Анализ резонансного возбуждения блочной среды на основе уравнений моментного континуума Коссера Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

111

АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНОГО ВОЗБУЖДЕНИЯ БЛОЧНОЙ СРЕДЫ НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЙ МОМЕНТНОГО КОНТИНУУМА КОССЕРА

Садовский В. М., Садовская О. В., Варыгина М. П.

Институт вычислительного моделирования, Российская академия наук, Сибирское отделение, http://icm.krasn.ru 660036 Красноярск, Российская Федерация Поступила 08.04.2013

Представлена действительным членом РАЕН В.И. Ерофеевым 12.04.2013

В рамках математической модели блочной среды с упругими блоками, взаимодействующими через податливые вязкоупругие прослойки, и ее приближения на основе уравнений моментного континуума Коссера численно решается задача о периодическом возмущении слоя и полубесконечного массива среды под действием распределенных и локализованных поверхностных нагрузок. Применяются параллельные алгоритмы для многопроцессорных вычислительных систем кластерной архитектуры и для систем с графическими ускорителями. Используются простые формулы для определения коэффициентов упругости моментного континуума по заданным характеристикам материала блоков и межблочных прослоек, которые дают хорошее соответствие волновых полей, полученных в рамках точной и приближенной моделей. В результате анализа численных решений установлено, что многоблочная среда обладает резонансной частотой вращательного движения блоков, которая не зависит от размеров массива и граничных условий на его поверхности и является, таким образом, феноменологическим параметром материала.

Ключевые слова: блочная среда, моментный континуум, динамика, вязкоупругость, вращательное движение, резонансная частота, комплекс параллельных программ

УДК 539.3__________________________________

содержание

1. введение (ііі)

2. уравнения блочной среды (112)

3. блочная среда как моментный континуум (ііз)

4. резонансы в блочной среде (114)

5. локализованные возмущения (115)

6. заключение (116) литература (116)

1. ВВЕДЕНИЕ

Некоторые природные и искусственные материалы, например горные породы, имеют ярко выраженное структурно неоднородное блочно-иерархическое строение. Блочная структура проявляется на разных масштабных уровнях, от размеров кристаллических зерен до блоков горного массива, выделяемых крупными разломами. Блоки связаны друг с другом прослойками породы с существенно более слабыми механическими свойствами [1]. Одной из важнейших технологических задач угледобычи является прогноз внезапного обрушения кровли угольных шахт. Этому процессу предшествует ослабление механического контакта между блоками: порода приобретает ослабленную микроструктуру. Такое состояние среды можно обнаружить, возбуждая в ней упругие волны малой амплитуды и регистрируя отклик на эти возмущения, что может быть использовано при разработке специальных технических устройств для своевременного предсказания и предотвращения аварийных ситуаций.

Теория неоднородных сред со слоистой и блочной микроструктурой — область механики, интенсивно

развивающаяся в течение более чем полувека. К настоящему времени в этой области развиты эффективные аналитические методы исследования [2-4], разработаны численные алгоритмы для решения квазистатических и динамических задач, основанные на конечноэлементной и конечноразностной аппроксимации непрерывных моделей. Однако в задачах о распространении в блочных средах высокочастотных волн, длины которых сравнимы с размерами блоков и прослоек, такие методы оказываются практически непригодными из-за методических погрешностей, обусловленных влиянием аппроксимационной вязкости, сравнимой с вязкостью физической. Возникает необходимость проведения расчетов на мелких сетках, размер ячеек которых согласован с характерным размером блоков. Для таких расчетов целесообразно применение современных многопроцессорных вычислительных систем.

Экспериментальному и теоретическому

исследованию низкочастотных колебаний блоков, вызванных прохождением коротких одиночных импульсов давления в блочных массивах, так называемых волн маятникового типа, посвящены работы [5-7]. Одномерные расчеты продольных маятниковых волн на основе уравнений слоистой среды проводились в [8]. Цель настоящей статьи состоит в разработке двумерных и трехмерных моделей для численного исследования распространения волн. Расчеты, выполненные на основе этих моделей, позволили проанализировать резонансное движение блочной среды, которое отвечает вращательным степеням свободы блоков.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

112 САДОВСКИЙ В.М., САДОВСКАЯ О.В., ВАРЫГИНА М.П.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

2. УРАВНЕНИЯ БЛОЧНОЙ СРЕДЫ

Рассмотрим состояние плоской деформации блочного массива, образованного квадратными упругими блоками со сторонами длины h, параллельными координатным осям декартовой системы координат x, x2 и тонкими межблочными прослойками толщины 8. Блоки в массиве нумеруются парами индексов k1 и k2, пробегающих значения от 1 до N1 и N2, соответственно. Внутри каждого блока выполняется система уравнений однородной изотропной упругой среды: рѵ1 = 711,1 + 712,2, рѵ2 = <712,1 + 722,2,

712 = Рс2( v2,1 + ѵ1дХ

2 2 (1) 711 = рс1 (v1,1 + ѵ2,2 ) - 2рс2 v2,2 5

722 = р<1 (v1,1 + v2,2 ) - 2р2 v1,1 •

Здесь с1 и с2 — скорости продольных и поперечных упругих волн, точка над символом и индексы после запятой означают производные по времени и по пространственным переменным, в остальном используются общепринятые обозначения.

