Некоторые классы весовых пространств Бергмана со смешанной нормой на верхней полуплоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ БЕРГМАНА СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ НА ВЕРХНЕЙ ПОЛУПЛОСКОСТИ

© 2009 г. И.Ю. Смирнова

Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г.Ростов-на-Дону, 344000, reception@dstu.edu.ru

Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, reception@dstu. edu.ru

Проводится исследование весовых пространств Бергмана со смешанной нормой специального типа. Рассматриваются два класса весовыа пространств Бергмана на верхней полуплоскости, связанные с декартовыми и полярными координатами.

Ключевые слова: пространства Бергмана, смешанная норма, интегральные преобразования.

We continue the study of the weighted Bergman spaces with special type mixed norm. Here we consider two classes ofweighted Bergman spaces on the upper half-plane that are connected with Decart and polar coordinates.

Keywords: Bergman spaces, mixed norm, integral transforms. Введение

Начиная с работ С. Бергмана и М.М. Джрбашяна [1, 2], пространства аналитических р -суммируемых по отношению к с -конечной мере функций на открытом связном множестве в С или С" интенсивно изучались в работах многих авторов.

В этой работе проводится исследование специальных классов весовых пространств Бергмана со смешанной нормой. В единичном диске имеются 3 типа гиперболической геометрии: эллиптический, параболический и гиперболический. Класс пространств Бергмана относится к 1-му типу. Другими словами, смешанная норма соответствует эллиптической системе координат в диске: берется норма по радиальной переменной и далее по угловой переменной. Для рассмотрения двух других случаев в целях упрощения формулировок естественно перейти к верхней полуплоскости. Тогда параболический и гиперболический типы будут соответствовать декартовым и полярным координатам. Отметим, что в случае обычной нормы результаты для весовых пространств Бергмана получены в [3, 4].

Далее, в пунктах 2 и 3 работы используются одинаковые обозначения для, вообще говоря, различных пространств. Но поскольку эти пункты автономны, отмеченное обстоятельство не должно повлиять на корректное восприятие результатов.

1. Обозначения

Преобразование Фурье Р: I2 (я) ^ I2 (я) определяется на функциях из I1 (я) равенством

Преобразование Меллина M: L2 (r+ определяется следующим образом:

dr)^ L2 (R )

42ж

J

y/( r )dr

(1)

обратное преобразование M 1 : l2 (rl2 (r +, r U1dr) задается равенством

(m ~V)r )= 1

(2)

2. Представление весового пространства А2 р (п). Параболический случай

Обозначим через I2'р (п), 1 < р , 2>-1, пространство измеримых на верхней полуплоскости п функций /, для которых конечна норма

" (п)

IL2/ in]

J| f (x + iy ) p (à- 1)(2 y fdy

p 1

— dx n

Весовое пространство Бергмана A À'p (п) со сме-

шанной нормой является замкнутым подпространст-^ (П , состоящим из аналитиче-

вом пространства L2£p (п), ских в П функций.

Введем унитарный на L2^p (п) оператор

(Ff )(и) = Je-uxf (x)dx, f e L1 (R) и далее обыч- L2Àp (п) = L2 ( R, Lp (r +, (à + l)(2y)À dy), — dx1 ^

V2n r V n )

1Г1 е

V 2Ж я

ным образом продолжается до изоморфизма в I2 (Я). Обратное преобразование Фурье имеет вид

(р= |е1их/(и)аи, / е !1(Я) . у12л я

Uà=-t Fx

д/ n

2, PI

^ I2 (я, Ьр (я+, (2 +1)(2у)2 йуУ) ах), где Fx - преобразование Фурье, действующее по переменной x. Образ А2,/ (п) = и12 (а2р (п)) состоит из замыкания аналитических на П функций /р(х, у), для

1

r

R

+

R

2

2

R

vR+

которых справедливо U я — U яР = — I * н--p = 0.

