Преобразование Березина и радиальные операторы на весовых пространствах Бергмана на единичном диске Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Апрель-июнь, 2005, Том 7, Выпуск 2

УДК 517.98

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЕРЕЗИНА И РАДИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ НА ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ БЕРГМАНА НА ЕДИНИЧНОМ ДИСКЕ1

Л. Н. Карапетянц, А. В. Голиков

Посвящается академику С. М. Никольскому

Изучается связь между компактностью радиального оператора на весовом пространстве Бергмана на единичном диске комплексной плоскости и убыванием преобразования Березина этого оператора на границе единичного диска. Приводятся достаточные условия при которых убывание преобразования Березина влечет компактность соответствующего оператора. Особое внимание уделяется операторам Теплица с радиальными символами.

1. Введение

Пусть АД (В) обозначает весовое пространство Бергмана на единичном диске В = {г £ С : |г| < 1} в С, состоящее из аналитических на В функций, принадлежащих весовому пространству ЬД(В), А > -1. Здесь ЬД(В) обозначает пространство измеримых на В функций /, для которых конечна норма

II/= (!о I/(г)|2^л(г)

1/2

где

(^л(г) = (А + 1)(1 - |г|2)л- (Шу, А > -1.

п

22

I/(г)1 II/Н^т), |г| <г,

Пространство АД (В) является замкнутым подпространством ЬД(В). Следующее неравенство

1

Ст2П"' "ЛЛ(

означает, что функционал / ^ /(г) ограничен при любом г £ В. По теореме Рисса о представлении линейного функционала на гильбертовом пространстве для любого г £ В существует единственная функция КД (ад) £ АД (В) такая, что

/ (г) = </,кД)д, / £ Ад (В),

© 2005 Карапетянц Л. Н., Голиков А. В. Работа выполнена I проект №04-01-00862-Л.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований,

при этом функция К^Д('ю) имеет вид (см. ниже) КД(ю) = > а скалярное произ-

ведение в Ад (В) определяется следующим образом:

(¡,9)х = [ / (гШЛ»х(г), /,9 £ АД(В).

■УО

Обозначим через ВО (весовой) проектор Бергмана, проектирующий ЬД(В) на АД (В):

ВО/(г) = I / (ю)Кх(х,ю)й^х(ю) = I' 1 (Ю2+Л й^ю), Ув Уо (1 - гю)2+Д

где функция КД(г,ю) = КЛ(ю), г,ю £ В, называется (весовым) ядром Бергмана или порождающим ядром в АД (В).

Для измеримой на В функции а(г) оператор Теплица с символом а(г) не обязательно ограниченный, но определенный на плотном в АД (В) множестве, имеет вид:

ТД/(г) = (вОа/)(г) = / ^¡^Д ^Д^

Для линейного оператора А

на АД (В), не обязательно ограниченного, но определенного на плотном в АД (В) множестве, преобразование Березина (или символ Березина оператора А) определяется следующим образом:

А(г) = (АкД,кД)Д, г £ В,

где функция к'Д(ю) = КД(ю)/\\КД(ОНдздд), г,ю £ В, называется когерентным состоянием. В случае теплицева оператора ТД функцию ТД(г) также называют преобразованием Березина символа а(г) и обозначают ТД(г) = Т(г).

Преобразование Березина является одним из наиболее распространенных методов в теории операторов и пространств аналитических функций. В частности, имеется ряд работ посвященных исследованию связи между убыванием преобразования Березина оператора Теплица на границе единичного диска (а также конечных сумм произведений теплицевых операторов) и компактностью оператора. В этой связи упомянем работы [2-7] (см. также монографии [8, 9] и имеющиеся там ссылки).

Оператор Теплица ТД на АД (В) является локально компактным оператором по крайней мере в случае символа а(г) непрерывного на В. Поэтому, компактность такого оператора эквивалентна равенству символа нулю на границе диска. С другой стороны, для таких операторов имеет место соотношение (см. [8]) а(г) = ТД(г), г £ дВ (более того, для гармонических символов а(г) справедливо а(г) = ТД(г), г £ В). Таким образом, связь между компактностью оператора и убыванием преобразования Березина при приближении к границе диска становится очевидной для хороших символов.