Упругая прослойка между соседними блоками в горизонтальном направлении с номерами (k1, k) и (k1+1, k2) описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями, учитывающими ее массу и продольную и поперечную жесткости:

Р р+ + ѵ- = 7+1 - 71+1 + &11 = р 2 ѵ+ - ѵ-

Р “ = ------"--5 ---“--- = Р С1 --1 5

8

р ѵ2 + ѵ2 = 712 - 712 712 + 712_Р 2 ѵ2 - ѵ2

р ---“---=-----"---5 ---“----= рС2

(2)

2 8 2 8

Упругая прослойка между блоками в вертикальном направлении с номерами (Ц, k^) и (k1? k2+1) — уравнениями:

РР+ + ѵ2 = <7+2 - 722 7+2 + 722_Р2 ѵ2 - ѵ2

р—2— = —8—5-----------2---= рс1 —8—5

2_ 8 _ 2 _ 8_ (3)

Р Р + ѵ1 = 7+2 - 7 2 7+2 + 71 2 = Рсг2 ѵ1+ - ѵ1

Р 2 8 ’2 Р 2 8 ‘

В этих уравнениях верхние индексы ± относятся к

границам взаимодействующих блоков. Аналогичные уравнения применялись в работе [8] в одномерной модели слоистой среды. Можно показать, что они термодинамически согласованы с системой уравнений (1) в том смысле, что для регулярной блочной структуры в целом выполняется закон сохранения энергии, в котором сумма кинетической и потенциальной энергии представляет собой сумму кинетических и потенциальных энергий для блоков и для прослоек в отдельности.

При учете вязкоупругих деформаций в прослойках уравнения (2), (3) заменяются более общими уравнениями, зависящими от постулируемой реологической схемы материала [8].

Для численного решения системы уравнений (1)-(3) и системы, учитывающей вязкоупругие свойства прослоек на основе реологических схем Максвелла, Кельвина-Фойхта и Пойнтинга-Томсона, разработан параллельный вычислительный алгоритм, в котором реализован метод распада разрыва Годунова для уравнений теории упругости на равномерной сетке с выбором предельно

допустимого по условию Куранта-Фридрихса-Леви шага по времени. При меньших значениях шага использовалась кусочно-линейная ENO-реконструкция второго порядка точности [9]. Для решения двумерных задач применялся метод двуциклического расщепления по пространственным переменным, приводящий к серии одномерных задач. Выполнено распараллеливание алгоритма для вычислительных систем на графических ускорителях по технологии CUDA. Исследование эффективности параллельной реализации алгоритма показало ускорение работы программы до 50 раз по сравнению с последовательной версией.

Созданные программы применялись при решении серии одномерных и д вумерных задач о распространении волн, вызванных действием кратковременных и длительных (периодических) локализованных нагрузок на границе слоистой (блочной) среды. Для задачи Лэмба о мгновенном действии сосредоточенной силы на поверхности массива блочной среды с упругими прослойками проводилось сравнение численных решений, полученных на основе уравнений (1)-(3) и в рамках полной постановки, в которой прослойки моделировались с помощью уравнений плоской теории упругости с условиями склейки на границах раздела. Расчеты в полной постановке были выполнены по программе 2Dyn_Granular [10] на многопроцессорном кластере МВС-100К Межведомственного

суперкомпьютерного центра РАН. Сравнение показало хорошее соответствие результатов, но при этом расчеты на кластере с применением MPI из-за большой размерности разностной сетки в прослойках потребовали на порядок большего времени, чем расчеты по упрощенной модели (1)-(3) на GPU с применением технологии CUDA.

На рис. 1 представлены результаты расчетов для блочных сред, состоящих из 6 блоков (рис. 1 а, б) и 15 блоков (рис. 1 в, г), выполненные на кластерной системе. Толщина прослоек в 5 раз меньше толщины блоков. Взяты следующие параметры материалов: р = 3700, р’ = 1200 кг/м3, у = 3500, с2 = 2100, с\ 1500, с\ = 360 м/с. На рис. 1 а,в приведены линии уровня напряжения

в задаче Лэмба для нормального импульсного

Рис. 1. Волновые картины в задаче Лэмба для блочной среды с упругими прослойками: линии уровня нормального (а, в) и касательного (б, г) напряжений.

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНОГО 113

ВОЗБУЖДЕНИЯ БЛОЧНОЙ СРЕДЫ...

а б

Рис. 2. Линииуровня касательного напряжения для блочной реды с тонкими прослойками: а—массив из 16*-8 блоков, б— массив из 32^-16 блоков. воздействия, сосредоточенного в центральной точке верхней границы полуплоскости, а на рис. 1б,г — линии уровня напряжения о при касательном сосредоточенном воздействии (ось х1 направлена вниз, вглубь массива, а ось х2 — по горизонтали). Под действием импульсной нагрузки образуются падающие волны (продольная и поперечная), конические поперечные волны, поверхностные волны, распространяющиеся со временем по всей области массива. Из-за наличия податливых прослоек возникает серия волн, отраженных от границ раздела, и серия поверхностных волн, образующихся при выходе отраженных волн на границу полуплоскости.