•dz • 2 V dy /

U2,Я : L2 (r,Lp (R +, dy), dx) ^ L2 (r,Lp (r +, (я + 1 )(2y) я dy} dx)

'2, я :L L VR+ действует по правилу:

Легко проверить, что такие функции имеют вид А уНх\у

р(2) = р(х,у) = ¥{аУху . у) = 0я,р (х|>р " ' Р(х,¥я иу))-

Заметим, что функция р(х,у) должна принадле- Для любой функции /(х)е Ь2(я) имеем

жать пространству Ь2 (я, Ьр (я +, (я + 1)(2у)я dy), dx),

,2р^ и2я : х+ (хря р(х)/(х)е~ху ^х+ (х)/(х)е р .

поэтому Лу'р(П) определяется как замыкание в 2 я ' я,>■> w л+ч л» ч/

Ь2 (я, ЬР (я+', (я + 1)(2у)я «у) dx) функций вида Следовательно, образ Л22,| (п) = игя ^ (п)) опре-р(х,у)= хЛхрлЛ*)/(х)е, /(х)е Ь2(я), где деляется как замыганш в Ь2(я,V(я +,^Лс) фушщий

i+\x 9 я, p

/ \

Z+(x) - характеристическая функция полуоси R+, „„„„ ,„(v Л-^ (Лг(Л, Р НЛ

1 1

W{x,y)=*+(x)f (x)e p , f (x)eL2(R) и

(x)= 12я (Я + l)e-pxyyÄdy

p x

71

V

2 я Г(я + 2)

вида w(x,y)=Z+(x)f (x)e r, f (x)eL (R) и совпадает с

^ + • Lo (R + •dy)•dx), где Lo (R + •

одномерное подпространство Lp (R +, dy), порожденное

y

' 1 p I DX+lxя+l 1 p пространством L2 (r +, Lp (R +, dy), dx), где Lp (R +, dy)

для х > О. Причем легко проверить, что . .

И1 _ и л элементом £ 0р (у) = е р . Обозначим через Р0 одно-к2'Г(п) =1 /1ь2(я+) .

' мерный проектор пространства Ьр (я +, dy) на Введем унитарный оператор

и2,я :Ь(яЬ(я+ • (я + ^уЫ^Ь(яЬ(я+ • ^) Ьр(я +,dy): (Ру)(у) = (у)|^)е^. следующим образом: я+

1 -^-МРяШ

На основании вышесказанного имеет место сле-

i V \ 1 „тняИ'->7 t t, , \\ (U2•Я^)(x• y)= ( e p (p{x•ßя(x^y)), дующая

^p(x\/ Теорема 1. Пусть яе(-1,+ж). Унитарный

где для любого x >0 функция ^^ y) является об- оператор Ux = и2Ди1Д осуществляет изометри-

т2,

ратной к функции ^я(х,Г) = 1п[ ,Г(я +1) . '1, т.е. ческий изоморфизм пространства 1%р (п) на

, , чч рх Ь2'р (п) = Ь2 (я, Ьр (я +, dy), dr), при котором /вя(х,^я(х,/)) = /, х >0. Здесь Г(я,Ь) - неполная

гамма-функция [5]. Покажем, что действительно 1 Пространство Бергмана Аяр(п) отображается

у я (х, t) имеет такой вид. на Ь2 (я +, (Ьр, dy), dx).

Пусть х > 0, положим (и2,ярХх, у)= 2. Проектор Бергмана В^ унитарно эквивалентен

= ая(х,у)р(х,/Зя(х,у)), где функция ая(х,у) будет проектору 1®Р0.

выбрана позднее из условия унитарности оператора. Осуществим изометрическое вложение

Другими словами потребуем, чтобы ^ : ь2 (^ ) ^ Ь2'р (П) по правилу

«я(х,¥я(х,t))■f■уA(x't)= (я + l)(2t)я . (Я0/Хх,у) = Х+(х)/(х)£0р(у) , У > 0 .

дt

У Здесь функция /(х) продолжается нулем при

Но, с другой стороны, и2 (х)е_ху = е р . х < 0. Образ ^0 очевидно совпадает с пространством

г2

_У Ь (я +, dx)® Ьр (я+, dy).

