Постановка задачи. Пусть однородный стержень обладает ортотропной анизотропией. Предположим, что усилия распределены по торцам и на каждом из них возникает скручивающий момент М1:
М{ = Ц (хт23 - ут13) с1хёу.
В стержне, при достаточно большом значении скручивающего момента, возникают две зоны: упругая и пластическая. Рассмотрим упругую область. В этом случае задача сводится к определению двух компонент тензора напряжений тХ2 и ту2, которые
связаны с компонентами тензора деформаций с помощью обобщенного закона Гука:
1
1
Gxz xz' s~i 2 G1
T yz S yz ■
(1)
где 01,02 - модули сдвига для плоскостей ук и Х2 .
Пусть, как это принято в задачах кручения, компоненты вектора перемещения имеют вид
и = -6yz, V = 6x2, V = -0ф (х, у), (2)
где 6 - относительный угол закручивания (крутка).
При этих предположениях из (1) получаем условия совместности:
1 дт х, 1 дт у
F =■
yz
+ 29 = 0.
G2 dy G1 dx Это уравнение и уравнение равновесия
дт„ дт y
F2 =■
yz
дх ду
= 0
(3)
(4)
дают возможность определить компоненты тензора напряжений в упругой области.
Граничное условие получаем из предположения, что боковая поверхность свободна от напряжений. Это условие имеет вид
Txz c0s (n Х) + Тyz c0s (", У) = Txzl1 + Тyzl2 = 0 . (5)
Рассмотрим пластическую область. Предполагается, что торцевые моменты Mt таковы, что в стержне возникают пластические зоны. Пусть в пластической зоне выполняется условие пластичности
(6)
2я13^ + 2a23T-yz = 1-.
где параметры а13, а23 характеризуют текущее состояние пластической анизотропии.
Решая эту задачу с помощью законов сохранения, получаем выражения для u = тxz, v = тyz на Г.
Это позволяет определить пластическую и упругую зоны. Те точки, где
2a13Txz + 2a23T^yz <j
принадлежат упругой зоне, остальные попадают в пластическую зону.
Заключение. Результаты, полученные в этой работе, еще раз показывают, что использование законов сохранения эффективно для решения краевых задач. Глобальные по своей сути, они позволяют свести решение краевой задачи к нескольким квадратурам.
Библиографические ссылки
1. Аннин Б. Д., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая задача. Новосибирск : Наука, 1983. 238 с.
2. Сенашов С. И., Черепанова О. Н., Кондрин А. В. Об упругопластическом кручении стержня // Вестник СибГАУ. 2013. Вып. 3(49). С. 100-103.
3. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2001. 190 с.
4. Сенашов С. И., Гомонова О. В., Яхно А. Н. Математические вопросы двумерных уравнений идеальной пластичности / СибГАУ. Красноярск, 2012. 137 с.
5. Сенашов С. И. Черепанова О. Н., Кондрин А. В. Elastoplastic Bending of Beam // J. Siberian Federal Univ. Сер. «Math. & Physics». 2014. № 7(2). Р. 203-208.
6. Senashov S .I., Yakhno A. N. Some symmetry group aspects of a perfect plane plasticity system // J. Phys. A: Math. Theor. 2013. № 46. С. 355202.
7. Senashov S. I., Yakhno A. N. Conservation Laws [Электронный ресурс] // Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity SIGMA 8. 2012. 071. 16 p. Special Issue "Geometrical Methods in Mathematical Physics". URL: http://dx.doi.org/10.3842/ SIGMA. 2012.071 (дата обращения: 10.10.2015).
8. Senashov S. I., Yakhno A. N. Group analysis of solutions of 2-dimensional differential equations. Lie Groups: New research. Nova science publishers. New York, 2009, p. 123-138.
9. Senashov S. I., Yakhno A. N. Deformation of characteristic curves of the plane ideal plasticity equations by point symmetries. Nonlinear analysis 71. 2009. Р. 1274-1284.
10. Сенашов С. И., Гомонова О. В., Яхно А. Н. Математические вопросы двумерных уравнений идеальной пластичности / СибГАУ. Красноярск, 2012. 137 с.
11. Сенашов С. И., Филюшина Е. В. Законы сохранения плоской теории упругости // Вестник СибГАУ. 2014. Вып. 1(53). С. 79-81.