На рис. 2 приведены результаты расчетов задачи Лэмба с касательной нагрузкой для многоблочной среды на основе упрощенной модели (1)-(3), которые показали, что увеличение числа блоков с пропорциональным уменьшением параметров h и S приводит к появлению за фронтом падающей поперечной волны размытого волнового фронта, связанного с передачей вращательного движения блоков. Это может служить подтверждением интуитивного представления о том, что многоблочную среду с податливыми прослойками можно приблизить обобщенным континуумом, в уравнениях которого учитывается несимметрия тензора напряжений, вызванная вращательным движением блоков, и моментные напряжения, связанные с искривлением регулярной блочной структуры из-за неоднородности вращений.

3. БЛОЧНАЯ СРЕДА КАК МОМЕНТНЫЙ КОНТИНУУМ

Известное свойство слоистых и блочных сред, многократно проверенное экспериментально и с помощью численных расчетов (см., например, [68]), состоит в том, что волны малой амплитуды, длины которых больше размера слоя или блока, движутся в такой среде практически как в однородной среде с некоторыми эффективными модулями упругости. Строго говоря, это относится только к волнам поступательного движения. Возмущение вращательного движения блоков приводит к появлению новых типов волн. Будем описывать процесс распространения длинных волн в многоблочной среде с помощью системы уравнений моментного континуума Коссера, широко используемой при моделировании структурно неоднородных материалов на различных масштабных уровнях [11-13]. Для этого в предположении о малости размера блока в масштабе всего массива пересчитаем

феноменологические параметры моментного континуума через параметры упругости материалов блоков и межблочных прослоек.

Один из наиболее простых способов пересчета связан с требованием соответствия между моделями в специальных схемах квазистатического или динамического деформирования [14-17]. На рис. 3а представлена схема деформирования блочной среды, в которой блоки поворачиваются на малый угол ф, а их центры масс остаются неподвижными. Учитывая податливость прослоек, деформацией блоков можно пренебречь. В этом приближении прослойки находятся в состоянии чистого сдвига с углом сдвига Y= Ьф/8. Соответствующее касательное напряжение т = [і ’y (р = р A — модуль сдвига материала прослойки) пропорционально углу поворота. Коэффициент пропорциональности f = т/ф = pi'h/8 является одним из феноменологических параметров моментного континуума Коссера.

В схеме, изображенной на рис. 3б, перемещения центров масс также отсутствуют. Из-за встречного поворота соседних блоков образуется кривизна ж = дф/дх (ось x направлена горизонтально), которую можно оценить по формуле: ж = ф/(Ь+8). В прослойке возникает линейное распределение деформации £ = —фу/8 и нормального напряжения о = Е'в, где у — вертикальная координата, E' = р A (3c[2 - 4cf)/(А - А ) - модуль Юнга материала прослойки. Действие напряжения сводится к действию изгибающего момента т = Е'фЬ3/128. Следовательно, еще один параметр

моментного континуума f = т/ ж можно определить по формуле: f = E'(h+S)h3/(12S).

На рис. 3в приведена схема однородного скручивания блочной среды вокруг осей, проходящих через неподвижные центры масс блоков перпендикулярно плоскости рисунка. В этом состоянии напряжения в прослойках определяются из решения задачи упругого кручения. Проекции вектора перемещений в прослойке на горизонтальную и вертикальную оси выражаются формулами: мх = —уфрЪ и и = хфу/8. По закону Гука касательные напряжения равны: тх = [i'dux/dz и ту = [PSu/Sz. Скручивающий момент определяется как интеграл И/ 2 h/ 2

M = ! ! (xTy - УТх) dx dy =

- V 2 - V 2

h/2 h/2 4

А! !(x2+y2)**

-h/ 2 -Щ 2

а б в

Рис. 3. Схемы деформирования блочной среды: а — однородное вращение блоков, б — неоднородное вращение с образованием кривизны, в — однородное скручивание.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

114 САДОВСКИЙ В.М., САДОВСКАЯ О.В., ВАРЫГИНА М.П.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Величина кручения ж0 = дф/dz оценивается с помощью вышеприведенной формулы для кривизны. Поэтому феноменологический параметр fK = М/ ж0, равный отношению скручивающего момента к кручению, может быть вычислен по формуле f = p'(h+8)h4/(68). К

В пространственном состоянии упругие свойства изотропного моментного континуума характеризуются шестью независимыми параметрами. Пересчет трех из них осуществляется через f f и f\ Еще один параметр найдем из условия реализуемости обобщенного плоского напряженного состояния. Оказывается, в общем случае определяющие уравнения теории упругости Коссера запрещают одновременное равенство нулю проекций вектора угловой скорости и компонент тензора моментных напряжений, которые в этом состоянии отсутствуют.

