CC BY
12Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Выводы. Таким образом, полученные уравнения позволяют учитывать изгибающие локальные мо-ментные факторы, так называемый краевой эффект, как в точках крепления тора, так и в областях установленных ребер жесткости.
Библиографические ссылки
1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
2. Власов В. З. Общая теория оболочек и её приложения в технике. М. ; Л. : Гостехиздат, 1949. 783 с.
3. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М. : Физматгиз, 1959. 400 с.
4. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности : пер. с англ. М. : Мир, 1987. 542 с.
5. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов : учеб. пособие. М. : Наука, 1986. 560 с.
References
1. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. Teorija uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow : Nauka, 1975. 576 p.
2. Vlasov V. Z. General theory of shells and its applications in engineering. Gostehizdat. M., L. 1949, p. 783.
3. Van Czi-de [Chi-Ten Wang]. Prikladnaja teorija uprugosti [Applied theory of elasticity]. Fizmatgiz, Moscow, 1959, 400 p.
4. Vasidzu K. Variacionnye metody v teorii uprugosti i plastichnosti (Variational methods in elasticity and plasticity). Moscow, Mir, 1987. 542 р.
5. Birger I. A., Mavljutov R. R. Soprotivlenie materialov (Resistance of materials). Moscow, Nauka, 1986, 560 р.
Рис. 3. Эпюра момента Ma
© Сабиров Р. А., 2016
УДК 539.374
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ, ОПИСЫВАЮЩИХ ПЛАСТИЧЕСКОЕ КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ
С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: filyushina@sibsau.ru
Рассмотрены уравнения, описывающие пластическое течение призматических стержней и стержней переменного поперечного сечения со свободной боковой поверхностью, а также стержней, находящихся под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей. Показано, что все эти уравнения сводятся к квазилинейным уравнениям первого порядка в частных производных. Далее изучается квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка. Для этого общего уравнения найдена производящая функция высших симметрий, зависящая от независимых и зависимых переменных, а также от производных любого порядка, построена производящая функция законов сохранения, зависящая от независимых и зависимых переменных, а также от производных любого порядка. Подробно исследован случай, имеющий практическое
qR (2a + R sin a) qR
Na= _ . ) и .
2 (a + R sin a) 2
Здесь Na = 20000 Н/м и Np = 10000 Н/м .
Рис. 1. Фрагмент тора B
Рис. 2. Сечение баллона
1
А
20 40 60 &0 1 00 1 20 140 160 ISO >0
B
с
A
<Тешетневс^ие чтения. 2016
значение, когда производящая функция законов сохранения зависит только от независимых и зависимых переменных. Для этого случая построена бесконечная серия законов сохранения.
Ключевые слова: квазилинейные уравнения, стержень, высшие симметрии, законы сохранения.
ANALYSIS OF EQUATIONS DESCRIBING PLASTIC TORSION RODS S. I. Senashov, E. V. Filyushina
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: fflyushina@sibsau.ru
The authors study the equations that describe the plastic flow of prismatic bars and rods of variable cross-section with a free side surface. They also explore the equations that describe the plastic flow of the rods under the influence of pressure, varying linearly along the generator.It is shown that these equations can be reduced to a quasi-linear equations of the first order partial derivatives. Next, we study the quasi-linear partial differential equation of the first order. To this end, the general equation of the generating function we find higher symmetries, depending on the independent and dependent variables, as well as derivatives of any order, build a generating function of the conservation laws depending on the independent and dependent variables, as well as derivatives of any order. We study in detail the case of practical importance when the generating function of the laws of conservation impacts on the independent and dependent variables. An infinite series of conservation laws is built for the occasion.
Keywords: quasi-linear equations, pivot, higher symmetries, conservation laws.
Раньше законы сохранения, после их появления в работах Э. Нетер, часто несли декоративную функцию при исследовании и решении дифференциальных уравнений. Позднее они стали использоваться при численных расчетах и при определении обобщенных решений. В работах [1-3] нами показано, что законы сохранения есть эффективный способ решения краевых задач для двумерных уравнений гиперболического и эллиптического типа [4-6]. При этом следует сосредоточить внимание на построении законов сохранения, когда компоненты сохраняющегося тока зависят от зависимых и независимых переменных. Для других законов сохранения, когда компоненты сохраняющегося тока зависят еще и от производных, применение пока не найдено.
Уравнение, описывающее пластическое кручение призматического стержня, можно записать в виде [1]:
О50 • О50 А
cos 0--h sin 0— = 0 .
dx 5y
(1)
Здесь 0 - угол между первым главным направлением тензора напряжений и осью ох.
Уравнение, описывающее пластическое кручение стержня переменного сечения записывается так в цилиндрической системе координат rqz [1 ]
„50 . „50 2sin0 Л cos 0— + sin 0— +-= 0. (2)
dr dz r
Рассмотрим уравнение, описывающее пластическое кручение призматического стержня, находящегося под действием давления, линейно меняющегося вдоль образующей [1].
