CC BY
9
УДК 517.547.7
ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ ИЗ ВМО{ < В ТЕРМИНАХ СРЕДНИХ ПО ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ ДИСКАМ
© 2008 г. Ф.Д. Кодзоева
Южный федеральный университет, 344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова 8а, [email protected]
Southern Federal University, 344090, Russia, Rostov-on-Don, Milchakov str. 8a, [email protected]
Продолжается исследование весовых пространств функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана. Данные пространства описываются также в терминах средних по дискам в гиперболической метрике Бергмана.
Ключевые слова: пространства Бергмана, метрика Бергмана, пространство Бесова, радиальные операторы интегродифференцирования.
The paper continues the study of a class of spaces BMO J ( 2 terms of hyperbolic Bergman metric.
of the unit bidisc. Characterizations of these spaces are given in
Keywords: Bergmann space, Bergmann certificate, Besov space, Radial operators.
O iv2 fyx
9i{
В настоящей работе продолжается начатое в [1, 2] исследование весовых пространств функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана.
Вводятся пространства ВМОЦг \ = ВМ01 ( ; С
(
<
z е V , где функция
называется нормиро-
точностью до эквивалентности норм.
Пусть V2 = 4= #1,г2 У С2 .■ | < 1, / = 1,2 - бидиск В С2 .
Пространство 1/я состоит из функций, р-суммиру-емых на V2 с мерой ( = С, +1 ~'Х~ |-1 Р > у
х 22 ' —ск1с1у1—£&2ф2, Л-^,^ ,
1 1 - ^ я Я
-1<я} <00, у = 1,2.
Весовое пространство ВМО% ( определим как
ванным когерентным состоянием в соответствующем весовом пространстве Бергмана на бидиске.
Пространство В.\К)'-г С2 ^ состоит из измеримых,
р-суммируемых на V2 функций, для которых полу-
норма || <Р\\#вмор ^i'y sup Q^
z\r конечна.
Исследования пространств ВМО\ на единичном диске, по-видимому, были начаты в [3] и далее продолжены в [4]. Основные результаты данных ис-совокупность измеримых на V2 функций, для которых следований приведены в [5 - 7]. Отметим, что определение пространств в указанных работах соответствует случаю, когда норма берётся в пространстве 1} на единичном диске Б, т.е. изучается пространство ВМО\ О .
В [8] безвесовые пространства ВЫО\ 0 изучались в связи с задачей о связи между компактностью оператора Теплица с символом из ВМО\ 0 с пове-
- преобра3ование Мебиуса еди- дением преобразования Березина оператора Теплица
при приближении к границе диска. Аналогичная зада-ничного диска в себя, переводящее точку = 0 в ча для операторов Теплица с символами из весового
. _ пространства ВМО\ С) на весовых пространствах
точку ^ = г ^, ] = \2. * * я - ^ ^
Преобразование Березина функции ср, связанное с БсРгл,ана А1 - была Решена в I9' 1(,1- Для описания весовым пространством Бергмана на бидиске: пространства ВМО\0 использовалось преобразование Березина, которое является одним из наиболее
полунорма || 1| #вмоР(2^ sup || L„
ЛУ J zeV2 Л\
конечна.
Здесь ~ преобразование Березина функ-
ции ср (определение приведено ниже), а преобразование и- —> а _ единичного бидиска V2 в себя определено по правилу: а2
О ^
где az.4t>j_
l~zjwj
2
2
2
2
2
2
1"1
22
распространённых методов в теории операторов и пространств аналитических функций.
В настоящей работе продолжается начатое в [1, 2] исследование весовых пространств функций с ограниченной средней осцилляцией в метрике Бергмана. Используются обозначения и вспомогательные сведения из [1], а также следующие вспомогательные леммы, доказательства которых непосредственно следуют из [5].
Лемма 1. Для каждого геУ2 и ?)>0, у = 1,2
имеют место неравенства: С-1 < |л-Г < С.
Лемма 2. Для любого г=41,г2^_, 0<г-<оо, / = 1,2 существует натуральное число N и последовательность г^'^о > <3<1'= С< ■$ '' такие, что:
1) бидиск V покрывается
^ 0 ;
2) каждая точка г е К принадлежит не более чем N множествам из ^ С 4 2г ;
л ^ г,
3) если ПФТП, то р1",а™ ^ , а),а™ е Б .
Лемма 3. Для аналитической на V2 функции <-/> и /7 е К справедливо неравенство
<"k|2?<
ИГ*
Лемма 4. Пусть , г=41,г2~^
где Я ., л., г - продолжительные величины. Существует С>0 такое, что для всех и- е Г2 справедливо:
с-чос/-]; ф^й
У = 1,2.