Приведем систему уравнений для описания динамики моментного континуума в терминах проекций вектора линейной скорости ѵ , угловой скорости ш и компонент несимметричных тензоров напряжений о и моментных напряжений m .. В таком виде она использовалась при разработке вычислительного алгоритма [18]:

РоVp = СТ1 p,1 + ст2p,2 + ст3p,3,

Vpq = (м + «)vq,p + (м — а)Vp,q — 2 aa>r,

°qp = (М—«) vq, p + (м+«) vp,q + 2 ap ,

j0pp = m1 p,1 + m2p,2 + m3p,3 + ®qr — ^r q,

mpp =| K + -

^K + 3 jpp,p + ^K 3 j (pq,q +pr,r)

pq

m

qp

= (V + P)pq, p + (V — P)pp, q

= (n-P)pq, p +(V+0)

p,q-

Здесь индексы p, q и r пробегают значения 1, 2, 3, причем q = p + 1 mod 3, q = p +1 mod 3. Символом j0 обозначается инерционная характеристика

материала, равная произведению момента инерции блока на число блоков в единице объема:

■ -хт ■ h j = jN, ^j=P~ 6

, ^ N = -

1

3

(h + 8)3

Сопоставляя уравнения системы (4) с уравнениями для напряжений и моментов, коэффициентами которых служат параметрьуОрв ир, получим следующие формулы пересчета:

a = fa = MM п+в = в = E ’(h + 8

2 28 ’ П Р h 128 ’

4Д fK = M(h + 8)h2 ()

.2

K + — = -

h2

68

В обобщенном плоском напряженном состоянии, которое реализуется в слое толщины Ь, нагруженном в плоскости, со свободными от напряжений боковыми поверхностями х} = 0 и х} = Ь, величины ѵ13, ѵ23, ѵ31,

V3,2, ^ а также 013 = 031, 023 = 032, 03Ѵ и m3p

m32, m33 тождественно равны нулю. Такой вариант

допускается системой (4), только если параметры п и в равны между собой. В противном случае из уравнений для моментных напряжений m и m32 следует, что ш3

= ы32 = 0, то есть что неоднородное вращение блоков в обобщенном плоском напряженном состоянии невозможно. Таким образом, формулы пересчета параметров (5) замыкаются равенством п = р.

Параметры, характеризующие податливость материала на растяжение—сжатие и на сдвиг, определим из условия совпадения скоростей плоских продольных и поперечных упругих волн для блочной среды и для эффективного однородного материала. По направлению координатных осей волны в блочной среде движутся со средними скоростями:

_ , h +8 _ , h + 8

c1 = c1c1

hc1 + 8c1

> ^ c2 = c2 c2

hc'2 + 8 c2

Учитывая выражения для скоростей распространения продольных и поперечных волн в моментной среде, феноменологические параметры k и р вычислим по формулам:

7 ,^2 4 и ph + 3 р'8 (р\

М = Роп2 — a,^ к = Роп1 —^г,^ Ро = ■ (6)

3 (h +8)3

Для примера рассмотрим блочную среду с параметрами материалов, приведенными в разделе 1, и толщинами блоков и прослоек, характерными для кирпичной кладки: Ь = 0.05 и 8 = 0.01 м. Расчет параметров моментного континуума для такой среды по формулам (5), (6) дает: k = 16.9, р = 3.07, а = 0.389 ГПа, к = 7.92, п = в = 286 кН. Плотность материала равна р0 = 2560 кг/м3, инерционная характеристика вращения —j0) = 0.892 кг/м. Скорости распространения продольных, поперечных волн, волн вращательного движения и кручения при таких параметрах равны:

c1 =

c3 =

к + 4 и/3

Ро

= 2864, c2 =

М+a

Ро

= 1163,

п + в = 800, c4 = кИЛІ! = 660

j0

/с.

j0

Собственная частота вращательного движения, вычисляемая через период собственных колебаний T = Па Jo = 15.05 мс, равна ѵ* = 1/T = 6.645 кГц.

Необходимо заметить следующее. Так как в модели моментного континуума Коссера частицы микроструктуры материала считаются недеформируемыми, то приближение блочной среды моментным континуумом возможно, только если упругая податливость прослоек существенно выше податливости блоков, и если, кроме того, толщина прослоек не слишком мала по сравнению с размером блоков. Некорректность приближения, в конечном счете, проявляется в нарушении неравенств k, р, а > 0, ^ к, п, в > 0,

при выполнении которых потенциальная энергия моментного континуума представляет собой положительно определенную квадратичную форму [19], что обеспечивает гиперболичность системы уравнений (4).

3. РЕЗОНАНСЫ В БЛОЧНОЙ СРЕДЕ

Резонансное возбуждение среды за счет возмущения вращательного движения блоков моделировалось на основе уравнений моментного континуума. На рис. 4 приведены графики зависимости модуля амплитуды

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНОГО 115 ВОЗБУЖДЕНИЯ БЛОЧНОЙ СРЕДЫ...

