Об одном классе весовых пространств Бергмана со смешанной нормой на единичном диске Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВ БЕРГМАНА СО СМЕШАННОЙ НОРМОЙ НА ЕДИНИЧНОМ ДИСКЕ

© 2009 г. И.Ю. Смирнова

Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, Ростов-на-Дону, 344000, [email protected]

Don State Technical University, Gagarin Sq, 1, Rostov-on-Don, 344000, [email protected]

Исследуется класс весовых пространства Бергмана на единичном диске со смешанной нормой по радиальной и угловой переменной. Это первая работа из серии работ в рамках исследования специальных классов пространств Бергмана, связанных с тремя типами гиперболической геометрии в единичном деке. Здесь представлен эллиптический случай в модельной ситуации — разные нормы по радиальной и угловой переменной.

Ключевые слова: пространства Бергмана, смешанная норма, интегральные преобразования.

We study class of weighted Bergman spaces on the unit disc with mixed norm in radial and angle variable. This is the first paper in a series of papers in a framework of study of special Bergman spaces that are connected with three types of hyperbolic geometry in the unit disc. Here we represent the elliptic case in the model situation — different norms in radial and angle variable.

Keywords: вergman spaces, mixed norm, integral transforms.

Начиная с работ С. Бергмана [1, 2] и М.М. Джрба-шяна [3, 4], пространства аналитических р -суммируемых по отношению к а -конечной мере функций

на открытом связном множестве в N или N интенсивно изучались в работах многих авторов. Нас будут интересовать только весовые пространства Бергмана на единичном диске и верхней полуплоскости (случай полуплоскости будет рассмотрен в последующей работе). Основной мотивацией данной работы является дальнейшее развитие методов исследования классов операторов Теплица и порождаемых этими операторами алгебр в весовых пространствах Бергмана со смешанной нормой и неограниченными символами. Для этого, в частности, необходима характеризация самих весовых пространств Бергмана со смешанной нормой, исследование структуры этих пространств, позволяющее в дальнейшем получить необходимые представления для изучения соответствующих теплицевых операторов. Понятно, что при изучении аналитических р -суммируемых функций основное внимание должно быть уделено поведению функции при приближении к границе области. Введение смешанной нормы позволит особо выделить поведение функции при приближении к границе. В единичном диске имеются три типа гиперболической геометрии - эллиптический, параболический и гиперболический. Исследование поведения функции при приближении к границе по соответствующим геодезическим предполагает введение и изучение 3 существенно различных типов весовых пространств со смешанной нормой, связанных с указанными выше типами гиперболической геометрии. Например, модельная ситуация для эллиптического типа -это различные нормы по радиальной и угловой переменной. В будущем, естественно, планируется исследование как отдельных операторов Теплица в весовых пространствах Бергмана со смешанной нормой, так и

порождаемых этими операторами С -алгебр. Ранее исследование операторов Теплица и алгебр теплице-вых операторов в таких пространствах не осуществлялось. Имеются только частные результаты об ограниченности проектора Бергмана и описании некоторых свойств функций на таких пространствах [5].

В случае обычной нормы такое исследование получило развитие в серии работ [6 - 8] (см. также цитируемую там библиографию). Здесь мы применяем технику и идеи указанных выше работ. Отметим также, что идея исследования таких специальных пространств Бергмана принадлежит Н.Л. Василевскому [8-10].

Вспомогательные сведения

Обозначения. Пусть П - область. Символом Б(П) обозначаем класс бесконечно дифференцируемых в П функций с компактным носителем. По-

,2 ,2

где l + , l_ - подпространства

2 2 2 ложим / = /+ ® /_ ,

(двумерного) /2, состоящие из последовательностей $пп } 2 , для которых сп = 0, при п е Ъ_ и п е Ъ+ соответственно.

