Обобщенные функционально-инвариантные решения двумерного волнового уравнения неоднородной акустики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

V. V. Shaydurov, G. I. Shchepanovskaya, M. V. Yakubovich Institute of Computational Modeling, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

ABOUT THE CONDITIONS ON BOUNDARY OF DOMAIN IN THE FINITE ELEMENT METHOD

An algorithm for numerical solution of the two-dimensional Navier-Stokes equations of viscous heat-conductive gas is suggested. Digitalization of equations by space by the finite element method is realized. A special attention for numerical modeling of the conditions on boundary of domain is attended. The test calculations are performed.

© Шайдуров В. В., Щепановская Г. И., Якубович М. В., 2012

УДК 517.956+534.2

Ю. В. Шанько

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ ДВУМЕРНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ АКУСТИКИ

Проводится определение обобщенных функционально-инвариантных (ОФИ) решений для дифференциального уравнения распространения звука в двумерной неподвижной неоднородной среде. Исследованы условия на функции плотности и скорости звука, при которых такие решения существуют. Предложена методика построения точных ОФИ-решений.

Рассмотрим двумерное уравнение распространения звука в неподвижной неоднородной среде [1]:

Pc

œ py ^

(1)

и скорость звука

р Л

где плотность р = р(х, у) > 0 с = с(х, у) > 0 - заданные функции.

Будем искать функции q = q(t, х, у), V3 = V ■'(/, х, у), 3 = 1, ..., N такие, что

p = £ v Y (q)

(2)

j=i

будет решением уравнения (1) при всех (достаточно гладких) функциях Чу. Решения, удовлетворяющие этому условию, будем называть обобщенными функционально-инвариантными (ОФИ) решениями класса N.

Для уравнения (1) выписаны необходимые условия существования ОФИ-решений. Эти условия представляют собой переопределенную систему диффе-

ренциальных уравнений на функции q и V3, которые зависят от трех независимых переменных t, х, и у. С помощью замен переменных полученную систему удается переписать таким образом, что одна из независимых переменных перестает входить в явном виде в уравнения. Тем самым анализ переопределенной системы на совместность значительно облегчается.

Доказано, что уравнение (1) может обладать только ОФИ-решениями классов 1 и 2. Далее в работе рассматриваются только ОФИ-решения класса 2. Выписаны соотношения на функции с и р, при выполнении которых такие решения существуют. Показано, как в этом случае можно строить соответствующие точные решения исходного уравнения (1).

Библиографическая ссылка

1. Бреховских Л. М., Годин О. А. Акустика слоистых сред. М. : Наука, 1998.

Yu. V. Shan'ko

Institute of Computational Modelling, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

GENERALIZED FUNCTIONALLY INVARIANT SOLUTIONS OF 2D INHOMOGENEOUS ACOUSTIC WAVE EQUATION

A definition of generalized functionally invariant (GFI) solutions of differential equation for sound propagation in a two-dimensional stationary inhomogeneous medium is given. The conditions on functions of the density and of the speed of sound under which such solutions exist are studied. The method of construction of exact GFI solutions is presented.

© Шанько Ю. В., 2012