О связи весовых пространств Бергмана со смешанной нормой на верхней полуплоскости и единичном диске с пространствами Харди Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.2

О СВЯЗИ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ БЕРГМАНА СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ НА ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ И ЕДИНИЧНОМ ДИСКЕ С ПРОСТРАНСТВАМИ ХАРДИ

© 2012 г. И.Ю. Смирнова, А.Н. Карапетянц

Смирнова Ирина Юрьевна - кандидат физико-математических наук, старший преподаватель, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов н/Д, 344000, e-mail: [email protected].

Карапетянц Алексей Николаевич - доктор физико-математических наук, доцент, факультет математики, механики и компьютерных наук, проректор по информатизации и электронному обучению, профессор, Южный федеральный университет, ул. Б. Садовая, 105/42, г. Ростов н/Д, 344006, e-mail: [email protected].

Smirnova Irina Yurevna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Senior Lecturer, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, e-mail: [email protected].

Karapetyants Alexey Nikolaevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Vice-Rector for IT and E-Learning, Professor, Southern Federal University, B. Sadovaja St., 105/42, Rostov-on-Don, 344006, e-mail: [email protected].

Описывается связь весовых пространств Бергмана со смешанной нормой и их антианалитических аналогов с соответствующими пространствами Харди. Рассматриваются пространства на единичном диске и на верхней полуплоскости. Эта связь становится прозрачной в результате исследования структуры самих пространств Бергмана, позволяющего в дальнейшем получить представления, необходимые для изучения теплицевых операторов с неограниченными символами. Понятно, что при изучении аналитических р-суммируемых функций основное внимание должно быть уделено поведению функции при приближении к границе области. Введение смешанной нормы позволяет особо выделить поведение функции при приближении к границе.

Ключевые слова: пространства Бергмана, пространства Харди, смешанная норма.

We characterize a connection of weighted mixed norm Bergman spaces and their anti-analytic analogues with corresponding Hardy spaces. This connection is clear when studying structure of the Bergman spaces, which is leading to necessary representations for studying Toeplitz operators with unbounded symbols. It is reasonable that when studying analytic p-integrable functions the main attention should be given to behavior of function close to the boundary of the region. The introducing of mixed norm allows especially characterize the behavior of function when approaching to boundary.

Keywords: Bergman spaces, Hardy spaces, mixed norm.

Обозначим через D единичный диск в C и введем

пространство Ь^р(Б), Л>-1 измеримых функций = _ДгО на Б , для которых конечна норма

P (D) =(||iol f И P^r)rdr

2/р 1

— da(t) л

dt

Здесь с1а(Г) = — ; ^ (г) = (Л +1)(1 - г 2)я, Л>-1.

а

Весовое пространство Бергмана А /,р(Б) со смешанной нормой является замкнутым подпространством пространства Ь2р(Б), состоящим из аналитических в Б функций. Заметим, что в случае p=2 пространство Ь2,2 (Б ) очевидно совпадает с пространством квадратично-суммируемых функций Ь2Л(В) с весом ул (Щ) = (Л +1)(1 - Щ2)л, а соответствующее

пространство Бергмана А/ (Б) является классическим. Ниже также будет дано определение весового пространства Бергмана АЛр (п) со смешанной нормой (связанного с декартовыми координатами на полуплоскости).

Цель настоящего краткого сообщения - описать связь пространств Ар (Б), А/^(п) и их антианали-

тических аналогов А/'р (Б), А/,р(п) с соответствующими пространствами Харди Н2 (Т), Н2 (К) и Н2 (Т), Н2 (К). Эта связь становится прозрачной в

результате исследования структуры самих весовых пространств Бергмана со смешанной нормой, позволяющего в дальнейшем получить необходимые представления для изучения теплицевых операторов с неограниченными, вообще говоря, символами. Такое исследование было проведено в [1, 2], на результатах которых мы будем основываться.

Сама идея характеризации пространств Бергмана в привязке к дальнейшему исследованию операторов Теплица с неограниченными (специальными) символами в пространствах Бергмана была, по-видимому, впервые предложена Н.Л. Василевским (см. например [3] и имеющиеся там ссылки). Этот подход получил широкое развитие в работах Н.Л. Василевского и других авторов (см. например [4] и имеющуюся там библиографию). В [1, 2] и в настоящей заметке продолжено развитие указанного подхода применительно к пространствам со смешанной нормой.

Вспомогательные сведения

Положим IЛ = IЛ ® 12, где /2, 12 - подпространства (двумерного) IЛ, состоящие из последовательностей {сп }ле2 , для которых сп=0 при п е 2 _ и п е 2 +

соответственно.