Обозначим через р+ и р_ ортогональные проек-

7 2 12 12

торы пространства / на /+ и /_ соответственно. Введем характеристические функции %± множеств

Ъ +, Ъ_: х±={х±{п)}пеъ е /х, где х±(п) = 1 для п е Ъ± и х±{")= 0 для п е . Следовательно, операторы можно представить в виде

Р±=Х±!. (1)

2

/ 2

Дискретное преобразование ФурьеР: Ь2 (Т, dст(íопределенный на функциях вида (2) р^ж™ 12 =12(г) определяется следующим образом: (и®v)g(x,у) = Т.(ии„Хх)(^и)(у).

F : f (t}

nin&Z -

=/ f(г) г~ndс(t), п ег, ■42л г

где ) - дифференциал длины дуги окружности.

_1 2

Обратное преобразование Фурье Р : I ^

Применительно к пространствам типа Ьд'р (X © У) символ и ®У всегда будем понимать как произведение и ® V = (и ® Iу )1Х ® V), где 1Х, I у - соответствующие единичные операторы. Следует особо отме-Ь2 (Т, dст(t)) осуществляется следующим образом: тить, что поведение 1Х ®V, и ® 1у в Ь?'р (X © У)

{cn }neZ ^

f(t ) = Z Cnf'

у/2л neZ

Общие сведения о пространствах со смешанной нормой. Пусть X , У - измеримые множества с с -конечными мерами da(x), с1Муу) соответственно, X ФУ - декартово (прямое) произведение множеств. Пространство Ь?'р (X © У), 1 < д, р < от, со смешанной нормой определяется как совокупность функций / (х, у), для которых

ILP (X ФГ)

' г wp Y/q

J J|f(x,y)PdÄ(y) da(x)

xVr

< ж .

Это определение естественным образом переформулируется в следующих 3 специальных случаях: р = от, д < от; р < от, д = от; р = д = от. Всюду ниже нас будет интересовать случай д = 2 , поэтому возможен только первый из приведенных выше вариантов:

Г Л1/?

Л|/(х,-| !от,„ ^а(х) .

il9-p (x фг )

v x

Случай р = от будет исследован отдельно, поэтому, если не оговорено противное, будем считать, что

1 < р < от.

Пространство Ь?'р (X © У) также может быть представлено как совокупность функций из Ь? (X, da(x)) со значениями в Ьр (У, dЯ(y)):

Ь?'р (X © У) = Ь' (X, Ьр (У, М(у)) da(x)).

Наконец, если р = д, то Ьр' р (X © У) является стандартным лебеговым пространством р -суммируемых функций Ьр (X © У).

При рассмотрении лебеговых пространств типа Ь?'р (X © У) удобно иметь дело с функциями вида N

g(x' у) = Еии (ХК (у). (2)

И=1

Они образуют плотные множества в пространствах указанного типа, поэтому с их помощью можно определять действия операторов в таких пространствах, используя понятие тензорного произведения операторов.

Именно [10, с. 343], если и, V - операторы, заданные на функциях и(х), у(у) соответственно, то тензорным произведением и ®V является оператор,

неравноправно (подробнее см. [10, с. 346], а также [11]).

Пространства Ьр (Б). Обозначим через

Ь?' р (Б) пространство измеримых на Б функций, для которых конечна норма

il/ (d)

J| f (rt) PvÄ(r )rdr

P 1 da(t) л

Y

Л/(г,.)| ? I ¿сск)| ? .

^Т"Ьр((од^г)rdr) л 1 ')

Случаи р = от, д = от нужно понимать в предельном смысле. Легко проверить, что выполняются свойства

нормы и неравенство Минковского ||f + g||

l/ (d) '

<11 fil/ (d)+l^l-f (d).

Лемма 1. Для весовых пространств Ь?р (б) справедливо вложение: Ь'1'р1 (б)с Ь^'р2 (б) , если либо

h

+1 2 +1

р1 > р2 > ?1 > ?2 > ->-, либо р1 = Р2 >

р2 Р1

?1 > ?2 > 21 < .

