Упруго пластическая граница в антиплоской задаче Текст научной статьи по специальности «Физика»

Решетневскуе чтения. 2014

Тогда в пластической области можно ввести переменные ст, 6 по следующим формулам:

стх = ст- к 00826,

ст у =ст + к соб26, (2)

х„, = к Бт26.

-Ч)

Нагрузки на границе в этом случае запишутся в виде

(ст-к 00826)) +к 8ш26да = X, к Бт26/ + (ст + к со826)ш = У.

Эти же условия можно переписать так:

ст = X, 6 = 7. (3)

Тем самым на границе Г мы имеем задачу Коши в пластической области. Решая её вдоль Г с помощью законов сохранения [1; 4], получаем два семейства характеристик (см. рисунок). Для этих характеристик строим огибающую Ь (линию возврата). Эта огибающая (линия возврата) и будет искомой упругопласти-ческой границей.

Для окончательного решения упругопластической задачи для данной области достаточно решить упругую задачу внутри этой области.

Библиографические ссылки

1. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения для решения уравнений механики. Новосибирск : Изд-во СОРАН, 2001. 201 с.

2. Ивлев Д. Д. [и др.] Предельное состояние деформированных тел и горных пород. М. : Физматлит, 2008. 831 с.

3. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Упругопластиче-ское кручение стержня переменного диаметра // Решетневские чтения : материалы Междунар. науч. конф. (12-14 ноября 2013, г. Красноярск). Ч. 2. С. 114-115.

4. Сенашов С. И., Гомонова О. В., Яхно А. Н. Математические вопросы двумерных уравнений идеальной пластичности / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. 139 с.

References

1. Kiryakov P. P., Senashov S. I., Yakhno A. N.

Application of Symmetries and Conservation Laws for the Solving of Differential Equations. Novosibirsk, SD of RAS, 2001. 201 p.

2. Ivlev D. D., Maksimova L. A., Nepershin R. I. Limiting State of Deformed Solids and Rocks. M.: FIZMATLIT, 2008. 831 p.

3. Senashov S. I., Gomonova O. V. Proc. of the Int. conf. "Reshetnev's Readings", Krasnoyarsk, November12-14, 2013. Vol. 2. P. 114-115.

4. Senashov S. I., Gomonova O. V., Yakhno A. N. Mathematical Problems of 2-dimensional Ideal Plasticity Equations. Siberian State Aerospace University, Krasnoyarsk, 2012. 139 p.

© Сенашов С. И., Гомонова О. В., 2014

УДК 539.374

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКАЯ ГРАНИЦА В АНТИПЛОСКОЙ ЗАДАЧЕ

С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 E-mail: sen@sibsau.ru, filyushina@sibsau.ru

Изучена классическая упругопластическая антиплоская задача. Предполагается, что вся внешняя граница находится в пластической зоне. На гладкой границе задан нормальный вектор внешних сил. В такой постановке с помощью законов сохранения, которые зависят только от компонент тензора напряжений, построена упругопластическая граница.

Ключевые слова: законы сохранения, антиплоская задача, упругопластическая граница.

Прикладная математика и механика

ELASTICALLY PLASTIC BORDER IN ANTIPLANE PROBLEM

S. I. Senashov, E. V. Filyushina

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation E-mail: sen@sibsau.ru, filyushina@sibsau.ru

The classical elastic-plastic antiplane problem is studied. It is assumed that the entire outer border is in the plastic zone. On a smooth boundary the normal vector of external forces is examined. In this formulation, with the help of conservation laws, which depend only on the components of the stress tensor, the elastic - plastic border is constructed.

Keywords: conservation laws, antiplane problem, elastic-plastic boundary.

Антиплоская упругопластическая задача представляет собой особенную задачу, которая, несмотря на свою сложность, допускает интегрирование с использованием законов сохранения. Законы сохранения широко используются для решения двумерных задач уравнений пластичности [1-3], а в последнее время позволили решить ряд упругопластических задач [4-6].