Пространство 5МО|г : описание ВМОЛ (('*2 в терминах усреднений
Теорема 1. Пространства ВМОр1г^2 ^совпадают при всех 0 < г < со, у = 1,2 с точностью до эквивалентности норм.
Доказательство. Докажем сначала вложение
5М0|Г ( 3= ( °< < О < • (!)
Для любого е С рассмотрим
Заметим, что
|<р1гУФг,л ЪХ<\<Р<УУ8\ + \ФгЯ 0<у| =
Таким образом,
ПррЛ Ф;z,sy
1
при выборе S - (j>r / (z).
Далее имеем !_ t= 1 1 " < 1 21 < = С,
P^Vc^fi-
от-
куда ф:г.л > 2РСГ ХС21Л ф:г.г. и следовательно,
5 = ^, 52 0 < Г < 00 , 0 < £ ■ < 00 .
Для доказательства обратного к (1) вложения достаточно показать, что НМО'- ,. V2 ¡'МО'- < >Л. Это
легко доказать с помощью леммы 2.
Теорема 2. Пусть -1 < А ■ < со , у = 1,2. Равенство ВМО{ Ъ2 У ВМО{г Ъ2 ^ 0 < rj < 00 справедливо с
точностью до эквивалентности норм. Доказательство. Докажем вложение
вмо*42Увмо1г4\.
Для <р е ВМОЛг и 0 < г; < со , как и при доказательстве предыдущей теоремы, имеем
CL?<p;z,r =
pi
r^WrJ^"-^ ♦J'Фа
<2 p
pk
Выбирая <5 = ^ ф и учитывая лемму 1, получаем
2" jp^jyC- % ^ГФЛ О
< 2^CJDi ipA ff ф, О
< CJF2 <рл if \lc* ^ dMA «Л
Таким образом, получаем неравенство
ll^l \t,BMOf г (-2У ^ 11^1 \,вмсХ t2J
Обратное вложение
BMOirt2^BMO?t\ (2)
следует из лемм 7, 8, доказанных ниже. Доказательства этих лемм не используют вложения (2).
Нам понадобится следующий результат, представляющий также самостоятельный интерес.
Теорема 3. Пусть <р<0 и является локально р-интегрируемой функцией на V2. Тогда следующие неравенства эквивалентны:
1. sup (j>psl k^Ji 00 , 5г), 0 < Sj < со , у = 1,2 ,
zeV2
2. sup фJ кЗ^00 •
zeF2
Кроме того, (р е /.'' (V2), если какое-либо из данных условий выполняется.
Доказательство. Доказательство, что второе утверждение влечёт первое, содержится в [1, лемма
p
2
2
Г
— z
2
4]. Для того чтобы доказать, что из первого утвер- для ■,-»*> ■ У- sj. Теперь (3) следует из [1, лемма 2].
ждения следует второе, зафиксируем покрытие „ . „ , , - .
Лемма 6. Пусть у<0, т<О, Л=щ11,Л2^ Х1>-\.
Тогда
■/у.т = Ь2 I2 Ъ(и,у) + \^с1рл(у)~1с1рг(и)< со . (5) Доказательство. Полагая V = аи и учитывая,
что С'с1,и/. С'с1иа С' ,- получаем
^г = ¡у2 ( =
где / = '-2• к = п,т удовлетворяют ус-
ловию леммы 2.
Имеем ( 3 <рР Сф* С^Фя
Поскольку Ср _ аналитично по и' е К2. применяя лемму 4 для
^ и фиксированного « = 52), получим < О
= IF2 Фд<_
f /
V 2 1
+ J2\
V l '
1 +
ILln2-j=1 1 -1«„
с,
Следовательно, ^ < sup ^ .
„ 2 / |2V</+0
j=i
dfdÄ (и) х
Последнее доказывает, что первое утверждение настоящей теоремы влечёт второе.
Для завершения доказательства заметим, что (¡>1 С 3=1 | ср при условии <р > 0.
Лемма 5. Если <р е ВМО{г (¡2 для фиксирован- ^
но го г = г2 ^ 0 < г^ < оо , у = 1,2 , то
(3)
для любых г^еУ2 и произвольного .V = ,\2
О < 5 < да, у = 1,2 .
/к 2П-
2 1— W
JK2 1 1 I _ |4+2Д,
j=41 — U W А
■ d^i W
Выберем Sj так, чтобы ÄJ - с ; у г > -1. у = 1,2, и воспользуемся оценкой [5, теорема 1.7]:
1
-с1/лл 4у .<сз 1-
'D I _ |4+22 "-"Я Vj
}-UJWA
Будем иметь J(;T <Г4| IJ,:) | 1
j-1
,2\-°JvJ' g
\u А \ dßÄUi<(x>.