Доказательство. Пусть f е Ь?1'р1 (б) . Покажем,

что норма этой функции в пространстве Ь?2'р2 (б) конечна. Для этого запишем

Lhf2 (D)

п f (t--)i da(t)

h (T) л

92

Рассмотрим у Применяя неравенство

Гельдера, имеем

1

(1 . . .. I -\Л2 У,

К (D):

1 / \h J\f (rt)P2 (1 -r2) rdr

Vo

P2

J| f(rt) P1 (1 - r 2 h rdr 1P1 J(l - r 2 ) P1-P2 rdr

V0 ) Vo

T

T

<

1

s

<

)

Здесь S = ———; у выбирается исходя из усло-—1Р2

вии

—1

: (д2 -у)— = Д1 и у-

Р2 —1 - —2

> -1. Следователь-

но, у =

h. Р2

Л

.hl —1 J

Р2-.

Р1Р2

f

Р1 - Р2

Р2

Р1

>-1.

d функции f (z) = f (rt) с нормоИ

1

И/ (D) =

1

}| f (rt) PVh(r >dr

Р 1

n

da(t)

Здесь da(t) = — - дифференциал единичной ок-it

ружности;

Vh(r) = (h + 1)(1-r2h h

>-1.

(3)

Весовое пространство Бергмана A 2£Р (d) со

сме-

Полагая t = eia , имеем da(t) = da и L\ Р (D) = I2( T, Lp ([0,1], Vh (r )rdr ),! dCT(t )1 =

= L21 [0,2n], 1Р ([0,1], vh (r)rdr), — da I.

Преобразуя последнее условие, будем иметь нужное. Лемма 2. Для пространств со смешанной нормой

при д > р выполняется вложение Ь^р (Б)с (б) .

Таким образом, можно наблюдать следующие связи:

Ь2,р (Б) с Ь2,р (Б), р > р2, Ь2'р (Б) с Ьр,2 (б), р < 2, Ьр,2(б) с Ь2,р(б), р > 2. Пусть 1 < р2 < р < 2 . Тогда Ь2, р1 (Б) с Ьрь2 (Б)

П п .

Ь2, р2 (б) с Ьр2,2 (б) Пусть. 1 <р <2<р < да . Тогда Ь2, р1 (б) з Ьр1,2 (б) П П .

Ь2, р2 (б) с Ьр2,2 (б) Пусть 2 < р < р < . Тогда Ь2, р1 (Б) з Ьр1,2 (Б) П П .

Ь2, р2 (б) з Ьр2,2 (б)

Представление весового пространства А 2 р (б)

Обозначим через б единичный диск в С и рассмотрим пространство Ь2р (б) , Л >_1 измеримых на

Соответственно — запишется в виде

д5

д5 2 ^дх ду ) 2 \дг г да) 2 \дг г д/ ) Введем унитарный на ¿2р (б) оператор

Ц, л = Г/ : Ь2(Т,([0,11 Ул(г)^г),!йа(-^ ^

^/2(ьр ([0,1],ул(г)г^г)), где Г - дискретное преобразование Фурье, действующее по переменной /. Образ оператора л представляет собой пространство, состоящее из последовательностей, компоненты которых принадлежат Ьр ([0,1], у л (г )г^г).

Действие оператора и з — иг1 = Г -1----ГГ1

55 1,Л - 21 дг г д/) -

на пространстве l2 (1Р ([0,1] , vh(r )rdr )) следующим образом:

r)rdr)) осуществляется

С(r)Lz ^(r)}tn-kdt

2n 2i nez v dr

> keZ

Отсюда имеем

t Г д t д'

neZ

^ 2 (I - r k JM с (r )U■={ 2 (f - n>n(r)

Пространство AA^— (d) = С/^д (а2 р (d)) является

замкнутым подпространством в l2(lp ([0,1],v^(r)rdr)), состоящим из последовательностей {cn (r)}ие2, компоненты которых удовлетворяют уравнениям:

Uu-|Uu««(r)=^l^-7jc«(r)=0' nеz, имею-

щим

общие решения cn (r) = c'nr" .

Таким образом, A2f (с l2L([0,1],vÄ(r)rdr)])

сов-

шанной нормой является замкнутым подпространством пространства Ь2р (б) , состоящим из аналитических в б функций.