В общем случае (необязательно теплицевых операторов) имеет место следующий факт. Если оператор А компактен, то функция А(г) очевидно ограничена и, кроме того, А(г) ^ 0 при г ^ дВ в силу слабой сходимости кД к нулю при г ^ дВ. С другой стороны, существуют примеры некомпактных операторов, преобразование Березина которых стремится к нулю на границе (см. [2]). Относительно теплицевых операторов, для определенных классов символов доказано, что оператор компактен тогда и только тогда, когда преобразование Березина стремится к нулю на границе. Так, например, для положительных символов это установлено в [5, 10], для ограниченных символов в [2], а для символов из класса В МО1 (В) — в [7]. Отметим, что в этих работах, за исключением

работы [5], рассматривается безвесовое пространство Бергмана А2 (В) = А2(В). В общем случае произвольных, вообще говоря, неограниченных символов доказать аналогичное утверждение или показать, что оно не имеет места не представляется возможным. В первую очередь это связано с тем, что техника, применяемая в упомянутых работах, по-существу использует характерные свойства символов из рассматриваемого класса. Например, даже в случае радиальных неограниченных символов этот вопрос остается открытым.

В этой связи интересным является подход, предложенный в работе [6]. Именно, пусть $ обозначает класс ограниченных операторов на А2(В), для которых стремление к нулю преобразования Березина А(г) при |г| ^ 1 влечет компактность оператора. Как было отмечено выше, компактность оператора влечет стремление преобразования Березина к нулю на границе, т. е. класс $ состоит из тех операторов, для которых оба утверждения эквивалентны. Главным результатом упомянутой работы является описание семейства так называемых радиальных операторов, принадлежащих классу $ (в безвесовом случае). Это не обязательно теплицевы операторы, и для теплицевых операторов радиальность означает, что символ такого оператора радиален. Заметим в этой связи, что при этом не требуется ограниченности символа.

В настоящей работе мы исследуем аналогичную задачу для операторов на весовом пространстве Бергмана. Приводятся достаточные условия принадлежности оператора классу $д. Здесь $д обозначает класс ограниченных операторов А на АД (В), для которых стремление к нулю преобразования Березина А(г) при |г| ^ 1 влечет компактность оператора. Особое внимание уделяется теплицевым операторам с радиальными символами и с символами, постоянными на окружностях Бергмана (окружностях в гиперболической метрике Бергмана). Эти окружности можно рассматривать как образы обычных евклидовых окружностей при преобразовании Мёбиуса диска в себя, переводящем г = 0 в точку го.

2. Вспомогательные сведения

Пусть {е"(г)} — ортонормированный базис в Ад (В). Весовое ядро Бергмана имеет вид Кд(г, т) = еП(г)еП(т), г, т £ В, причем Кл(г, ад) не зависит от выбора орто-

нормированного базиса. Выбрав стандартный базис е"(г) = ¿"г" в Ад (В), где

¿л 1 = /Г(п + л + 2) п = 012

" ^(Л +1)В (п + 1 , л + 1) V Г(л + 2)п! ' >>>•••>

можно получить явное выражение для ядра Бергмана: Кд(г,т) = • Ис-

пользуя порождающее свойство ядра Бергмана в АД(В), легко вычислить его норму: 1|Кд(г, •)Уд2(П) = (1—|^|21)Л/2+1, г £ В. Таким образом, когерентное состояние &д(т) имеет вид

= гаЪ = (Г-^)2+л = (1 - 1г12)1+л/^ е"(г)еП(т),

п=0

2

и для г £ В, / £ АД (В) справедливо соотношение

1

</,ЛД)д = ||К , ^ </(0,Кд(г, 0>л = (1 — |г|2)1+л/2/(г).

Следовательно, преобразование Березина оператора А может быть представлено в виде

А(г) = (АкД, кД)Д = (А [(1 - \г\2)1+Д/2^ еП(г)ехп(т)\ , (1 - |г|2 )1+Д/^ еД(г)ехп(т)

\ V п=0 ) к=О

те

= (1 -\г\2)2+Д^2 ^п4(АеХп,еД) Дгпгк.

п,к=О

Следуя [6], обозначим

1 Г2п

таЛ(/)(г) = — у0 / (еиг)(И.

Функция гаё(/) называется радиализацией функции /. Будем говорить, что функция / радиальная, если она совпадает со своей радиализацией.

Обобщая эту идею, в работе [6] для оператора А определяется оператор Яаё(А) :

1 Г2п

Яаё(А) = — и^АЩйЬ,

.)О

где Щ унитарный оператор (Щ/)(г) = / (е-г1 г), / £ АД (В). Другими словами, записанное выше равенство означает, что для всех /,9 £ АД (В) выполняется:

1 [2п

(ВаЛ(а)/, 9) = ^ / ЮАЩ/, 9

Если А = БаЛ(А), то оператор А называется радиальным.