В этом случае компоненты тензора напряжений имеют вид
Ox =Oy =Oz = klz + С , T xy = ^ Txz = Txz ( У ^
Tyz =Tyz ( У ),
где X, с - постоянные.
Уравнение можно записать в виде [1]
0 50 . 0 50 . cos 0--h sin 0— = Л .
5x 5y
(3)
Уравнения (1), (2) и (3), которые возникли при изучении напряженного состояния при пластическом кручении стержней, можно записать в виде
К = а (х, у, и ) их + Ь (х, у, и )иу + с (х, у, и ) = 0 , (4)
где а, Ь, с - некоторые известные функции, индекс внизу означает частную производную по соответствующей переменной.
Уравнение (4) является квазилинейным и часто встречается также в газовой динамике, гидродинамике, теории волн, фильтрации и химической технологии.
Известно, что уравнение (4) можно преобразовать к линейному уравнению, если искать решение в неявном виде
дУ
V = У ( х, у, и ) = 0, -Ф 0.
ди
Тогда из (4) получаем
К = аУх + ЬУу - су, = 0. (5)
Высшие симметрии уравнения (4)
Найдем высшие симметрии уравнения (4), которые согласно предыдущему пункту и с помощью простых преобразований запишем так:
К = Ух -а(х,у,и)Уу -Р(х,у,и)Уи = 0. (6)
Кратко дадим определение высших симметрий и способов их вычисления применительно к уравнению (6). Для более подробного ознакомления с этими понятиями отсылаем к работам [2-4].
Механика сплошных сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Пусть
dsV
dxk dym due
= P(k,m,l), S = k + m +1,
Dx 4+X pk 5
5x ^ (k+1,m,1 )p д
(k ,m,l) д
Dy о + У pk ,m+1,l )D
дУ 1 , , ' dpk,m,l)
д
Du =£+E P
д
5и ^ (к'т'М) дР{к,т/}
Здесь Бх, Бу, Би - полные производные по соответствующим переменным.
Рассмотрим следующее многообразие, порожденное уравнением (6):
Р = 0, БхР = 0, БуР = 0, БиР = 0, ... ,
Бк о Б; о В1иР = 0, ... ,
которое является бесконечной системой уравнений. Определение. Преобразование вида
x' = f ( y, u, V, p(k mj) a)
У ' = g ( u,V, P(k,m,l); a),
u' = h
(x, y, u, V ,i
(7)
Р(к,т,1); а) ,
где а - параметр из окрестностей нуля ^1, называется однопараметрической группой высших симметрий уравнения (6), если они преобразуют многообразие, порожденное уравнением (7), в себя.
Известно, что группа симметрий (7) однозначно определяется производящей функцией симметрий, которая для уравнения (6) имеет вид
9 = 9^ y, Р(0,т,1)) , т +1 , (8)
и является решением уравнения
, 5ф 5ф 5ф 1Р ф = —-а —-р —+
5х 5у 5и
k+m=S
+ У —Dyk_1Dm
i яр y u
k=1, m=0 P(0,k ,m )
(a УР(0,1,0) +P yP(0,0,1))"
+Е (аиР(0,1,0)+РиР(0,0,1)). (9)
т=1
Теорема. Производная функция симметрий уравнения (6), зависящая от производных порядка 5, есть решение уравнения (9).
Законы сохранения уравнения (6)
Законы сохранения успешно применялись для определения обобщенных решений. В последнее время законы сохранения стали применятся для решения краевых задач. В основном это касается законов сохранения, производящая функция которых зависит только от зависимых и независимых переменных. Именно такие законы и будут построены в этом пункте.
Известно, что для построения законов сохранения следует решить уравнение, определяющее производящую функцию законов сохранения
lF у = 0 .
(10)
Для уравнения (7) оператор lF сопряженный оператору lF , имеет вид
l* =-Dx +aDy + ay -ft,. (11)
Будем считать, что производящая функция имеет вид у = у(xy,u,^ ..., u(k)) . (12)
Подставляя (11) в (12), после упрощений получим
ду „ ду ду
—+ Р—-a —+
5x 5u ду
+| y(i)D(i-1)(u(1)Dy a + ^р)^ )у = 0. (13)
Из (13) следует теорема.
Теорема. Уравнение (7) допускает бесконечную серию законов сохранения, производящие функции которых определяются уравнениями (13).
Библиографические ссылки
1. Предельное состояние деформируемых тел и конструкций / Д. Д. Ивлев [и др.]. М. : Физматлит, 2008. 832 с.
2. Сенашов С. И., Филюшина Е. В., Гомонова О. В. Construction of elasto-plastic boundaries using conservation laws // Вестник СибГАУ. 2015. № 2(16). С. 343-360.