Заметим, что в случае р = 2 Ь2£2 (б) очевидно совпадает с пространством квадратично суммируемых

функций ЬЛ (Б) с весом ул (5) = (Л +1)^1 _ 52 , а соответствующее пространство Бергмана А Л (б) является классическим и изучалось в работах многих авторов.

падает с пространством двусторонних последовательностей вида

с. (гн2^др (n), n е Z+, где Z+= N u{0}, [0, n е Z-,

Z- = Z\Z+, {c. }.eZ, el+ ,

dÄ,—(n) = i2(h +1)} rnp+i - r2 fdr 0

= [(h + 1)B( ^ ,h +P

(4)

при этом использовалась статья [12, формула 3.251]. Здесь в(х, у) обозначает бета-функцию Эйлера.

т

2

2

T

0

1 _ IIIй" ад 2 l ([одК ^г [д cn2 J2 =N»^1; • 410 ^ n е Z+ dn(r)=(r)="w?2 Pdi p (nc

2 II, } II . что при " e Z+ dn (r) = Un\xcn (r) = «|nU2 PdÄ, p (n)cnr" = ^nsZJ ,2

1 1

Лемма 3. Для каждого n e Z+ существует унитар- / ^ д-«

= d;L;1p(n)y0,,,I(r)2pd2,p(n)cnßn,M = cn2P , при этом

ный оператор и„22 : ьр([0' 1] 'уд(г)г<гьр ([0Д]'г<г), г . 2 тг ^ /\ А

!с„К е/+ . Для п е имеем с„(г ) = 0, поэтому

действующий следующим образом: ппег+ +

(п2(Р)(Г) = <2"1р(п)^)^ ,2(г)). dn(г) ^ 0 . Т™ образом,

где т = р 2 (г) является обратной кг = ( 2^) на м I -р , г 2

Гп'2 ' dn(г) = ] 2 рСп, п е , 1сп 1пе2, е/+ .

отрезке [0Д], ¡0, П е

(г) = d2p (ni2]pnp+1vÄ(p)dp

V о

2 Пусть Lp - одномерное пространство Lp ([o,l], rdr),

• (5) 1

Доказательство. Покажем, что действительно п°р°жденн°е элементом Io,p (г) = 2р , и ||lo,p

¥x,n W имеет такой вид. (r\LP^rdr)= 1; P0 - одномерный проектор

/\ _ _ L^ (10,11, rdr) на Ls , такой, что

где функция an^(r) будет выбрана позднее из усло- 0

вия унитарности оператора. Осуществляя замену , v ч , Л , ч 1-~

r = упЛ{т), для n e Z+ запишем (PoHr) = lo,p(rMP)2 pPdP .

1 Тогда A2'p = l+ ® Lp и проектор Bp пространства

u"Alp([o,ilrdr) = [¿l(un,^^)(r)PrdrJp = /2(lp([0,1],rdr)) на A2p

A2' p имеет вид Bp = p+ ® Po , где

Л р+ определяется равенством (1).

= }к 2((п 2(т))р\р(т)р(п 2(т)(п 2(г)<г|р Доказательство следующего результата подготов-

^ п' А\г п,л\ щ Vп'2 V, Vп'2 V/ I лено предыдущими рассуждениями.

Таким образом, требование унитарности оператора Теорема 1 Пусть 2 е (_ 1,+от). унитарный оператор

влечет соотношение: и2= и2^1,2 осуществляет изометрический изо-

{ап,2(п'2(т))у(п,2()(п,2(г) = , т е (0,1), (6) морфизм пространства 4'р(б) на /2(ьр([0,1],г<г)),

где у2(г) задается формулой (3). С другой стороны, при котором:

С 1 Л 1 1) пространство Бергмана А2р (б) отображается

4,1

2 pdi,p (n)rn

= 2p и di,p(nka(r)ßnn2(r) =1. на Lp ®/2 : U2 : A^(d)^l2+ ®Lp.