Следовательно, ая{х,у)0я,р(х)е-х^я(х,у) = ер и обратный оператор Л^1:Ь2р(п)^Ь2(я +) дейст-

ая(х,уя(х,t))=0Я1p(х^^ . Отсюда вует по формуле (л«1р)(х)= Х+^РмУС-

1 рх^уя(хл )д / л Л.ЛЛДя Лемма 1. Имеют место равенства:

/ \е ъ^я(х'г7 = (я +1)(2t) - , ?/ \ ?/ \

врр (х) дt = I: Ь2(я +) ^ Ь2 (я +),

Преобразовывая последнее равенство и далее ин- л0л-1 = В : Ь2,р (п)^ Ь2 (я+, Ьр (я+, dy), dx). тегрируя его, будем иметь

Доказательство. Действительно, для f (x)e L2 (r )

^ ^ ^WfKlU^IUII^fi.JlU^'II^KiW. ^tHUlDtlltJlDnU, J \Л,) Л-i \J. ^

-^я(x•r^__^я(x•r)dr = 0ji,p(x)^ + 1)|(2г)яе-px^dr 5 при x >0 выполняется

1 e« Mdr^p(x)(Я+ 1)|(2г)яе-px*dz .

t dT p ' ^

откуда полуЧаем (Ri-1 Rof )(x, y) = R-1X+(x)f(x)e~ p =

Уя^л )= xЯ+1 le-pix (pTVd (pr)= г(я +1 pxt) -1 ^ p-1)

г(я +1)1 V ; V ; г(я +1) . \X+(x)f(x)ep 10- 1)di = z+(x)f (x) 1 epe p di =

Обратный оператор

VRx

R

R

+

+

= (х)/(х) | е-ЧЛ = (х)/(х) = /(х).

Е-+

С другой стороны, для / (х, у )е I2'р (п) имеют место равенства:

ч( р-1)

Я^/Х у) = «оЖ+(х)| / (х, г/)е р йЛ = Я+

ч( р-1)

= *+(х> о,р (у)|/(х,^)е р ^^ = (Вр/)х, у) .

Я+

Сходимость записанных выше интегралов очевидна при р = 1, а при р > 1 обосновывается при помощи неравенства Гельдера:

р(4)4

1+1

p e'4

1+1

d? = ||p(4)4 p e"*d4<

,1+1 Л

2 С p

I ^ y44

2 (

ш2 d?

< да.

Аналитичность функции в правой части (3) вытекает из того, что формально продифференцированный интеграл в (3) остается абсолютно сходящимся равномерно по г в некоторой окрестности каждой точки г.

Далее имеют место равенства:

Я^х) = и^Коф(х) = П1}и 2->о^(х) =

r( p-1)

| f {x,rj)e p dr

( ( r( p-1'k \ q p .--

Яf (x,r\ p dr

dr

< CJlf(x,'llp(R+,dr)' где 1+1 = 1; Cp-q - некотоРая

p q

постоянная.

Оператор R1 = R0 U1 отображает пространство

L1p (п) на L2 (R + ) , и сужение R1

Alp(П) :

Alp(П)^ L2(R + ) физмом.

Обратный оператор R- = U~-1R0 : L2 (R +) ^ a- p (п) с L-p (П)

является изометрическим изомор-

является изометрическим изо-

морфизмом пространства I2 (я +) на Л*р (п).

Замечание 1. Имеют место равенства

ЯЯ 1 = I:I2(Я + I2(Я +),

Я*Я* = В* : I2*р(П)^ Л2р(П).

Приведем интегральные представления для опера-

т°р°в Я* , Я* 1.

Теорема 2. Изометрический изоморфизм

Я * 1 = и * Ч: I2 (Я +) ^ Л*р (п) определяется равен-

Ч = U 1 R0 ством

(R1 pz ) =

1+1 1 p

1+1

л/^Л/21Г(1 + 2) R

Jp44 p e'^di,

pe L2(R +). Обратный изоморфизм R1 = R-1U1 : A2'p (П) ^ L2 (R + ) имеет вид

(3)

|y

VM x

q xi-y)

= U1, 161, p(x)e p X+(xp(x)e

= U-XU-1%+(xP(x)e p =

V1( 4 y)

1, 161, p

= U-101 p (x)e-\x\y %+(x)Px) =

=4*^ ¡61p (¿К И yZ+(Py4d4-

л/2л p +

42

R

p

R

( „1+1

p 21 ^1+1

r(1 + 2)

e4 рИК? d£ =

v

1+1 p

1+1

л/2Л/21Г(1 + 2)

p ppgy^dg , z = x + 'y .

