CC BY
13
Ъ f —т+—,
if,
W п1
т-А+А
(3)
'2
+ 4т2 = 4k2.
Развернутое решение поставленной задачи будет приведено в последующих работах автора. Подробнее с методикой применения законов сохранения для решения упруго-пластических задач можно ознакомиться в трудах [7; 8], в них разрешена проблема построения упруго-пластической границы для двусвязных областей.
Автор выражает благодарность профессору С. И. Сенашову за постановку задачи и обсуждение результатов.
Библиографические ссылки
1. Галин Л. А. Упруго-пластические задачи. М. : Наука, 1984. 232 с.
2. Тимошенко С. П. Сопротивление материалов. М. : Наука, 1965. 480 с.
3. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев : Наук. думка, 1968. 888 с.
4. Киряков П. П., Сенашов С. И., Яхно А. Н. Приложение симметрий и законов сохранения к решению дифференциальных уравнений. Новосибирск : Изд-во СО РАН, 2001. 192 с.
5. Сенашов С. И., Гомонова О. В., Яхно А. Н. Математические вопросы двумерных уравнений идеальной пластичности / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2012. 139 с.
6. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of Elasto-Plastic Boundaries Using Conservation Laws [Построение упруго-пластических границ с использованием законов сохранения] // Vestnik SibGAU. 2015. Vol. 16, no. 2. P. 343-359.
7. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Нахождение упруго-пластической границы для областей конечных размеров // Решетневские чтения : материалы XVIII Междунар. науч. конф. (11-14 ноября 2014, г. Крас-
ноярск). В 2 ч. / под общ. ред. Ю. Ю. Логинова ; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2014. С. 155-156.
8. Сенашов С. И., Гомонова О. В. Об упруго-пластическом кручении стержня, находящегося под действием давления, меняющегося вдоль образующей // Вестник ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. Сер. «Механика предельного состояния». 2015. № 1 (23). С. 75-84.
References
1. Galim L. A. Uprugoplasticheskie zadachi [Elasto-Plastic Problems]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 232 p.
2. Timoshenko S. P. Soprotivlenie materialov [Resistance of Materials]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 480 p.
3. Savin G. N. Raspredelenie napryazheniy vokrug otverstiy [Stress Distribution Around the Holes].Kiev, Naukova Dumka Publ., 1968. 888 p.
4. Kiryakov P. P., Senashov S. I., Yakhno A. N. Prilozhenie simmetriy I zakonov sohraneniya k resheniyu differentsial'nykh uravneniy [Applications of Symmetries and Conservation Laws to Solution of Differential Equations]. Novosibirsk, SB RAS Publ., 2001. 192 p.
5. Senashov S. I., Gomonova O. V., Yakhno A. N. Matematicheskie voprosy dvumernukh uravneniy ideal'noy plastichnosti [Mathematical Problems of 2-Dimensional Ideal Plasticity Equations]. Krasnoyarsk : SibSAU Publ., 2012. 139 p.
6. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Construction of Elasto-Plastic Boundaries Using Conservation Laws // Vestnik SibGAU, 2015. Vol. 16, no. 2, рр. 343-359.
7. Senashov S. I., Gomonova O. V. [Determination of Elasto-Plastic Boundary for the Domains of Limit Sizes]. Materialy XVIII Mezhdunar. nauch. conf. "Reshetnevskie chteniya". [Materails XVIII Intern. Scientific Conf. "Reshetnev Readings"]. Krasnoyarsk, November 11-14, 2014. Vol. 2, рp. 155-156. (In Russ.)
8. Senashov S. I., Gomonova O. V. [About Elasto-Plastic Torsion of a Rod Under the Action of Pressure Changing Along the Generatrix] // Vestnik Yakovlev ChGPU. Series: Mechanics of Limiting State, 2015. no. 1 (23), рp. 75-84 (In Russ.).
© Гомонова О. В., 2015
УДК 517.95
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ГРАНИЦ ПРИ КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЯ С МНОГОСВЯЗНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ
А. В. Кондрин
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Е-шаП: sen@sibsau.ru
Решена задача о кручении стержня с многосвязным поперечным сечением. Для решения задачи используются законы сохранения. Для кусочно-гладких границ решение найдено квадратурой. Написаны программы, позволяющие с любой точность строить пластические и упругие области в скручиваемом стержне с многосвязным поперечным сечением.
Ключевые слова: законы сохранения, неизвестная граница, задача кручения стержня, дифференциальные уравнения.
Решетнеескцие чтения. 2015
DIFFERENTIAL EQUATIONS TO DETERMINE ELASTIC-PLASTIC BOUNDARY OF RODS WITH MULTIPLY CONNECTED CROSS-SECTION
A. V. Kondrin
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: sen@inbox.ru
The problem of rod torsion with multiply connected cross-section is solved. It is assumed that the domain ofplasticity covers the entire external boundary. The laws of conservation are used to solve the problem. The solution is found by quadrature for a piecewise smooth boundary. Programs are written to build any precision plastic and elastic region in a torsion rod with multiply connected cross-section.
Keywords: conservation law, unknown boundary, the problem of torsion of a rod, differential equation.
Нахождение упруго-пластической границы в скручиваемых металлических стержнях - важная научная задача.