12. Сенашов С. И., Филюшина Е. В, Гомонова О. В. Построение упруго-пластических границ с помощью законов сохранения // Вестник СибГАУ. 2015. Т. 16, № 2. С. 343-360.
13. Сенашов С. И., Черепанова О. Н., Кондрин А. В. Об упруго-пластическом кручении стержня // Вестник СибГАУ. 2013. Вып. 3(49). С. 100-103.
Решетнееские чтения. 2015
References
1. Annin B. D., Cherepanov G. P. Uprugo-plasticheskaya zadacha [The elastic-plastic problem] // Novosibirsk : Nauka Publ., 1983. 238 p.
2. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. [About elastoplastic torsion rod]. Vestnik SibGAU, 2013, no. 3(49), p. 100-103. (In Russ.)
3. Kiryakov P. P., Senashov S. I., Yakhno A. N. Prilozhenie simmetrii i zakonov sokhraneniya k resheniyu differentsial'nykh uravnenii [Application of symmetries and conservation laws to solving differential equations]. Novosibirsk : SO RAN Publ., 2001. 190 p.
4. Senashov S. I., Gomonova O. V., Yakhno A. N. Matematicheskie voprosy dvumernykh uravnenii ideal'noi plastichnosti [Mathematical problems of two-dimensional equations of the perfect plasticity] / SibGAU. Krasnoyarsk, 2012. 137 p.
5. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. [Elastoplastic Bending of Beam] // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2014, no. 7(2), pp. 203-208.
6. Senashov S. I., Yakhno A. N. [Some symmetry group aspects of a perfect plane plasticity system] // J. Phys. A: Math. Theor., no. 46 (2013) 355202.
7. Senashov S. I., Yakhno A. N. Conservation Laws (2012) Hodograph Transformation and Boundary Value Problems of Plane Plasticity SIGMA, no. 8, 071, pp. 16.
URL: http://dx.doi.org/10.3842/SIGMA.2012.071. Special Issue "Geometrical Methods in Mathematical Physics".
8. Senashov S. I., Yakhno A. N. [Group analysis of solutions of 2-dimensional differential equations. Lie Groups: New research]. Nova science publishers, New York, 2009, рp. 123-138.
9. Senashov S. I., Yakhno A. N. [Deformation of characteristic curves of the plane ideal plasticity equations by point symmetries]. Nonlinear analysis 71(2009), pp. 1274-1284.
10. Senashov S. I., Gomonova O. V., Yakhno A. N. [Matematicheskie voprosy dvumernykh uravneniy ideal'noy plastichnosti]. SibGAU. Krasnoyarsk, 2012, pр. 137 (In Russ.)
11. Senashov S. I., Filyushina E. V. [Conservation laws of plane elasticity theory] // Vestnik SibGAU, 2014, Vol. 1(53), рp. 79-81 (In Russ.).
12. Senashov S. I., Filyushina E. V, Gomonova O. V. [Construction of elastic-plastic boundaries using conservation laws] // Vestnik SibGAU, 2015, Vol. 16, no. 2, рp. 343-360 (In Russ.).
13. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. [On the elastic-plastic torsion bar] // Vestnik SibGAU, 2013, Vol. 3(49), рp. 100-103 (In Russ.).
© Сенашов С. И., Филюшина Е. В., 2015
УДК 539.374
ЗАКОН ГУКА КАК ГРУППА НЕПРЕРЫВНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ*
С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Рассмотрен обобщенный закон Гука, учитывающий начальные деформации упругого анизотропного материала. Предполагается, что характеристики материала зависят линейно от начальных деформаций. Деформации считаются малыми. Показано, что построенный закон Гука порождает группу непрерывных преобразований. Количество параметров в группе определяется количеством ненулевых компонент тензора напряжений.
Такой подход позволяет классифицировать упругие материалы по виду алгебры Ли, соответствующей этой группе. Приведены эксперименты, которые могли бы позволить проводить классификацию упругих материалов с начальными деформациями по виду закона Гука.
Ключевые слова: закон Гука, группа непрерывных преобразований, классификация упругих материалов.
HOOKE'S LAW AS A GROUP OF CONTINUOUS TRANSFORMATIONS
S. I. Senashov, E. V. Filyushina
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
We have considered the generalized Hooke's law. This law accepts the initial deformation of the elastic anisotropic material. It is assumed that the characteristics of the material depends on the initial linear deformations. Deformations
* Работа поддержана Министерством образования и науки РФ № Б-180-14.