Обозначим через р+ и р_ ортогональные проекторы пространства IЛ на /2, 12 соответственно. Пусть

Ж±={^±(п)}пег е 1" ' где !±(п) =1, для п е 2 ± и Ж±(п)= 0, для п е 2 „ Тогда р± = х±1.

1/2

Дискретное

преобразование

Фурье вид

F :L2(T,da(t)) ^l2 = 12(Z) имеет

F : f(t) ^ к kz , ^ = -^L J f(t)t"da(i), n e Z .

V2m t

Обратное преобразование Фурье

F -1 : l2 ^ L2(T, da(t)) осуществляется следующим

0бра30м: {cn Inez ^ f (t) = IT 2 cntn .

2m neZ

Преобразование Фурье F : L2(R) ^ L2(R) определяется на функциях из L1(R) равенством

(Ff )(u) = --L J e -iwcf(x)dx, f e L1 (R) и далее обыч-

4Zn R

ным образом продолжается до изоморфизма в L2(R). Обратное преобразование Фурье имеет вид

(F fx) = ^L J eiuxf(u)du , f e L!(R).

V2m R

Пусть Я2(Т), Я2(Т) обозначают пространства Харди на D и во внешности D соответственно; Pj -соответствующий ортогональный проектор Сегё пространства L2(Т) на Я2 (Т), PT = 1/2(I 2 ST), 1 и(т )

(STu)(t) = — J——dт, где сингулярный интегральный

m Т т — t

оператор <St понимается, как обычно, в смысле главного

значения. Напомним, что L2(T) = Я2(Т) © Я2(Т), а

также, что (дискретное) преобразование Фурье ^осу-ществляет изометрический изоморфизм пространства

L2(T) на /2, при котором F (Я2(Т)) = l2, F (Я_2(Т)) = l_2, причем F Pj F -1 = x± I.

Аналогично H2(R), H2(R) обозначают пространства Харди на верхней и нижней полуплоскости соответственно, Рр2 - соответствующий ортогональный проектор Сегё пространства L2 (R ), на Я2 (R) и L2(R) = Я2 (R) © Я2 (R). (1)

Преобразование Фурье F осуществляет изометрический изоморфизм пространства L2(R) в себя, при

котором F(H+2(R)) = L2(R + ) , F(H2(R)) = L2(R — ),

при этом FPj^F"1 = х±I • Здесь х± - характеристическая функция R .

Связь весовых пространств Бергмана со смешанной нормой с пространствами Харди

Обозначим через L2p (П), 1 <p< œ, X > -1, пространство измеримых на верхней полуплоскости П функций f для которых норма

j(|R+1 f ( x + iy)\p (Л +1)(2 у)Л dy f p 1 dx j

конечна. Весовое пространство Бергмана A/^(п) со смешанной нормой является замкнутым подпространством пространства L2p (П), состоящим из аналитических в П функций.

Щ p (П)

Нам также понадобятся антианалитические пространства Бергмана. Пространства Л/'p(D), Л/Р(и) состоят из функций, принадлежащих L2 p (D), L2/(П) соответственно и являющихся антиана-

d

литическими (— f (z) = 0 ).

dz

Обратимся к основной задаче настоящей заметки. Ясно, что A12"(d), Л/'"(и) совпадают с классическими пространствами Харди. Другими словами, Л/ •" (D ) = H+2 (D) , Л /'"(и)=H+2 (П) .

Кроме того, с учетом свойства Lp -нормы справедливы равенства limA/'p(D)=H+2(D), limA^p(и) = H2+ (П),

где предел понимается в следующем смысле: пре-

дельное множество, например, H+ (D) состоит из тех функций f для которых существует конечный предел lim||fll 2,pln,. Соответственно, A~2"(d) = H2(D),

p^"11 "А/ (D)

Л~2'"(и) = H_2(n) и lim A~2p (D) = H_2(D),

p^"

lim А 2 p (П) = H+ (П).

p^"

Рассмотрим теперь 1<р<ж. Остановимся на приложении представления пространства Л2'"(п) в параболическом случае. Будем пользоваться результатами и обозначениями, приведенными в [2].

Теорема 1. Пусть Ле (—1,+»). Унитарный оператор ил = и2,ли1Л осуществляет изометрический изоморфизм пространства 1}л" (П) на L2" (П) = L2 (R, L" (R +, dy), dx), при котором:

1. Пространство Л/2'"(и) отображается на Lp (R — ) ® L0 , "(П)^ Lp (R — ) ® L0 , где L" -одномерное подпространство Lp (R ) с единичным элементом /0, (y) = e—y'".