Следствие 1. Если tpeBMOfr^2 , то <psi eL^2
к,г ч ^ Vi,Л = ^Я
s = . s2 0 < 0 > sj <сс' У = 1,2 для любо-
Доказателъство. Поскольку пространства Го i < <
ВМОр1г((У совпадают при г=^,г2 , 0<г-<со, У = 1,2, зафиксируем г =^,2^2 Оценим С' Р при условии ¡5 ( , и>у- ^ ^■, у = 1,2. Для (У е С имеем
Кл О Ф*,л ^^ \Ф*,л О + \Ф*,л ^3" ^
J ' J
ГО 1 < q < р .
Доказательство. Применяя (3), в соответствии с (5) получаем
II Фз,Х IIО Cj^/o. tjj9 + \Фз,1
<с
< оо
Теперь сформулируем и докажем две леммы, из которых непосредственно будет следовать вложение (2). Лемма 7. Пусть <р е ВМО?г для фикси-
рованного г = 0<гу<со, j = 1,2. То-
Заметим, что Л<1.л }= гда е ('2 ^ для любого .V =
при Ч-0^'2^ в <00, у = 1,2.
соответствии с леммой 4. Поэтому л ф!, л ^ р<
Доказательство. Обозначим
<
2С
'¡Di,2sДЛЯ любого S. По-
\Dt,2sl лагая S = ([>-,_,. ,_ получим
^^.З-ll Оf/ и рассмотрим
п'1фх Ä;z . Будем иметь
- -ZJ= {¡у2 \Ф*Л ^
\v2 U Ifci U t k w|2 ^ w
V
X
2 \-2-äJ-eJv
u
2
2
¡V2 О&Д «Ji <
С',
иметь w,
V
Jv^ W, «> 1 ty « f Фд <jp|kk W J2 ^ W
< (.2 4? <у, и > Фя 4 ^ ^ < Здесь мы положили м> = С, С, и = К)2 ^ и использовали конформную
инвариантность метрики Бергмана на I):
,./ 1.2.
С учётом (5) получим
11 И^моХ^2^
<|К2 О00-
Лемма 8. Если <реВМО%^2 для фиксированного г=^,г2 , 0 < г, < . j = 1,2, то функция
I (Р~Ч>ь,1 ограничена на V2, и следовательно,
Доказательство. Заметим, что <реВМОр^2 для любого 5 = , 0 < 5-у < со , у = 1,2 . Далее
<Р-Ф*Л
s, Я
-L
Применяя (3) и неравенство Минковского, будем
и следовательно, sup
^v2
О00 •
5Д
В соответствии с теоремой 3, функция
<P-<PsA
\
Очевидно, первое слагаемое совпадает с Ир х и тем самым ограничено величиной
СА\ср\\#вмоР Для оценки второго слагаемого
применим (4), замечая, что Р ,, и', У Sj при м^.е/}^,.? , у = 1,2. Имеем
ограничена. Применяя [1, теорема 3], получаем <Р~фц1 <еВМО%^2 , что и доказывает утверждение леммы.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, проект 06-01-00297-А.
Литература
1. Кодзоева Ф.Д. Описание весового пространства ВМОрх ^ // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2008. № 3. С. 8-11.
2. Кодзоева Ф.Д. Характеризация функций из ВМОр в терминах преобразования Березина // Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений: Тр. 4-й Междунар. конф. Минск, 2006. Т. 2. С. 8488.
3. Zhu K. VMO, ESV, and Toeplitz operators on the Bergman space // Trans. Amer. Math. 1987. № 302. C. 617646.
4. Becolle D. et al. BMO in Bergman metric on bounded symmetric domains // J. Funct. Anal. 1990. № 93. C. 310350.
5. Hedenmalm H., Korenblum B., Zhu K. Theory of Bergman spaces. N.Y., 2000.
6. Zhu K. Spaces of Holomorfic Functions in the Unit Ball. N.Y., 2004.
7. Zhu K. Operator theory in function spaces. N.Y., 1990.
8. Zorboska N. Toeplits operators with BMO symbols and the Berezin transform // IJMMS. 2003. Vol. 46. P. 29292945.
9. Карапетящ A.H. Характеризация функций из весового пространства ВМО\4)^ на единичном диске // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2005. № 9. С. 8-17.
10. Карапетящ А.Н. Описание весовых пространств ВМО\0 _ в терминах средней осцилляции в метрике Бергмана // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2006. № 1. С. 15-19.
Поступила в редакцию
10 сентября 2007 г.
p
V
1
p
2
V
p
p
2
1