Рассмотрим преобразование Яаё(А)~ Березина оператора БаЛ(А). Доказательства сформулированных ниже утверждений аналогичны приведенным в [6] и мы их опускаем.

Утверждение 2.1. Яаё(А)~(г) = Б,аё(А)(г) для всех г £ В, и оператор А радиальный тогда и только тогда, когда его преобразование Березина является радиальной функцией.

Для / £ ^Д(В) положим

¡(г) = [ /(ю^кД^й^ю).

Функцию /Т назовем преобразованием Березина функции /.

Утверждение 2.2. Функция / является радиальной тогда и только тогда, когда функция / радиальна, другими словами та&(/)~ = та(1(/).

Утверждение 2.3. Пусть А ограниченный радиальный оператор в АД (В). Тогда А диагональный оператор относительно стандартного базиса {еЩ в АД (В). Всюду ниже мы будем обозначать

^Д(п) = (Аеп,еп) Д.

Мы также будем использовать отображение Мебиуса аХ0 единичного диска в себя, переводящее точку г = 0 в точку г = гО:

гО - г

а.х0 (г) = 0 _ , г £ В. 1 — гог

л

Легко видеть, что: (i) а— = aZ0; (ii) вещественный Якобиан отображения Мебиуса aZ0 имеет вид ^; (iii) 1 - К (z)|2 = |1- g- 1 ' 1 ''■

Нам также понадобится следующая лемма.

Лемма 2.4 [11]. Пусть для фиксированного А ^ 0 последовательность |ага| такова, что:

те

lim (1 - t)Ä V anin = 0, t^i ' n=0

и существует C > 0 такое, что ага ^ — C(n + 1)Ä-1. Тогда

lim ^k=0 ak =0. га^+те (n + 1)Ä

3. Достаточные условия принадлежности классу $л

Здесь приводятся достаточные условия принадлежности оператора классу Так как мы используем технику преобразования Березина и операторы, рассматриваемые здесь, являются диагональными относительно ортонормированного базиса {е^}, то в первую очередь заметим, что для таких операторов преобразование Березина имеет вид

те

А(*) = (1 -И2)2+л ]Т|еП(^)|2(АеП,еП)л.

п=0

Теорема 3.1. Пусть А — линейный оператор в АД (В), диагональный относительно стандартного базиса {е^} в пространстве А Д(В) и пусть {7л (п)} — его диагональ, т. е. 7л(п) = (АеП, еП)д. Если существует С > 0 такое, что

(^)27д(п) - (^_1)27л(п - 1) ^ -С(п + 1)л, п ^ 1,

то стремление к нулю преобразования Березина А (я) при |я| ^ 1_ влечет компактность оператора А. Другими словами, если для оператора А выполняются условия теоремы, то А е $л.

< Заметим, что оператор А компактен если и только если последовательность {7л (п)} сходится к нулю при п ^ то. Рассмотрим преобразование Березина оператора А. Заменяя £ = |я|2, получаем

те те

!(*) = (1 - ¿)л+2 ^(^П)27л(п)Г = (1 - ¿)л+1 ^(^П)2тл(п)(£п - ¿п+1)

п=0 п=0

= (1 - £)л+1 ((¿ол)27л(0) - (4л)27л(0)£ + (^)27л (1)£

- )27л(1)£2 + ■ ■ ■ + Ю27л(п)Г - (^)27л(п)Г+1 + ...) = (1 - ¿)л+1((¿л)27л(0)+ )27л(1)

- (^л)27л(0))£ + ■ ■ ■ + ((^)27л(п) - (^_1)27л(п - 1))Г + ..

те \

(¿л)27л(0) + ^ ((^П)27л(п) - (¿П_1 )27л(п - 1)) Н .

п=1 )

=(1 — t)

+1

Обозначим b0 = (щ )2^л (0), bn = (dn)2Y\ (n) — ((1П-1)21л (n —1), n = 1, 2,... Таким образом

те

Ä(z) = (1 — t) л+1^ bntn, t = |z|. n=0

Из условий теоремы следует lim^1-(1 — t)л+1 ^^=o bntn = 0. Кроме того, в силу определения последовательности {bn} имеем: bn ^ —C(n + 1)л, n ^ 1. Так как выполнены условия леммы 2.4, то

lim JXo^ = о. п^те (n + 1) л+1

Поскольку £=0 bk = (dn)21Л(n), будем иметь limn^.^ (J+^a+i 1л(n) = 0. Окончательно по формуле Стирлинга получаем

um . (dJ)2., = r(n +А + 2) = 1

п^те (п +1)Д+1 п^те Г(Л + 2)п\(п + 1)Д+1 Г(Л + 2)'

Следовательно, Ишп^те 7л(п) = 0, и оператор А компактен. >

Следствие 3.2. Пусть А — линейный ограниченный оператор в пространстве Бергмана АД(В), диагональный относительно стандартного базиса {еп} и пусть {7л(п)| — его диагональ. Если последовательность п(^д(п) — 7д(п — 1)) ограничена, то А £ фд.