R

Пусть f(x + 'y)eL^p(n),

тогда выполняются сле-

дующие равенства:

R1f (x + 'y) = R-'UJ (x + 'y) = R-1 U 2,1Uuf (x + ^y) =

= R0 U2,1

1

= R0-1^TTi e p

61,p (xl) ^+(x)

41 U1

__1_

4w ч!2л r

+|x| ß»( x|, y)

| f (¿ + 'y )e-^dt =

iM R1

+

| f (¿+'^1( x|, y))e-'xid| = W 2 R

-y+\x\ß1\x\,y) 1 ? p _

V2

I f (?+ 'ß1(x|, y%-lxtdt

Л p-1 _ y-

R

dy.

\2 п

= %+(х)*10Г1 (х)| \ I(2^)*йф^,

л/2 ,р яя+ *

где / е Л*р (П).

Доказательство. Покажем сначала, что для любой функции ^(х)е I2 (Я +) интеграл (3) сходится абсолютно и определяет аналитическую на П функцию. Действительно, с учетом неравенства Гельдера имеем

В последнем выражении произведем замену переменных y = V1 ( x|, r).

^+(x) ..

xj

R+

Будем иметь Rx f (x + 'y) =

(-^K xr-V1(x,r)^ . . . ' e p e p j f(¿+ ir)e d?

•¿2*61,p (x)

dr

V1(x,r)dr =

X+(x) 6lp (x) 61,p (x) 42л R_

j exre-pxr(1 + 1)(2r)1 jf (4+ ¡rY^dtdr =

R

R

+

+

2

<

R

VR+

+

e

R

V R+

R

+

+

1

X

X

e

d

R

R

qp-1 (x) ,

= Z+(x)-^ 1 1 f(£ + — i)e-^ex1-px11 (я + \)2ifd%di

f2

R+R

qp-1(x )

= 11 f(f+-xl(p-2W,H

■V 2 R+ R

= Ж+ (x^-L QPp-1 (x)1 f («>-—x Vx( ^^ ,

л/2 n

где ®

= £ + —1, dp.k(a)= — (я + —(ll)я d¿dl.

n

3. Представление весового пространства A 2 p (n). Гиперболический случай

Приведем описание весового пространства Бергмана Л2 р (п), связанное с полярными координатами

4-р (п) = Ь2 ^я +, Ьр (¡0, п\2я (я + 1>т я 0 dв)> - г я+1 dr|

и нормой элемента

(

IL/ (n):

1 fll f Иp 2я (я+ 1)sin я QdQ

i+V 01

2

p 1 я+Ъ

—r dr n

X-.

d

dr d9

Введем унитарный на L2p (n) оператор U1 я = -jLMr:

^ Vn

p (n) ^ L2 (r, Lp ([0, п],2я (я + 1)smя Q dQ) d¿),

Мг - преобразование Меллина (1), действующее по переменной г . Легко видеть, что

я ■ д

— +11/ II +/—.

дг дв) 1,я ^ ^ 2 )/ дв

Таким образом, образ Бергмана

TT I d . d U1, я| r^r +'

A2

¿+17+7'+' dQ

пространству L2 (r , Lp ([0 , n\ 2я (я + 1)sin ЯQdQ))

и имеет

вид

рЫ=f(¿К,21Q, f (¿)e l2(R),

где

^p (¿)=|2я(я + 1)J e-pQ sin ЯQdQ

г| я+2 , 2 2

, 2

(4)

р лГ(я + 2) ' Используя [5, формула 3.892], получим

\\р(^в)\Ь2(я,ьр(¡0,42яя+1>Ь^в)dí) =11 /(^1Ь2(я). Заметим, что согласно асимптотической формуле для Г - функции [5, формула 8.328]

|г(и + 'v] = O 42n\

1 .