2. Проектор ВЛ : L\"( П) ^Л2'"(и) унитарно эквивалентен проектору Х-1 ® P, где X - характеристическая функция отрицательной полуоси; Р0 - одномерный проектор пространства Lp (R +) на L".

Доказательство. Приведем схему.

Заметим, что образ Л^2/"(и) = и^Лл'"(и)) состоит из всех функций ф=ф(х,у), удовлетворяющих уравнению UiÄ-dU\v= г~(x — ^-)Ф = 0 .

dz 2 дУ

Поскольку решение данного уравнения в нашем случае также должно принадлежать пространству L2(R)® L"(^,(Л +1)(2у)Лdy), то "(и) состоит

из всех функций вида <р(x,y) = х— (х)вЛр (x|)f(x)exy,

f (x) e L2(R), где (r) = бой функции

Л, p\ 1/p

2ЛГ(Л + 2) f e ¿'(R)

. Для лю-

имеем

U2,л : Х- (х)вл,p (X)f (x)eXy ^ X- (x)f (x)e

-y / p

r

Следовательно, образ А22/(п) = и2 Л(А1Лр(п)) состоит из всех функций вида щ(ху)= (х)/(х)е-у/р , / е Ь2 (Я), что и доказывает теорему.

Как следствие, получаем следующий общий результат.

Теорема 2. Пусть X е (-1, +<»). Унитарный оператор РУЛ = (Р 1 ® I)и2 Л(Р ® I) осуществляет изометрический изоморфизм пространства ЬЛр (П) = Ь (Я, ёх) ® Ьр (Я +, ёу), при котором:

1. Пространства Бергмана А 1,р (п) А/,р(п) и Харди Н2(Я), Н2(Я) связаны соотношениями

^А (п))=Н+Л(Я) ® Ьор, ^А?'р(п))=Н 2 (Я) ® Ьор.

2. Проекторы Бергмана б(л), Вл и Сегё Р± связаны формулами ^Б^^-1 = Р+ ® Р0, ^Б^'^-1 = Рк ® р, где Ьр - одномерное подпространство Ьр (Я + ) с единичным элементом 10,р (У) = е у'р ; Р0 - одномерный проектор пространства Ьр (Я +) на Ьра.

Рассмотрим сумму банаховых пространств А/^(п)^ А/,р(п) и соответствующее алгебраическое (ортогональное при р = 2) дополнение

(А /ф)^ А7Ф))1. (2)

Поскольку (1) - прямая сумма гильбертовых пространств, то очевидно №л^(А 1Лр(п)^

= ЬЛ (Я, ёх) ® (ьр (Я +, ёу)У = = Ь2(Я, ёх) ®(ьр (Я + , ёу)/Ьр (Я + , фо), где символ = означает изоморфизм банаховых пространств, а фактор-пространство Ьр (Я +, ёу)/Ьр (Я +, ёу) состоит из

классов эквивалентностей функций из Ьр (Я ,ёУ) по

отношению к элементу /0 (y) = e

- 0-y/P

Аналогичные рассуждения можно проводить в отношении пространств Бергмана на единичном диске. Не останавливаясь подробно на формулировках, выпишем только соответствующие равенства для пространств (используем также результаты и обозначения работы [1]): W,(a2P(D)) = H+2(T) ® L0, P(D )) = H2(T) ® Lp и для операторов

WBD^Wt1 = PT ® P0, wMW?=PT ® P0.

Здесь в определении W = (F ® I)^2д (F ® I)

используется, очевидно, оператор U2,x, определенный в [1] перед теоремой 3.3. То же самое относится и к

L0, р0.

Заметим, наконец, что в важном частном случае p = 2 некоторые приведенные выше утверждения уточняются очевидным образом. Например, как уже было отмечено, (2) будет являться ортогональным дополнением, и т.д. Здесь мы не останавливаемся на этом случае. Соответствующая теория в контексте безвесовых пространств Бергмана A 2 (D)

A 2 (г) изложена в работе [3], идеям которой мы следовали.

Литература

1. Смирнова И.Ю. Об одном классе весовых пространств Бергмана со смешанной нормой на единичном диске // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. № 3. С. 22 - 27.

2. Смирнова И.Ю. Некоторые классы весовых пространств Бергмана со смешанной нормой на верхней полуплоскости // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. № 4. С. 17 - 22.

3. Vasilevski N.L. Toepliz operators on the Bergman spaces: inside the domail effects // Contemporary Mathematics. 2001. Vol. 289. C. 79 - 146.

4. Василевский Н.Л., Грудский С.М., Карапетянц А.Н. Динамика свойств теплицевых операторов на весовых пространствах Бергмана // Сиб. электр. мат. изв. 2006. Т. 3. С. 362 - 383.

Поступила в редакцию

28 мая 2011 г.