Полагая в последнем соотношении r = Wn.(r), будем 2) проектор Бергмана унитарно эквивалентен

иметь

проектору p+ ® Po : U^U?} = p+ ® Po.

an,.(^n,.(T)) = d-,p{пУг n . (7) Введем изометрическое вложение Ro : l+ ^ l2 x

Сравнивая равенства (6) и (7), получим x(lp ([o,1],rdr)) следующим образом: Ro : {cn }n

(/'п,Л(т)(п,Л(т) <^;>р,р(п)г уЯ(т)' ^/0,р(г){^+(п)сп. Образ пространства совпа-

Г Г

2уР)(п А.р)<Р = (п)|Рпр+1^2(р)<р . дает с пространством А^р = 1+ ®Ьр . Обратный опе-

Из последнего соотношения следует (5). ратор ко1:/2 (ьр([0,1]' г<г))^ действует по правилу Следствие. Обратный оператор и_2 = и„2 : Ьр у I — - > - 1

n1 = Un,1 ■ " Х {cn (r )}neZ ^ j ^+(n)/o0; ~p(r )i cn (p)pdp

([o,1],rdr) ^ Lp([o,1], v.(r)rdr), n e Z+, действует по I o J neZ

-1 л („\n,J„r Лемма 4. Имеют место равенства:

Ro Ro = 1 : ^ l+ '

правилу (Wn,?<^)(r) = di,p{n)fnq^n?(r)).

Далее определим унитарный оператор

и2,2 :12 (ьр ([0,1], у2(г )г<г))^ /2 (ьр ([0,1], г<г)) по пра- ^ = Вр : /2(ьр М г<г))^ а2'2 = 1+ ®Ьр'

/ М\ ^ где Вр = р+® р0 •

вилу и2,2 : (сп (г))пеЪ ^|и|п|,2Сп )г. р

пе \ Доказательство. Для \с„} ^ е/+ справедливо

Тогда пространство А2'р = и2,2(А2,,р) совпадает с 1 +

пространством последовательностей {<п (г)}ие2 таких, т?_1р (с \ р (у ) =

0 01 п)пеЪ: 0 12+\ г'пУпеЪ

х

1_' Ii

X+(n)2 p2p JX+{n)cnpdp

neZ

= {z+(n)cnLz = ^cn}nez+ e l+ .

При доказательстве 2-го равенства для

CnLz+ e l2 (Lp ([0,1], rdr))

Ro R-1 {cn (r ))nez = Ro |*+ (n)^-1 (r )1 Cn (p)pdp

neZ

= l0,p (r )| 2+ (nXp-1 (r )i cn (P)PdP

neZ

где

|^+(n)loPp1(r )ii cn (P)PdP Действительно,

e l2

neZ

i

J cn (p)pdp

(1

Xn( 1

P _1

J| cn (p)P pdp Jpdp

V o

V o

= 4_рр(г)|спИЬ(Миф) .□

Таким образом, на основании леммы 3 оператор Ял = Щ^л = 2,ли1,л действует из пространства Ь2р (б) на /+, а его сужение Я

: A2'p (D)^ l

1AIp(D): Al

является изометрическим изоморфизмом. Обратный оператор R~xl = ^I^rq : l+ ^ A2p(d)c l2p(d) является изометрическим изоморфизмом l+ на подпространство aI p (d) пространства

Р (D).

Замечание. Имеют место равенства:

RiRI = I: l+ ^ l+, RI}RI= Bl : LIp (D)^ A i'p (d).

Теорема 2. Изометрический изоморфизм

RI 1 = UI 1rq : l+2 ^ A2'p (D) определяется соотношением

R_1 : {cn)neZ+ l0,p(

+ л/2 neZ+

Обратный изоморфизм RÄ : A2'p (d) ^ l+ имеет вид

l0,p(r) Z cndl,p(n)zn .

R2 :P(z

\lp p (rЬp_Ъ«ии(p_2) I V2 ^

¿Г>)Р )z-|Zn( p_ 2) dßM

neZ,

= | ^ ^WlM* p -1)+4r V-(t )*]

-I пеЪ+

Здесь 4л,р (п) и ул(г) определяются формулами (4),

(3) соответственно.