ш--

■ V 2 e

V

я+1

S^p (¿]=$ 2 + 0(1) , ,

я+1

Кя, p (£] = $ 2 0(1), ¿^-ю .

(5)

(6)

Переписывая уравнение —р = 0 в полярных ко-

дх

ординатах, получим, что пространство А2р (п) состоит из всех функций, удовлетворяющих условию

Гг А + ,в) = 0 .

Теорема 3. Пусть яе(-1,+да). Унитарный оператор и1 я = —^= Мг является изометрическим , V ж

изоморфизмом пространства (п) , на

Ь2 (я, Ьр (¡0, тфя (я + фт я вdв\d£) пространство Бергмана Л^р (п) отображается на

A2J (n) =

при котором

, ¿+11+-1— 9

p(Q f^K(¿¿e f f 2JJ :f(£)eL2(R)

Пусть оператор

rm : L2 (R) ^ L2 (r,Lp ([0, п\2я (я + 1)sinя QdQ)d¿) осуществляет изометрическое вложение по правилу:

(Ro•яf ¿¿,Q)=f (¿Kp (¿V1"21 Q

где

я ¿¿,Q) = J (ьn,p(ь]e . (7)

Образ R0 я совпадает с Aj2 f (n). Обратный оператор R^ : L2 (R ,Lp ([0 , n\2я (я + 1)sinя QdQ)d¿) ^ L2 (R) задается формулой

^->)Ъ) = (8)

= Гяя- (¿)2я(я+ ^(¿Q

¿-| 1+- — 9

2 ^ e-(p-2]bQ sin я

12я(п) = ulя(лр2'р (п)) может быть описан как (замкнутое) подпространство пространства Ь2 (я, Ьр (¡0, ж\2я (я + фт хШв\ d£), состоящее из функций р(^,0), удовлетворяющих уравнению

р(ь,9) = 0 .

Лемма 2. Имеют место равенства Л-яЛ), я = I: Ь2 (я) ^ Ь2 (я), Л0, яЛ- я = Вря я , где Вр, я= и^ рBрU1~р - проектор пространства

L2 IR

(r, Lp ([0, n\2я (я + 1)sin я QdQ) db) на A12jp (n). Доказательство. Действительно, для f e L2 (R)

Общее решение этого уравнения принадлежит

выполняется

-I ¿+11+- I— Q

Ro^^f (¿) = Ro^f (¿Кp (¿)e f V 2) = Sjp-1 (¿)2я(я + 1)x

:J f (¿)Sяp (¿)e f V 2 JI e

¿+, 1+я I' |q - ¿-1+4— 9

2" - r 1 2 e-(p-2]iQ sinя QdQ =

V

)

0

л

= f (ф/ p (4)j e~p46 21 (1 + 1)sin1 6 d6 = 0

= f () () (4) = f (4).

С другой стороны, для любой v(4, 6) е L2 (r +, Lp ([0, л],21 (1 + 1)sin1 Шв) d?) выполняются равенства

Ro,^Ro,1 v(4, 6) = Ro,1)1~} (4)21 (1 + 1)x

x Jv(4,6)e_^4-^1+ 2 ^ 6e-(p-2)46 sin1 6d6

= 1 (4)21(1 + 1)e v4+V1+ 2'6x

1

4- + 2 J' ^p-2)46 sin 16d6 = (ßp,1v)(4,6).

Iv(4,6)e 0

<j|v(4,6)e-( p-1)46 21(1 + 1) sin1 ß^dß <

<

7Г

\

| V(4,6)p 21(1 + 1)sin1 6d6 v 0

хЦ р-1)4в 2*(* + 1)81и 4 =

= Cp,q ьр (р,*],2* (*+1)8т* в йв),

где — + — = 1; С - постоянная. Последнее и за-

р q '

вершает доказательство леммы.

Оператор Я* = Я-\их* отображает пространство

l^p (п) на L2 (R), и его сужение R;

л1-p(П) :

tef )z )=^1

'"4-11+-

3X. (4)f(4)d4. (9)

Обратный изоморфизм: R1 : A2 p (n)^ L2 (R) определяется следующим равенством:

(R1P№ = ±<(4)I (z)T4-H ]p(z)e-(p-2)4argzd^1(z) =

V2 П

Г „ r ( \

1

л1(4)x I

Ir

R

4+1 i4-l1+7 T

p(r,6) — dr л

х\¥(§,в)г о

Сходимость записанного выше интеграла при р = 1 очевидна. Используя неравенство Гельдера, покажем сходимость при р > 1.