Рис. 4. Амплитудно-частотные характеристики вязкоупругого

слоя: а — H = 0.5 м, б — H = 1 м. касательного напряжения от частоты, полученные из решения задачи о равномерном циклическом сдвиге вязкоупругого слоя толщины H. Феноменологические параметры материала указаны в конце предыдущего раздела. Касательное напряжение относится к жестко заделанной нижней стороне слоя. На верхней стороне линейная скорость меняется по периодическому закону с частотой ѵ. Толщина слоя варьируется. Аналогичные графики для идеальных, невязких сред имеют систему резонансных пиков с бесконечными амплитудами. Вязкость использовалась в качестве сглаживающего механизма. Процесс сдвига описывался уравнениями (4), в которых, в соответствии с теорией вязкоупругости Больцмана, произведения параметров среды на характеристики деформированного состояния заменялись свертками соответствующих этим параметрам ядер релаксации на те же характеристики.

Предположим, что ось х1 декартовой системы координат направлена вглубь слоя, а ось х2 - по горизонтали. Система уравнений плоских волн сдвига с вращением частиц, движущихся в моментном континууме в направлении х, имеет вид:

Р0Ѵ2 = °12,Ь 70 03 = m13,1 + ^12-°2Ъ

&12 = (и+ а) * Ѵ2 1 -2а *^з, &21 = (М - а) * Ѵ2 1 + 2а* 03, (7)

031 = (П-в) *03,1, = (п + в)*®3,1-

Из системы (7) можно получить амплитудные уравнения:

1піѵроѴ2 =^121, 2nivj'003 = m3 1 + &12 ~&21,

2пѴ<712 = (р + а)У2 1 -200, 2піѴ<Г21 = (fi-a)v2 1 + 200,

2яіѴ/Й31 = (n - в)&3 1, 2Я7Ѵ/Й13 = (г) + в)щ 1,

откуда следует, что

2 2 /ѵ/ѵ/ѵ /ѵ/ѵ

4п ѵ р0ѵ2 + (и + а)ѵ2,11 - 2ааЪ1 = 0,

4(п ѵ 70 - сс)(д3 + (п + у))й)311 + 2аѴ21 = 0.

Отсюда Яѵ2,1111 + 4 ВѴ211 + 16СѴ2 = 0, где A = (м + а)(п + в), В = а + п ѵ Р0(п + в) +

+(пѴ70 -а)(и+а), с = пѴр0(пѴ70 - а).

Пусть Х,1 и — корни биквадратного

характеристического уравнения **2 = - В ±уі В 2 - 4 AC 2 = A ‘

Тогда общее решение для амплитуды линейной скорости зависит от четырех постоянных: v2 = Ae*X + A2 e-**1 + B1e*2 X1 + B2 e"*2 X1. Фурье-преобразование угловой скорости принимает вид:

2а0з = -**(A1e*1 X1 - A2e“* X1 )-**(B1e*2X1 - B2e“*x ) ,

где ж1;2 = 4п2ѵ2р0 + /*22(и + а).

Граничные условия для слоя формулируются в терминах скоростей ѵ2 и ы3:

ѵ2 х1 =0 = v0exP(2n іѵ), 031 x1 =0 = 0, ѵ21 x1 =H =031 x1 = H = °. Они приводят к системе из четырех линейных алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования:

A1 + A2 + B1 + B2 = Ѵ0,

^1(A1 - A2) + ^2(B1 - B2) = 0,

A,e*H + A2e~*H + B1e*2H + B2 e~**H = 0,

ж1(A1e*-H - A2e~*H) + ж2(B^* - B2e*) = 0. Решение этой системы может быть выписано в явной форме, но ввиду громоздкости здесь оно не приводится. Амплитуда касательного напряжения на нижней границе слоя вычислялась по формуле:

2nv12 (v) = (и + а)212 - (Ae*H - A2e-*H) +

*1 ' '

+ (и + а* - ч (Be* - B2e-*) .

В расчетах использовалась теория вязкоупругости Кельвина-Фойхта, в соответствии с которой комплексные модули являются линейными функциями частоты, в частности, М = и + 2піѵ и . Мнимые части комплексных модулей выбирались так, чтобы добиться необходимого сглаживания решения.

Из сравнения графиков на рис. 3, полученных для толщин Н = 0.5 и H = 1 м, видно, что резонансный пик на частоте 6.645 кГц, близкой к собственной частоте вращательного движения частиц, присутствует независимо от толщины слоя.

4. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ

В расчетах импульсного воздействия на блочную упругую среду на основе двумерных и пространственных уравнений моментного континуума Коссера были обнаружены специфические низкочастотные маятниковые волны, вызванные не поступательным перемещением, как в оригинальной работе [5], а вращением блоков. Метод решения задачи на высокопроизводительных кластерных системах и некоторые результаты расчетов представлены в монографии [19].

На рис. 5 изображены линии уровня нормального напряжения в задаче Лэмба о нормальном действии сосредоточенной импульсной нагрузки на границе упругого блока, выполненные на сетке из 1000x500 узлов на 15-ти процессорах кластера МВС—100К МСЦ РАН.

а б

Рис. 5. Двумерная задача Лэмба для однородной упругой среды (а) и моментной упругой среды (б); линии уровня нормального напряжения.

