CC BY
14<Тешетневс^ие чтения. 2016
4. Prilozhenie simmetriy i zakonov sokhraneniya k resheniyu différentsial'nykh uravneniy [The application of symmetries and conservation laws to the solution of differential equations] / S. I. Senashov, A. N. Yakhno, P. P. Kiryakov // Novosibirsk, Izdatel'stvo SORAN, 2001. 190 s.
5. Elastoplastic Bending of Beam / S. I. Senashov, A. V. Kondrin, O. N. Cherepanova // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2014, 7(2), p. 203-208.
6. Senashov S. I., Kondrin A. V., Cherepanova O. N. On Elastoplastic Torsion of a Rod with Multiply Connected Cross-Section // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2015, 7(1), pp. 343-351.
© Сенашов С. И., Филюшина Е. В., 2016
УДК 539.3
УПРУГОЕ СОСТОЯНИЕ ПЛАСТИНЫ С ОТВЕРСТИЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
С. И. Сенашов, И. Л. Савостьянова*
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: [email protected]
Рассмотрено упругое состояние прямоугольной пластины с отверстиями произвольной формы под действием нагрузок, направленных по нормали к сторонам. На контурах отверстий поддерживаются нулевые значения компонент тензора напряжений. При таких граничных условиях построено точное решение задачи в виде квадратур по внешней границе и границам контуров отверстий.
Ключевые слова: плоская упругая задача, упругая пластина с отверстиями, законы сохранения, точные решения теории упругости.
ELASTIC STATE OF A PLATE WITH FREE-FORM HOLES
S. I. Senashov, I. L. Savostyanova*
Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: [email protected]
Elastic state of a rectangular plate with free-form holes is studied; the plate is exposed to loads directed to the sides along the normal lines. On the outlines of the holes zero values of the stress component are maintained. With such boundary conditions an exact solution of the problem is built in the form of quadratures on the outer boundary and the boundaries of the holes' outlines. For this purpose an infinite system of laws of equation conservation of the elasticity theory is found and used that depends on the stress component in a linear fashion.
Keywords: plane elasticity problems, the elastic plate with holes, conservation laws, exact solutions of the theory of elasticity.
Уравнения классической теории упругости - наиболее исследованные уравнения механики сплошной среды. В первую очередь это объясняется линейностью основных уравнений. Это позволяет использовать при их решении весь спектр математических методов. Но при этом малоисследованной остается обширная область - решение задач теории упругости для тел конечных размеров. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно посмотреть классические руководства по теории упругости, например [1; 2].
Одним из авторов этой работы систематически использованы инструменты теории симметрий и законов сохранения для решения краевых задач теорий пластичности и упруго-пластичности [3-5]. Наработанная методика показала, что эти методы могут быть успешно применены и к решению некоторых задач
теории упругости. Первые обнадеживающие результаты приводятся в этой работе.
Рассмотрим конечную пластину размером ахЬ с отверстиями произвольной формы, ограниченной контурами Г!, Г2, ... Гт с кусочно гладкими границами. Предположим, что пластина испытывает различные напряжения в направлении осей х, у, а отверстия свободны от напряжений.
На границе Г0 получаем следующие условия
Ох 1х=а = Ох 1х=0 = P, Оу 1у =Ь = Оу 1у=0 = Я 0)
Остальные компоненты тензора напряжений на этих границах равны нулю. Считаем, что на границе контуров выполнено условие
О х1 Г1 = о у| Г = т| Г = 0. (2)
Механика сплошных, сред (газодинамика, гидродинамика, теория упругости и пластичности, реология)
Уравнения теории упругости в стационарном случае имеют вид
дох дт _ дт доу —- + — = 0,— + —- = 0, дх ду дх ду
д х + О у) + д х + О у) = 0
дх2 ду2 '
Из уравнения (4) получаем
-х + Оу = F (x,y),
(3)
(4)
(5)
где F (x, y) - некоторое решение уравнения Лапласа (4). Из (1) и (3) следует, что для нахождения F (x, y)
следует решить уравнение Лапласа со следующими граничными условиями:
FI х=a = F | х=0 = P,F | у=b = F | у=0 = q,F | Г = 0. (6)
Решение такой задачи будем считать известным. В этом случае для определения а х, т получим систему уравнений
^ дох дт „ ^ дт дох дF „
Ф1 =—- + — = 0, Ф2 =---х + — = 0. (7)
дх ду дх ду ду
Напишем для системы (7) законы сохранения. Определение. Законом сохранения для системы (7) назовем соотношение вида
^ + ® = П Ф1 + П, Ф2 = 0, (8)
дх ду 111 1112 2
где - некоторые линейные дифференциальные
операторы, по крайней мере один из которых нетривиален; A,B - сохраняющийся ток. Ищем сохраняющийся ток в виде
A = а1 (x У)аx + Pi (X У)т + Ti (x, У),
B = а2 (x, У) ах + P2 (X У) Т + T2 (x, У). (9) В результате имеем
-^Ё!=0,^+ ^=0,+ ^2=_Pi (10) дх ду дх ду дх ду ду
Окончательно сохраняющийся ток принимает вид
А = а, (х,у)°х + Pi (х,у)т + у, (x,y),
B = _Pi (х,у)ох + а, (х,у)т + Y2 (х,у), (11)
коэффициенты которого связаны соотношениями (10).