< Справедливо соотношение

(А +1)

(dJ)2 1л(п) — (dJ-i)2^(n — 1) 1

(n + 1)л B(n, А +1)(n +1)л

Ы(п) — 1л(п —1)) + в {nJ+ ++1 + ^ Yл(п).

Очевидно, первое слагаемое эквивалентно г(л+1)п(^л(п) — 7д(п — 1)) и, следовательно, ограничено. Из ограниченности оператора А следует ограниченность последовательности {'уд(п)}. Второе слагаемое эквивалентно г(Ли+1) 7л(п) и также ограничено. Таким образом, существует С > 0 такое, что

(dJ)2 1л(п) — (dJ-i)2^(n — 1)

(n + 1)л Следовательно,

(dJ)2^(n) — (dJ-i )21л(п — 1) (n + 1)л

<C (n = 1,2,...).

> —C (n = 1,2,...)

или

(йп )21л(п) — (йп-1)21л(п — 1) > —С (п + (п = 1, 2,...). Так как выполняются условия теоремы 3.1, то А £ фд. >

Рассмотрим теперь теплицевы операторы с радиальными символами а(г) = а(\г\ Имеем (см. [12, 13]):

1л(п) = (ТлеП,еП)л = (А + 1)(dJ)2 i lzl2na(z)d^(z)

J D

_1_ /1

0 B(n + 1,А + 1)Jo

= 2(А + 1)(dJ)2 0 a(r)r2n+1 (1 — r2fdr = B{n + 1 А + J a(VT)rn(1 — т)Ыт.

x

Теорема 3.3. Пусть а(я) — радиальная функция, а(у/т)(1 - г)л е Ь1 [0,1), Т^ ограниченный оператор на Ал (В). Положим

1 [ 1

5(г) = - (1 - г)л+1 J а(^)(1 - ^^

Г1

В(0)(г) = &(г), (г)=/ Вь(^-1) (в)Ав = 1, 2,...).

• 'т

Если существует номер ] е N такой, что В^^г) = 0((1 - г)^) при г ^ 1, то Т^ е $л.

< Рассмотрим

т _ 1)) = ,

В(п,Л + 1) ^

- п(7л(п) - 7л(п - 1)) = в(пп + 1) I а(^Т)(1 - г)л+1гп_1Аг-

Л +1

В(п, Л + 1) Л

а(у/т)(1 - г)лг"^г.

0

Второе слагаемое ограничено в силу ограниченности оператора Т^. Рассмотрим первое слагаемое, которое запишем в виде

п , ^ \ л+1 п_1 , п

В(п, Л +1) Л, ^ В(п,Л + 1)

х £ (а(^Г) - - 1г)л+1 £ а(^)(1 - (1 - г)л+1гп_1 Аг

п_ / гп_1

В(п,Л + 1)У0 ит

Имеет место соотношение:

+ , „, /1 г^Аг /1 а(^)(1 - з)ла9.

0т

п

/ Ь(г)(1 - г)л+1гп_1Аг ~ (Л + 1)7л+1(п - 1), п ^то. 0

В (п, Л +1) Л

Используя результаты из [12], замечаем, что последовательность 7л+1(п) ограничена. Далее, интегрируя по частям, будем иметь

п

В(п, Л +1) Г Г"-'АГа(^)(1 -

1 (1

= В(п, Л + 1) I а(^)(1 - г) ^ = 7л(п - 1).

Последовательность 7л(п - 1) также ограничена. Остается применить следствие 3.2. >

Рассмотрим оператор теплица Т^ с символом а (2) постоянным на окружностях в метрике Бергмана вп(^1, 22) = 1| |_ |31_г2| с центром в точке я = 20 е В. Ясно, что тогда а^0 (2) = а(а^0 (2)) является радиальной функцией. Как следствие, из теоремы 3.3 получаем следующий результат.

Теорема 3.4. Пусть а(2) функция, постоянная на окружностях в метрике Бергмана с центром в точке 2 = 20, а(а^0 (уТ))(1 - г)л е Ь1([0,1)), Т^ — ограниченный оператор

на A| (D). Положим

1 [1

b(r) = a(azo (>/r)) - (1 - r)A+W a(azo (^))(1 - s)AdS

' r

1

в(0)(г) = b(r), Bj(r)= / Bj-1)(s)ds (j = 1, 2,...).