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

116 САДОВСКИЙ В.М., САДОВСКАЯ О.В., ВАРЫГИНА М.П.

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

Выделены фронты продольных, поперечных, конических и поверхностных волн, движущихся от точки приложения нагрузки в середине верхней границы вовнутрь блока. На боковых сторонах блока ставились неотражающие граничные условия в некотором упрощенном варианте.

Результаты на рис. 5а получены в рамках классической теории упругости, на рис. 5б — на основе теории Коссера. Качественное отличие результатов состоит в том, что за фронтом поперечной волны в моментной среде появляются осцилляции с периодом T. Соответствующая длина волны оценивается через скорость поперечных волн как С2Т. Механизм появления осцилляций связан с вращением частиц: распространяясь в среде, поперечная волна инициирует на переднем фронте колебательное движение.

Более точное выражение для фазовой скорости маятниковой волны вращательного движения можно получить с помощью дисперсионного уравнения плоских волн сдвига с вращением частиц [18, 19]:

( -2 б ( -2 б

1 - ^ 2 2 і - А а

П V —

V С V c) J0 _

а

р0 J0 С

При ѵ — ѵ это уравнение дает Г л-1

1 + а

С = С2

V

р c3)

Оказывается, c«С2 только при малых значениях параметра а и при относительно больших скоростях С3. Если скорость С3 мала, то c также мала. Таким образом, в модели редуцированного континуума Коссера, в которой тензор моментных напряжений считается равным нулю, волны рассматриваемого типа являются стоячими волнами.

Пространственные расчеты подтвердили основное качественное отличие волнового поля в моментном континууме Коссера по сравнению с классической упругой средой, которое заключается в появлении колебаний вращательного движения частиц на фронтах волн. В [19] были проведены сравнительные расчеты для различных значений масштаба микроструктуры среды, в которых установлена прямая пропорциональная зависимость периода собственных колебаний от этого масштаба.

На рис. 6 представлены результаты решения задачи о действии сосредоточенного вращательного момента, изменяющегося периодически по времени, полученные с помощью программного комплекса 3Dyn_Cosserat [20]. Расчеты выполнены на 64-х процессорах МВС—100К для материала с приведенными выше параметрами. Изображена схема нагружения (рис. 6а), а также поверхности уровня угловой скорости частиц для резонансной частоты ѵ — ѵ* (рис. 6б) и для нерезонансной частоты ѵ — 1.75ѵ* (рис. 6в) в различные моменты времени. Расчеты показали, что при частоте внешнего воздействия, равной собственной частоте вращательного движения, происходит рост амплитуды со временем и более плавное затухание колебаний с удалением от точки приложения нагрузки, характерное для акустического резонанса. В аналогичных расчетах было показано, что варианты задания периодического

а б в

Рис. 6. Пространственная задача о периодическом действии сосредоточенного вращательного момента: схема нагружения (а) и поверхности уровня угловой скорости <х>2 для резонансной (б) и нерезонансной (в) частот по мере продвижения фронта волны.

по времени и сосредоточенного по пространству нормального или касательного напряжения, а также линейной или угловой скорости не приводят к заметному резонансному возбуждению среды.

Существование резонансной частоты в модели моментного континуума Коссера, которая не зависит от размеров исследуемого образца и по существу является феноменологическим параметром материала, установлено в работах [18, 19]. В [21] показано, что резонансная частота, связанная с вращательным движением частиц микроструктуры материала, присутствует также в моделях микрополярных упругих тонких оболочек.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

К описанию волновых процессов в многоблочной среде из упругих блоков, взаимодействующих через податливые вязкоупругие прослойки, была применена упрощенная математическая модель, полученная путем осреднения уравнений деформирования прослоек по толщине, и модель моментного континуума Коссера, в которой наряду с поступательными степенями свободы учитываются независимые вращения блоков. Из сопоставления скоростей распространения упругих волн и коэффициентов упругого сопротивления среды вращению и кручению блоков получены формулы для пересчета феноменологических параметров моментного континуума по заданным характеристикам материалов блоков и межблочных прослоек. Разработаны алгоритмы и компьютерные программы, реализующие рассматриваемые модели на многопроцессорных вычислительных системах кластерного типа и на системах с графическими ускорителями.

В двумерной постановке проведено сравнение результатов расчетов в рамках упрощенной модели блочной среды с расчетами, моделирующими деформацию блоков и прослоек на основе полных уравнений динамической теории упругости. Для обоснования применимости модели моментного континуума к исследованию напряженнодеформированного состояния многоблочных сред выполнена серия расчетов плоской задачи Лэмба об импульсном воздействии нормальной и касательной

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ

ФИЗИКА СПЛОШНЫХ СРЕД

АНАЛИЗ РЕЗОНАНСНОГО 117 ВОЗБУЖДЕНИЯ БЛОЧНОЙ СРЕДЫ...

локализованных нагрузок на поверхности полуплоскости. Установлено, что эти модели дают качественно близкие волновые картины.