3. Сенашов С. И., Филюшина Е. В. Упруго-пластическое кручение ортотропного стержня // Ре-шетневски чтения : материалы XIX Междунар. науч. конф.) : в 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2015. С. 160-162.
4. Сенашов С. И., Яхно А. Н., Киряков П. П. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2001. 190 с.
5. Senashov S. I., Kondrin A. V., Cherepanova O. N. Elastoplastic Bending of Beam // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics. 2014. 7(2). Рр. 203-208.
6. Senashov S. I., Kondrin A. V., Cherepanova O. N. On Elastoplastic Torsion of a Rod with Multiply Connected Cross-Section // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics. 2015. 7(1). Рр. 343-351.
Refereces
1. Predel'noe sostoyanie deformiruemykh tel i konstruktsiy [Limit State of deformable bodies and structures] / D. D. Ivlev, L. A. Maksimova, R. I. Nepershin, i dr. // M. : Fizmatlit, 2008. 832 s.
2. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of elasto-plastic boundaries using conservation laws // Vestnik SibGAU. 2015. № 2(16). S. 343-360.
3. Senashov S. I., Filyushina E. V. Uprugo-plasticheskoe kruchenie ortotropnogo sterzhnya // Reshetnevski chteniya: Materialy XIX mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii: v 2 ch. / pod obshch. red. Yu. Yu. Loginova ; Sib. gos. aerokosmich. un-t. Krasnoyarsk, 2015. S. 160-162.
Решетневс^ие чтения. 2016
4. Prilozhenie simmetriy i zakonov sokhraneniya k resheniyu differentsial'nykh uravneniy [The application of symmetries and conservation laws to the solution of differential equations] / S. I. Senashov, A. N. Yakhno, P. P. Kiryakov // Novosibirsk, Izdatel'stvo SORAN, 2001. 190 s.
5. Elastoplastic Bending of Beam / S. I. Senashov, A. V. Kondrin, O. N. Cherepanova // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2014, 7(2), p. 203-208.
6. Senashov S. I., Kondrin A. V., Cherepanova O. N. On Elastoplastic Torsion of a Rod with Multiply Connected Cross-Section // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2015, 7(1), pp. 343-351.
© Сенашов С. И., Филюшина Е. В., 2016
УДК 539.3
УПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНЫ С ОТВЕРСТИЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
С. И. Сенашов, И. Л. Савостьянова*
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: ruppa@inbox.ru
Рассмотрено упругое состояние прямоугольной пластины с отверстиями произвольной формы под действием нагрузок, направленных по нормали к сторонам. На контурах отверстий поддерживаются нулевые значения компонент тензора напряжений. При таких граничных условиях построено точное решение задачи в виде квадратур по внешней границе и границам контуров отверстий.
Ключевые слова: плоская упругая задача, упругая пластина с отверстиями, законы сохранения, точные решения теории упругости.
ELASTIC STATE OF A PLATE WITH FREE-FORM HOLES
S. I. Senashov, I. L. Savostyanova*
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: ruppa@inbox.ru
Elastic state of a rectangular plate with free-form holes is studied; the plate is exposed to loads directed to the sides along the normal lines. On the outlines of the holes zero values of the stress component are maintained. With such boundary conditions an exact solution of the problem is built in the form of quadratures on the outer boundary and the boundaries of the holes' outlines. For this purpose an infinite system of laws of equation conservation of the elasticity theory is found and used that depends on the stress component in a linear fashion.
Keywords: plane elasticity problems, the elastic plate with holes, conservation laws, exact solutions of the theory of elasticity.
Уравнения классической теории упругости - наиболее исследованные уравнения механики сплошной среды. В первую очередь это объясняется линейностью основных уравнений. Это позволяет использовать при их решении весь спектр математических методов. Но при этом малоисследованной остается обширная область - решение задач теории упругости для тел конечных размеров. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть классические руководства по теории упругости, например [1; 2].
Одним из авторов этой работы систематически использованы инструменты теории симметрий и законов сохранения для решения краевых задач теорий пластичности и упруго-пластичности [3-5]. Наработанная методика показала, что эти методы могут быть успешно применены и к решению некоторых задач
теории упругости. Первые обнадеживающие результаты приводятся в этой работе.
Рассмотрим конечную пластину размером ахй с отверстиями произвольной формы, ограниченной контурами Г!, Г2, ... Гт с кусочно гладкими границами. Предположим, что пластина испытывает различные напряжения в направлении осей х, у, а отверстия свободны от напряжений.
На границе Г0 получаем следующие условия
0х 1х=а = °х 1х=0 = P, 1у =Ь = °у 1у=0 = Я (1)
Остальные компоненты тензора напряжений на этих границах равны нулю. Считаем, что на границе контуров выполнено условие
^ х1 Г1 = о у! Г = т| Г = 0. (2)