Доказательство. Докажем первое утверждение

теоремы. Пусть {си}ие2 е/+ . Тогда

ЯЛ1 : {Сп}пеЪ = иЛ Ч {Сп}пеЪ =

= U_ l0, p (rX^ + fcK }

= U_iU(r){2 + (n)cn}neZ f

= U1_i l0, p(r '){cnX+(n)dÄ, p (пУ [eZ = = Z l0,p (rrpndx^p (n)rntn =

* 2 neZ+

= l0, p (r) Z cndi, p (n)z" • z = rt.

V2 „eZ+

Рассмотрим R^ . Пусть p(rt)e A2p (d) , тогда имеют место равенства: Rp(rt) = R_1U^p(rt) = R_1U 2,xU^pPrt) =

= R-1Ujp(rt)t~nd°(t)j

Iv2n t }„

' neZ

1p_ 1(r) 1 ]

J d^p (p)[p(^n,l(p) t)t~"dv{t)pdp I

' neZ,

В последнем выражении произведем замену перемен-

ных

* = ßn,Ap), p = Vn,AT)'

тогда

Rpt )=

_l0p-pV),

л/2;

J d._,1p(n> " Jp(^)t УпД^УПДМ^!

Ю

1 neZ,

lp-1(r) 1 I

d_1p(n)jjp(^t)(rt)_nrnp+V(r)dCT(t)dr I

л/2;

p _1

0T

' neZ,

^ d-Jp (n)Jp(z )zn|z|n( p_ 2W;

л/2;

D

' neZ,

Здесь z = rt, z = rt 1, Ы = t , ) = — Tvx{r)dTda(t).

n

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект 09-01-00626-а. Автор выражает благодарность д.ф.-м.н. А.Н. Карапе-тянцу за постановку задачи и научное руководство.

Литература

1. Bergman S. Über die Kemfunktion eines Bereiches und

Verhalten am Rande, I // J. Reine Andew. Math. 1993. Vol. 169. S. 1-42.

2. Bergman S. The kernel function and conformal mapping

(second, revised edition) // Mathematical Surveys and Monographs. Providence, RI. 1970. Vol. 5. Р. 120.

3. Джрбашян М.М. О каноническом представлении функ-

ций, мероморфных в единичном круге // Докл. АН Арм. ССР. 1945. Т. 3, № 1. С. 3-9.

4. Джрбашян М.М. О проблеме представимости аналити-

ческих функций // Сообщ. Ин-та мат. и мех. АН Арм. ССР. 1948. Т. 2. С. 3-40.

5. Gadbois S. Mixed norm generalizations of Bergman spaces

and duality // Proc. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 104, № 4. Р. 1171-1180.

6. Василевский Н.Л., Грудский С.М., Карапетянц А.Н. Ди-

намика свойств теплицевых операторов на весовых пространствах Бергмана // Сибирские электронные математические известия. 2006. Т. 3. С. 362-383.

nineZ

0

T

1

<

0

X

t

)

7. Grudsky S.M., Karapetyants A.N., Vasilevski N.L. Toeplitz

operators on the unit ball in Cn with radial symbols // J. Operator Theory. 2003. Vol. 49, № 2. P. 325-346.

8. Vasilevski N.L. Toeplitz operators on the Bergman spaces:

inside-the-domain effects // Contemporary Mathematics. 2001. Vol. 289. P. 79-146.

9. Vasilevski N.L. Bergman space structure, commutative algebras of Toeplitz operators and hyperbolic geometry // Integral Equations Operator Theory. 2003. Vol. 46. P. 235251.

Поступила в редакцию_3 февраля 2009 г.

10. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и

производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск, 1987. 688 с.

11. Крепкогорский В.Л. Контрпримеры в теории операторов

в пространствах со смешанной нормой. Казань, 1980. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 11.07.80. № 2963.

12. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов,

рядов и произведений. М., 1971. С 1108.