Получено пространственно одномерное точное решение задачи о сдвиговом деформировании слоя вязкоупругой моментной среды под действием периодического изменения скорости на границе. Анализ амплитудно-частотных характеристик выявил наличие резонансного пика касательного напряжения на частоте собственных колебаний вращательного движения блоков, не зависящей от толщины слоя. В серии расчетов трехмерной задачи для массива моментной среды показано, что при периодическом изменении локализованного вращательного момента на границе на частоте собственных колебаний происходит резонансное возбуждение среды, которое проявляется в увеличении амплитуды угловой скорости и меньшем ослаблении волны по мере ее распространения вглубь массива по сравнению с нерезонансными частотами.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-01-00053) и Комплексной программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 18 “Алгоритмы и математическое обеспечение для вычислительных систем сверхвысокой производительности”.

ЛИТЕРАТУРА

1. Садовский ВМ. Естественная кусковатость горной породы. ДАН СССР, 1979, 247(4):829-831.

2. Кунин ИА. Теория упругости сред с микроструктурой. М., Наука, 1975, 416 с.

3. Бреховских ЛМ. Волны в слоистых средах. М., Наука, 1973, 344 с.

4. Гольдин СВ. Сейсмические волны в анизотропных средах. Новосибирск, Изд. СО РАН, 2008, 375 с.

5. Курленя МВ, Опарин ВН, Востриков ВИ. О формировании упругих волновых пакетов при импульсном возбуждении блочных сред. Волны маятникового типа. ДАН СССР, 1993, 333(4):3-13.

6. Александрова НИ, Черников АГ, Шер ЕН. Экспериментальная проверка одномерной расчетной модели распространения волн в блочной среде. Физ.-техн. проблемы разработки полезных ископаемых, 2005, 3:46-55.

7. Александрова НИ, Шер ЕН, Черников АГ. Влияние вязкости прослоек на распространение низкочастотных маятниковых волн в блочных иерархических средах. Физ.-техн. проблемы разработки полезных ископаемых, 2008, 3:3-13.

8. Варыгина МП, Похабова МА, Садовская ОВ, Садовский ВМ. Вычислительные алгоритмы для анализа упругих волн в блочных средах с тонкими прослойками. Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии, 2011, 12(2):190-197.

9. Куликовский АГ, Погорелов НВ, Семенов АЮ. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М., Физматлит, 2001, 607 с.

10. Садовский ВМ, Садовская ОВ. Программный комплекс для решения двумерных упругопластических задач динамики сыпучих сред (2Dyn_Granular).

Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012613989 от 28.04.2012.

11. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des Corps Deformables. In: Chmlson's Traite Physique. Paris, Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909, 953-1173.

12. Erofeev VI. Wave Processes in Solids with Microstructure. New Jersey-London-Singapore-Hong Kong-Bangalore-Taipei, World Scientific Publishing, 2003, 256 p.

13. Altenbach H, Altenbach J, Kissing W Mechanics of Composite Structural Elements. Berlin, Springer, 2004, 468 p.

14. Diebels S., Steeb H, Ebinger T. Volume and surface based homogenization procedures for Cosserat continua. Proc. Appl. Math. Mech., 2003, 3:266-267.

15. Павлов ИС, Потапов АИ. Структурные модели в механике нанокристаллических сред. ДАН, 2008, 421(3):348-352.

16. Branke D, Brummund J, Haasemann G, Ulbricht V. Obtaining Cosserat material parameters by homogenization of a Cauchy continuum. Proc. Appl. Math. Mech, 2009, 9:425-426.

17. Reis FD, Ganghoffer J-F. Construction of Mcropolar Continua from the Homogenization of Repetitive Planar Lattices. In: Mechanics of GeneralizvdContima (ed. by H. Altenbach, GA Maugin, V Erofeev), Ser.: Advanced Structured Materials, V 7. Berlin-Heidelberg, Springer, 2011, 193-217.

18. Sadovskaya OV, Sadovskii VM. Analysis of rotational motion of material microstructure particles by equations of the Cosserat elasticity theory. Acoustical Physics, 2010, 56(6): 942-950.

19. Sadovskaya Q Sadovskii V Mathematical Modelingin Mechanics of Granular Materials. Ser.: Advanced Structured Materials, V 21. Heidelberg-New York-Dordrecht-London, Springer, 2012, 390 p.

20. Садовский ВМ, Садовская ОВ, Варыгина МП. Программный комплекс для расчета трехмерных динамических задач моментной теории упругости (3Dyn_Cosserat). Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012614824 от 30.05.2012.

21. Саркисян СО. Общая теория микрополярных упругих тонких оболочек. Физическаямезомеханика, 2011, 14(1):55-66.

Садовский Владимир Михайлович

д.ф.-м.н, проф.

Институт вычислительного моделирования СО РАН 50/44, Академгородок, 660036 г. Красноярск, Россия +7 391 243 2656, sadov@icm.krasn.ru Садовская Оксана Викторовна

к.ф.-м.н, с.н.с.

Институт вычислительного моделирования СО РАН 50/44, Академгородок, 660036 г. Красноярск, Россия

+7 391 290 7465

Варыгина Мария Петровна

к.ф.-м.н., н.с.