В работах [1; 2] предложены формулы для аналитического определения величины касательных напряжений тхг = и , т уг = V во всех внутренних точках
стержня для случая кусочно-гладкой ориентированной границы поперечного сечения. Эти формулы выводятся из закона сохранения для уравнений упругости и пластичности и имеют вид
<(Хо-Уо )= - {(■
IT "
I (f (t)-Хо ))(f '(t ))2 + (ф'(/ ))2
v (Хо-Уо )= -jO
П 0 V(f (t)-Хо)2 + (ф()-Уо)2
+af'(t )arctg ф( Уо )dt,
J (t)- Хо
(ф(t)-Уо ))(f (t ))2 + fr'(t ))2
2
п о V(f (t)-Хо)2 + ^(t)-Уо)2
f'(t) ln(( f (t)- Хо)2 +((t)- Уо)2) dt,
Hllllii
iiillllllll
Рис. 1. Упруго-пластические границы стержня прямоугольного сечения с прямоугольным отверстием, параметр, характеризующий кручение, - 0,3
1 pill Kill
kill ■Hill
Рис. 2. Упруго-пластические границы стержня прямоугольного сечения с прямоугольным отверстием, параметр, характеризующий кручение, - 0,4
где а = -209 - постоянная; О - модуль упругости при сдвиге.
Точки, в которых выполняется условие и2 + V2 > 1, принадлежат пластической области, а те, в которых это выражение меньше единицы, упругой.
В работе [3] описывается, что на основании предложенных формул разработаны программы ЭВМ, позволяющие находить упруго-пластические границы для стержней, сечение которых является односвязным.
Mill
НИ
Рис. 3. Упруго-пластические границы стержня
прямоугольного сечения с треугольным отверстием, параметр, характеризующий кручение, - 0,3
С помощью данных формул были также разработаны программы ЭВМ [4; 5], позволяющие находить упруго-пластические границы для стержней с многосвязным поперечным сечением.
На рис. 1 и 2 решена задача для стержня прямоугольного сечения с прямоугольным отверстием. Звездами выделена пластическая область, круглыми точками - упругая область.
На рис. 3 решена задача для стержня прямоугольного сечения с треугольным отверстием. Звездами выделена пластическая область, круглыми точками -упругая область.
Библиографические ссылки
1. Сенатов С. И., Черепанова О. Н., Кондрин А. В. Об упруго-пластическом кручении стержня // Вестник СИбГАУ. 2013. Вып. 3 (49). С. 100-103.
a
2. Сенашов С. И., Кондрин А. В. Разработка информационной системы для нахождения упруго-пластической границы стержней прокатного профиля // Вестник СИбГАУ. 2014. Вып. 4 (56). С. 119-125.
3. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. On elastoplastic torsion of a road with multiply connected cross-section // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics. 2015. Vol. 8. P. 343-351.
4. Расчет напряженного состояния во всех точках упруго-пластического стержня прямоугольного сечения произвольной формы с треугольным отверстием : свид. № 2015614040 о гос. регистрации программы для ЭВМ / А. В. Кондрин, С. И. Сенашов, Е. В. Фи-люшина, О. Н. Черепанова. Зарег. в реестре программ для ЭВМ 03.04.2015.
5. Расчет напряженного состояния во всех точках упруго-пластического стержня прямоугольного сечения произвольной формы с прямоугольным отверстием : свид. № 2015614041 о гос. регистрации программы для ЭВМ / А. В. Кондрин, С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина, А. Н. Яхно. Зарег. в реестре программ для ЭВМ 03.04.2015.
References
1. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. Ob uprugoplasticheskom kruchenii sterzhnya // Vestnik SibGAU, 2013, vyp. 3 (49), рр. 100-103.
2. Senashov S. I., Kondrin A. V. Razrabotka informacionnoj sistemy dlya nahozhdeniya uprugo-plasticheskoj granicy sterzhnej prokatnogo profilya // Vestnik SibGAU, 2014, vyp. 4 (56), рр. 119-125.
3. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. On elastoplastic torsion of a road with multiply connected cross-section // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2015, vyp. 8, pр. 343-351.
4. Svidetelstvo № 2015614040 o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM / Raschet napryazhennogo sostoyaniya vo vsekh tochkah uprugo plasticheskogo sterzhnya pryamougolnogo secheniya proizvolnoj formy s treugolnym otverstiem / A. V. Kondrin, S. I. Senashov, Ye. V. Filyushina, O. N. Cherepanova. Zaregistrirovano v reyestre programm dlya EVM 03.04.2015.
5. Svidetelstvo № 2015614041 o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM / Raschet napryazhennogo sostoyaniya vo vsekh tochkah uprugo plasticheskogo sterzhnya pryamougolnogo secheniya proizvolnoj formy s pryamougolnym otverstiem / A. V. Kon-drin, S. I. Senashov, Ye. V. Filyushina, A. N. Yakhno Zaregist-rirovano v reyestre programm dlya EVM 03.04.2015.
© Кондрнн А. В., 2015
УДК 539.3
РАСЧЕТ КОМПОЗИТНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ПРИМЕНЕНИЕМ
МНОГОСЕТОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
А. Д. Матвеев1, А. Н. Гришанов2
1Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44
2Новосибирский государственный технический университет Российская Федерация, 630073, г. Новосибирск, просп. К. Маркса, 20 Е-mail: mtv@icm.krasn.ru
Предложен расчет упругих композитных цилиндрических оболочек (которые широко используются в ракетно-космической технике) с применением криволинейных многосеточных элементов. Предлагаемые элементы учитывают неоднородную структуру оболочек и порождают дискретные модели малой размерности.
Ключевые слова: композиты, упругость, оболочки, многосеточные конечные элементы.
CALCULATING COMPOSITE CYLINDRICAL SHELLS USING MULTIGRID ELEMENTS
A. D. Matveev1, A. N. Grishanov2
institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation 2Novosibirsk State Technical University 20, K. Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russian Federation Е-mail: mtv@icm.krasn.ru
Calculating the elastic composite cylindrical shells with curvilinear multigrid elements is proposed. The proposed elements take into account the heterogeneous shell structure and generate a discrete model of small dimension.
Keywords: composites, elasticity, shells, multigrid finite elements.