4Н'+2 6e-р-2)46 21(1 + 1)sin 16d6

х 2*(* + фт*вйв , где р(г)е Л*'р(п), г = гг'в .

Доказательство. Пусть / е I2 (Я), тогда полагая

г = гг1в, г > 0, в е (о, *), оценим интеграл в правой части (9):

1 4-Т1+1 -64-'6( 1+1

^ Jr 1 2Je V 24,p[4)Ä4)d4

<

--4

4!

Ie-) (4) f (4)d4 < C-

1+-

s

4\1+l e-2(л-6)|4|

d4+ I|41+1 e "2614 d4

L2 (R).

Здесь мы воспользовались неравенством Гельдера и соотношениями (5), (6). Таким образом, при каждом г е П интеграл в правой части соотношения (9) абсолютно сходится и определяет аналитическую в п функцию. Последнее, как и выше в параболическом случае, вытекает из того, что формально продифференцированный интеграл (9) остается абсолютно сходящимся равномерно по г в некоторой окрестности каждой точки г е П .

В силу формул (7), (2) имеют место следующие соотношения:

-I 4+11+- ' р

R1f (4) = U-1 Ruf (4) = Uj-1 f (4)3 1p (4)e 1 1 2'

LI (4)31 p (4)e"^ J'^4 =

Л 2р (п) —^ I2 (Я) является изометрическим изоморфизмом.

Обратный оператор Я* 1 = и1-*Яо,* : I2 (Я) — — А*р (п)с 12р (п) является изометрическим изоморфизмом I2 (Я) на Ар (п).

Замечание 2. Имеют место равенства Я*Я- 1 = I: I2 (Я) — I2 (Я) ; Я*Я*= В* : I*р (п) — А*р (п).

Теорема 4. Изометрический изоморфизм Я* 1 = = и-*Я0* : I2(Я) — Л*'р(п) определяется равенством

1

Л

R

= ^ [ г ^л,р 4)/

&л,р 4) имеет вид (4).

Докажем теперь второе утверждение теоремы. Пусть ср(г, в) е Л2,р (п), тогда на основании формул (1) и (8) справедливы следующие соотношения:

(Я*р)(4)=(Яо>1Др(г, в))(4) = Я1* м Гррг, в)Ъ)=

V V* )

= 311 (4)2*(* + 1)х

где z = re' , а функция

1

2

z

e

x

0

л

<

x

<

2

x

R

R

1

x

12:

Л

ж R

1 2 }>e-{^ sin xede =

= 72

ж

*J

R

<r,6)—dr

2X(l + l)sinX 6d6 =

где г = ге/0 , (г) = — г2я (я + фт я вdrdв . ж

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект 09-01-00626-а. Автор выражает благодарность д.ф.-м.н. А.Н. Карапе-тянцу за постановку задачи и научное руководство.

Литература

1. Bergman S. Über die kernfunction eines bereiches und verhalten am rande, I // J. Reine Andew. Math. 1993. Vol. 169. S. 1-42.

2. Джрбашян М.М. О проблеме представимости аналитических функций // Сообщ. Института мат. и мех. АН Арм. ССР. 1948. Т. 2. С. 3-40.

3. Grudsky S.M., Karapetyants A.N., Vasilevski N.L. Dynamics of properties of Toeplitz operators on the upper half plane: hyperbolic case // Bol. Soc. Mat. Mexicana. 2004. Vol. 10, № 1. Р. 119-138.

4. Grudsky S.M., Karapetyants A.N., Vasilevski N.L. Dynamics of properties of Toeplitz operators on the upper half plane: parabolic case // J. Operator Theory. 2004. Vol. 52, № 1. Р. 185-214.

5. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. М., 1971. С. 1108.

Поступила в редакцию

3 февраля 2009 г.

ж

1

X

r

r

0