Для простоты дальнейших выкладок будем считать, что у нас есть только одно отверстие, ограниченное контуром Г1, тогда из (8) по формуле Грина получаем
| Ady _ Bdx + <£■ Ady _ Bdx = 0. (12) Г0 Г1
Рассмотрим два сингулярных решения уравнений (10):
а1 =
у _ у0
1 2 2 , в1 2 2 (х _ х0> + (у _ У0) (х _ х0> + (у _ У0)
1 f д^ . 1 п Y2 = _Jx" Y1 =0;
ду
(13)
а2 =
у _ у0
(х _ х0)2 + (у _ у0)2
, Р? =
(х _ х0)2 + (у _ у0)2
у2
= _J^ ®2dy, У12ь= 0. (14)
ду
Из (13) и (14) по приведенным выше формулам окончательно получаем
2пОх (х0,У0) = _J
Г0
(
У _ У0
(х _ х0)2 + (у _ У0)2
(х _ х0)2 + (У_ У0)2 х
dy _
Ох _
г
У _ У0 О + х _ х0 т , 1
-2-2 О х +-2-2 т + Y
(х _ х0)2 + (у _ У0)2 (х _ х0)2 + (у _ У0)2
А
dx _ JY[ldy,
Г1
2пт(х0,У0) = _J(--~ТГ—
Г0 (х _ х0)2 + (У_ У0)2
О+
У _ У0
(х _ х0)2 + (у _ У0)2
T)dy -
А
х _ х0 у _ у0 2
--2-0-2 Ох +-^^-2 т + Y2
(х _ х0) + (У _ У0) (х - х0) + (У _ У0)
dx _ JYj2 ф>, йУ, Г1
Оу(х0,У0) = F(x0,y0) _ Ох(х0,У0).
Замечание. Если отверстие одно и оно круглое, полученные формулы позволяют построить решение задачи в виде рядов Фурье.
Библиографические ссылки
1. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. 576 с.
2. Новацкий В. Теория упругости. М. : Мир, 1975. 870 с.
3. Senashov S. I., Cherepanova О. N., Kindim А. V. Elastoplastic Bending of Beam // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics. 2014. 7(2). Pp. 203-208.
4. Сенашов С. И., Кондрин А. В. Разработка информационной системы для нахождения упруго-пластической границы стержней прокатного профиля // Вестник СибГАУ. 2014. Вып 4(56). С. 119-125.
5. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. Сonstruct1on of elasto-plastic boundaries using conservation laws // Вестник СибГАУ. 2015. Т. 16, № 2. С. 343-359.
References
1. Timoshenko S. P., Gud'er Dzh. ТеопУа uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1975. 576 p.
2. Novatskiy V. ТеопУа uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow, Mir Publ., 1975. 870 p.
Решетневс^ие чтения. 2016
3. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. [Elastoplastic Bending of Beam] J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2014, 7(2), pp. 203-208.
4. Senashov S. I., Kondrin A. V. [Development of information system for finding the elastic-plastic boundary of the rolling profile rods]. Vestnik SibGAU. 2014. Vyp. 4 (56), p. 119-125. (In Russ.)
5. Senashov S. I., Filyushina E. V., Gomonova O. V. [Construction of elasto-plastic boundaries using conservation laws]. Vestnik SibGAU. 2015. Т. 16. Vyp. 2, pp. 343-359.
© Сенашов С. И., Савостьянова И. Л., 2016
УДК 534-18
МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ СО СЛОИСТОЙ И БЛОЧНОЙ СТРУКТУРОЙ1
Е. П. Ченцов
Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: [email protected]
Волновые процессы исследуются с помощью модели, в которой упругие блоки взаимодействуют друг с другом через податливые прослойки, имеющие сложные реологические свойства. Разработанная модель может использоваться для описания деформационных процессов в композитных материалах, используемых в аэрокосмической отрасли.
Ключевые слова: композитный материал, блочная среда, реология.
MODELING WAVE PROCESSES IN COMPOSITE MATERIALS WITH LAYERED
AND BLOCKY STRUCTURE
E. P. Chentsov
Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: [email protected]
In paper oscillation processes are analyzed using a model, wherein elastic blocks interact with each other via pliant interlayers with difficult rheologicalproperties. In particular, the developed model can be used to describe deformation processes in composite materials, used in airspace industry.
Keywords: composite material, blocky medium, rheology.
Анализ колебательных процессов в пористых, структурно неоднородных средах и композитных материалах представляет большой практический интерес. В аэрокосмической отрасли часто возникает необходимость использования многофазного материала, который состоит из большого количества чередующихся слоев, имеющих различные свойства, или разделенных прослойками блоков. Данная работа посвящена моделированию волновых процессов в подобных композитах.
Рассмотрим случай плоской деформации блочной среды, состоящей из прямоугольных упругих блоков размером hi и h2 и вязкоупругих прослоек с толщиной §i и 52. Стороны блоков параллельны осям xi и x2. Движение каждого блока в такой среде описывается
1 Исследование выполнено при финансовой поддержке
РФФИ и правительства Красноярского края в рамках научного проекта 16-41-240415.
системой уравнений однородной изотропной упругой среды:
Р> =СТП,1 +^12^ ¿11 =рС12(\1 + >2,2 ) - 2РС2 >2,2 ,
Р>2 = ¿12,1 + ¿22,2, ¿22 = Рс2 (>1,1 + У2,2) - 2РС2 >1,1, «¿12 = РС2(>2,1 + >1,2^
где р - плотность материала блоков; с1 и с2 - скорости продольных и поперечных упругих волн. Система записана относительно компонент тензора напряжений од и проекций вектора скорости >к. Точка над символом означает дифференцирование по времени.
Межблочные прослойки могут обладать различными свойствами, что оказывает существенное влияние на свойства композита. Так, в [1] прослойки являются упругими и описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений с учетом продольной и поперечной жесткости. Если прослойка