?6(j)(r) = O((1 - r)j) при r 1 то ta < Введем на A|(D) унитарный оператор UA следующим образом:

Если существует номер j £ N такой, что B^ )(r) = O((1 — r)j) при r ^ 1, то T^ £

та

' zo

(1 Un| 2) f+1

Zof)(z) = CzAo(z)f(azo(z)), CzAo(z) = l(1 —'z0z0)a+2 ■

(UZ0 f )(z) = CZo (z)f (azo (z)), CZo (z) = Непосредственные вычисления дают:

(и*ТаЛ(«г0/)(2) = СД0(2) / а(а^0И)/(а^оМ)САМК^(2), ю)^л(ю) 0 ./о

= (Л + 1)С^л0(2) / а(а^0М)/(а^0(ю))^ИК^(2),ю)(1 - И2)°^И. ./о

Производя замену переменной ад = аЛ0 (£) и используя свойства преобразования Мебиуса, получаем

(и0ТаЛ(«г0(^Л,/)(2) = (Л + 1)СЛ0(2) / а(0/(е)С^0К(£))К°(азд(2), а*(О)

0 У о

Х (1 ЧТ (1 — lazo (012)АФ(0-11 — z0£|4

Далее, имеем

^ a (£)) = (1 — '

(1 — |zo|2)A+2

KA (azo (z),azo (О) = (1 z0f)A+2 (12—+z20^)A+2 KA(z,e), Ci (azo (0) = (C^ (0)-1.

Таким образом,

(UzAoTA(azo(w)UzAof)(z) = (A +1) / a(e)^(e)KA(z,e)(1 — |e|2)A

o J D

= / a(Of (e)KA(z,e)d^A(e) = (TaAf)(z).

D

Так как оператор U^ унитарный, то для компактности оператора TA необходимо и достаточно, чтобы оператор TA(a (w)) с радиальным символом a(azo (w)) был компактен. >

Литература

1. Коробейник Ю. Ф. Абсолютно представляющие системы экспонент с мнимыми показателями в пространствах бесконечно дифференцируемых функций и продолжимость по Борелю — Уитни // В сб.: Актуальные проблемы математического анализа.—Ростов-на-Дону: Изд-во ГинГо.—2000.— С. 8-22.

2. Axler S., Zheng D. Compact operators via the Beresin transform // Indiana Univ. Math. J.—1998.— V. 47, № 2.—P. 387-400.

3. Axler S., Zheng D. The Beresin transform on the Toeplitz algebra // Studia Math.—1998.—V. 127, № 2.—P. 113-136.

4. Stroethoff K., Zheng D. Toeplitz and Hankel operators on Bergman spaces // Trans. Amer. Math. Soc.—1992.—V. 329, № 2.—P. 773-794.

5. Zhu K. Positive Toeplitz operators on weighted Bergman spaces of bounded symmetric domains // J. Operator Theory.—1988.—V. 20, № 2.—P. 329-357.

6. Zorboska N. The Beresin transform and radial operators // Proc. Amer. Math. Soc.—2003.—V. 131, № 3.—P. 793-800.

7. Zorboska N. Toeplitz operators with BMO symbols and the Beresin transform // IJMMS.—2003.— V. 46.—P. 2929-2945.

8. Zhu K. Operator theory in function spaces. Monographs and textbooks in pure and applied mathematics.—New York: Marcel Dekker, 1990.—254 p.

9. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces.—New York: Springer-Verlag, 2000.— 286 p.

10. LuekingD. H. Trace ideal criteria for Toeplitz operators // J. Funct. Anal.—1987 —V. 73, № 2.—P. 773794.

11. Постников А. Г. Тауберова теория и ее приложения // Тр. МИАН.—1979.—Т. 144.—С. 325-346.

12. Grudsky S., Karapetyants A., Vasilevski N. Dynamics of properties of toeplitz operators with radial symbols // Reporte Interno CINVESTAV del I.P.N.—2002.—V. 317.—P. 1-37.

13. Grudsky S., Karapetyants A., Vasilevski N. Toeplitz operators on the unit ball in Cn with radial symbols // J. Operator Theory.—2003.—V. 49.—P. 325-346.

Статья поступила 12 ноября 2004 г-

Kapahexhhu, AлEксEй Николаевич, к. ф.-м. н. Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет E-mail: alexeyk@aaanet.ru

Голиков Александр Владимирович

Ростов-на-Дону, Ростовский государственный университет E-mail: alexey@stipendia.ru