Институт вычислительного моделирования СО РАН 50/44, Академгородок, 660036 г. Красноярск, Россия

+7 391 290 7465

РЭНСИТ | 2013 | ТОМ 5 | НОМЕР 1

118

PHYSICS OF CONTINUOS MEDIA

ANALYSIS OF RESONANT EXCITATION OF BLOCK MEDIUM BASED ON EQUATIONS OF THE COSSERAT MOMENTARY CONTINUUM

Sadovskii V.M.

Institute of Computational Modelling SB RAS 660036 Krasnoyarsk, Russian Federation sadov@icm.krasn.ru

Sadovskaya O.V.

Institute of Computational Modelling SB RAS 660036 Krasnoyarsk, Russian Federation

Varygina M.P.

Institute of Computational Modelling SB RAS 660036 Krasnoyarsk, Russian Federation

In the framework of mathematical model of a block medium with elastic blocks interacting through compliant viscoelastic interlayers and its approximation on the basis of equations of the Cosserat continuum, the problems of periodic perturbation of a layer and of a half-space under the action of distributed and localized surface loads are solved numerically. Parallel algorithms for multiprocessor computer systems of cluster type and for systems with graphics accelerators are applied. The simple formulas are suggested to determine the elasticity coefficients of the moment continuum by given characteristics of the materials of blocks and interlayers, which provide a good correspondence of the wave fields received by means of the exact and approximate models. By the analysis of numerical solutions it is shown that a multiblock medium possesses a resonant frequency of rotational motion of blocks, which does not depend on the size of a massif and on the boundary conditions at its surface, and is, therefore, the phenomenological parameter of a material.

Keywords: block medium, Cosserat continuum, dynamics, viscoelasticity, rotational motion, resonance frequency, parallel program system.

UDC 539.3

Bibliography - 21 references RENSIT, 2013, 5(1):111-118 REFERENCES

1. Sadovskii VM. DAN USSR, 1979, 247(4):829-831.

2. Kunin IA. Teoriya uprugosti sred s mikrostrukturoy [The theory of elasticity of media with microstructure]. Moscow, Nauka Publ.., 1975, 416 p.

3. Brekhovskikh LM Volny v sloisykh sredakh [Waves in Layered Media]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 344 p.

4. Goldin SV Seysmicheskie volny v aniyotropnykh sredakh [Seismic waves in anisotropic media]. Novosibirsk, SB RAS Publ., 2008, 375 p.

5. Kurlenya MV, Oparin VN, Vostrikov VI. DAN USSR, 1993, 333(4):3-13.

6. Aleksandrova NI, Chernikov AG, Sher EN. Physical and technical problems of mining\, 2005, 3:46-55.

7. Aleksandrova NI, Sher EN, Chernikov AG. Physical and technical problems of mining, 2008, 3:3-13.

8. Varygina MP, Pokhabova MA, Sadovskaya OV, Sadovskii VM. Computational methods and programming: new computing technologies, 2011, 12(2):190-197.

9. Kulikovskii AG, Pogorelov NV, Semenov AYu.

Mathematical problems in the numerical solution of hyperbolic systems of equations. М., Физматлит, 2001, 607 с.

10. Sadovskii VM, Sadovskaya OV 2Dyn_Granular. Certificate of state registration of computer software № 2012613989 от 28.04.2012.

11. Cosserat E., Cosserat F. Theorie des Corps Deformables. In: Chwolson's Traite Physique. Paris, Librairie Scientifique A. Hermann et Fils, 1909, 953-1173. 1

Received 08.04.2013

12. Erofeev VI. Wave Processes in Solids with Microstructure. New Jersey-London-Singapore-Hong Kong-Bangalore-Taipei, World Scientific Publishing, 2003, 256 p.

13. Altenbach H, Altenbach J, Kissing W. Mechanics of Composite Structural Elements. Berlin, Springer, 2004, 468 p.

14. Diebels S., Steeb H, Ebinger T. Proc. Appl. Math. Mech., 2003, 3:266-267.

15. Pavlov IS, Potapov AI. DAN, 2008, 421(3):348-352.

16. Branke D, Brummund J, Haasemann G, Ulbricht V Proc. Appl Math. Mech., 2009, 9:425-426.

17. Reis FD, Ganghoffer J-F. In: Mechanics of Generalized Continua (ed. by H. Altenbach, GA. Maugin, V Erofeev), Ser.: Advanced Structured Materials, V 7. Berlin-Heidelberg, Springer, 2011, 193-217.

18. Sadovskaya OV, Sadovskii VM. Acoustical Physics, 2010, 56(6): 942-950.

19. Sadovskaya O, Sadovskii V Mathematical Modelingin Mechanics of Granular Materials. Ser.: Advanced Structured Materials, V 21. Heidelberg-New York-Dordrecht-London, Springer, 2012, 390 p.

20. Sadovskii VM, Sadovskaya OV, Varygina MP. 3Dyn_ Cosserat. Certificate of state registration of computer software № 2012614824 от 30.052012.

21. Sarkisyan SO. Physicalmesomechanics, 2011, 14(1):55-66.

1 НОМЕР | ТОМ 5 | 2013 | РЭНСИТ