Рассмотрим уравнения линейной упругости в случае, когда компоненты вектора деформации имеют вид u = v = 0, w = ю( х, у ). Этот случай соответствует так называемому антиплоскому упругому состоянию.

В этом случае уравнения упругости сведутся к

дт дт у.

+-21+г = о,

дх ду

а условия совместности деформаций к соотношению

дХх, дт = 0

ду дх

Пусть на упругое тело действует только его собственный вес, тогда, если ось 01 направлена вверх, получаем 2 = -pg, где р - плотность, которая предполагается постоянной.

Окончательно получаем уравнения, описывающие упругое состояние в условиях антиплоской деформации:

dTxz , dTyz п дт xz

—— J---— pg = 0 ——

дт

yz

дх ду

ду дх

= 0.

В пластической области будут выполнены соотношения

дГх, дт у

дх ду

-pg = 0,

Tyz +T2yz = i.

Рассмотрим плоскую область, ограниченную кусочно-гладкой границей Г. Предположим, что внешняя нагрузка такова, что вся граница находится в пластическом состоянии. В этом случае по аналогии с результатами работ [4; 5] можно использовать технику законов сохранения для нахождения упруго-пластической границы. Полученные формулы позволяют создать программы для решения антиплоской упругопластической задачи по аналогии с программой, написанной для нахождения упругопластиче-ской границы в скручиваемом стержне постоянного сечения [6].

Библиографические ссылки

1. Сенатов С. И., Гомонова О. В., Яхно А. Н. Математические вопросы двумерных уравнений идеальной пластичности / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, У01У. 139 с.

У. Сенатов С. И., Яхно А. Н. Some symmetry group aspects of a perfect plane plasticity system // J. Phys. A: Math. Theor. У013. 46. 355У0У.

3. Сенатов С. И., Яхно А. Н. Conservation Laws of Three-Dimensional Perfect Plasticity Equations under von Mises Yield Criterion. У013. Vol. У013. Article ID 70У13У. 8 p.

4. Сенатов С. И., Черепанова О. Н., Кондрин А. В. Об упругопластическом кручении стержня // Вестник СибГАУ. У013. № 3 (49). С. 100-103.

5. Сенатов С. И., Черепанова О. Н., Кондрин А. В. Elastoplastic Bending of Beam // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics. У014. № 7 (У). P. У03-У08.

6. Расчет напряженного состояния во внутренних точках упругопластического стержня постоянного сечения : свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № У013618484 / А. В. Кондрин, С. И. Сенатов, О. Н. Черепанова, Е. В. Филютина.

References

1. Senashov S. I., Gomonova O. V., Yakhno A. N.

Matematicheskiye voprosy dvumernykh uravneny idealnoy plastichnosti (Mathematical problems in the two-dimensional equations of ideal plasticity) / SibGAU. Krasnoyarsk, У01У. 139 s.

У. Senashov S. I., Yakhno A. N. Some symmetry group aspects of a perfect plane plasticity system // J. Phys. A: Math. Theor. 46 (У013) 355У0У.

3. Senashov S. I., Yakhno A. N. Conservation Laws of Three-Dimensional Perfect Plasticity Equations under von Mises Yield Criterion, Volume У013 (У013), Article ID 70У13У, 8 pages

4. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. Ob uprugoplasticheskom kruchenii sterzhnya (An elastic-plastic torsion rod) // Vestnik SibGAU. У013. № 3 (49). S. 100-103.

5. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. Elastoplastic Bending of Beam // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics. У014. № 7 (У). P. У03-У08.

6. Kondrin A. V., Senashov S. I., Cherepanova O. N., Filyushina Ye. V. Raschet napryazhennogo sostoyaniya vo vnutrennikh tochkakh uprugoplasticheskogo sterzhnya postoyannogo secheniya (The calculation of the stress state in the interior of elastic-plastic rod of constant cross section). Svidetelstvo o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM № У013618484.

© Сенатов С. И., Филютина Е. В., У014